完整版全等三角形总复习(教学文书)课件

第十二章全等三角形总复习1上课教育第十二章全等三角形1上课教育全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全等三角形对应角（对应角的平分线）相等全等三角形的面积相等SSSSASASAAASHL解决问题角的平分线的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等

到角的两边的距离相等的点在角平分线上判定条件（尺规作图）判定三角形全等必须有一组对应边相等.2上课教育全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：三角形全等判定方法1全等三角形的判定方法3上课教育三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF4上课教育三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF∠A=∠DAB=DE∠B=∠E在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。用符号语言表达为：FEDCBA三角形全等判定方法35上课教育∠A=∠D在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AS三角形全等判定方法4

有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）。在△ABC和△DEF中∠A=∠D∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF（AAS）6上课教育三角形全等判定方法4有两角和其中一个角的对边三角形全等判定方法5

有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）。在Rt△ABC和Rt△DEF中AB=DE（已知）AC=DF（已知）

∴△ABC≌△DEF（HL）ABCDEF7上课教育三角形全等判定方法5有一条斜边和一条直角边对1.全等三角形的性质:

对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。

2.全等三角形的判定:

知识点①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL8上课教育1.全等三角形的性质:对应边、对应角、对应线段相等，周长、知识点3.三角形全等的证题思路：①②③9上课教育知识点3.三角形全等的证题思路：①②③9上课教育到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）．∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上(已知）∴QD＝QE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）二.角的平分线：1.角平分线的性质：2.角平分线的判定：10上课教育到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,PD⊥AB于D，PE⊥BC于EABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F11上课教育2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上12上课教育3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于二、全等三角形识别思路复习

如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件-----------------------，使△ABC≌△DCB。思路1：找夹角找第三边找直角已知两边：∠ABC=∠DCB（SAS）AC=DB（SSS）∠A=∠D=90°（HL）ABCD13上课教育二、全等三角形识别思路复习如图，已知△ABC和

如图，已知∠C=∠D，要识别△ABC≌△ABD，需要添加的一个条件是------------------。思路2：找任一角已知一边一角（边与角相对）（AAS）∠CAB=∠DAB或者∠CBA=∠DBAACBD14上课教育如图，已知∠C=∠D，要识别△ABC≌△A

如图，已知∠1=∠2，要识别△ABC≌△CDA，需要添加的一个条件是-----------------思路3：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找边的对角AD=CB∠ACD=∠CAB∠D=∠B（SAS）（ASA）（AAS）15上课教育如图，已知∠1=∠2，要识别△ABC≌△CD

如图，已知∠B=∠E，要识别△ABC≌△AED，需要添加的一个条件是--------------思路4：已知两角：找夹边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或DE=BC(ASA)(AAS)16上课教育如图，已知∠B=∠E，要识别△ABC≌△A例题选析例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对D17上课教育例题选析例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.例3.ABCD18上课教育已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.例3例4:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C19上课教育例4:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C例5：如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：

，使△AEH≌△CEB。BE=EH20上课教育例5：如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足例7、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD、BE相交于点F。如果BF＝AC，那么∠ABC的度数是（）A、400

B、450

C、500

D、600BFDEBCA21上课教育例7、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂

例8.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=1200，那么∠A的度数是

.ABCDEO60022上课教育例8.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE例9、如图：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠

BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=

。12cABDE23上课教育例9、如图：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC10.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。ABCDE24上课教育10.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，求证：DE＝DF证明：∵∠ABD＝∠ACD（）∴∠EBD＝∠FCD（）又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知）∴∠E＝∠F＝900（）在△DEB和△DFC中∵∴△DEB≌△DFC（）∴DE＝DF（）全等三角形的对应边相等AAS垂直的定义等角的补角相等已知25上课教育1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直于2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。证明：≌∥∥26上课教育2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE=DF

3.如图CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，求证OB＝OC。

证明：∵∠1＝∠2

CD⊥AB，BE⊥AC

∴OD＝OE(角平分线的性质定理)

在△OBD与△OCE中

∠BOD＝∠COE(对顶角相等)

OD＝OE(已证)

∠ODB＝∠OEC(垂直的定义)

∴△OBD≌△OCE(ASA)

∴OB＝OC

27上课教育3.如图CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、28

4.如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，证明DM=DN，

ACDBMN28上课教育284.如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是C5.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

EDCAB证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD29上课教育5.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在

6.如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。

证明：∵△ABD，△BCE是等边三角形。

∴∠DBA＝△EBC＝60°

∵A、B、C共线∴∠DBE＝60°

∴∠ABE＝∠DBC

在△ABE与△DBC中

AB＝DB

∠ABE＝∠DBC

BE＝BC

∴△ABE≌△DBC(SAS)

∴∠2＝∠1

在△BEF与△BCG中

∠EBF＝∠CBG

BE＝BC

∠2＝∠1

∴△BEF≌△BCG(ASA)

∴BF＝BG(全等三角形对应边相等)30上课教育6.如图A、B、C在一直线上，△ABD7：如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD31上课教育7：如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC32

8.已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形,点D在AE的延长线上。求证：BD+DC=AD

ABCDE分析：∵AD=AE+ED∴只需证：BD+DC=AE+ED∵BD=ED∴只需证DC=AE即可。32上课教育328.已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形,点D在9.如图AB//CD,∠B=90º,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AE平分∠DABCDBAEF证明:作EF⊥AD,垂足为F∵DE平分∠ADCAB//CD,∴∠C=∠B又∵∠B=90º∴∠C=90º又∵EF⊥AD∴EF=CE又∵E是BC的中点∴EB=EC∴EF=EB∵∠B=90º∴EB⊥AB∴AE平分∠DAB∴BC⊥DC33上课教育9.如图AB//CD,∠B=90º,E是BC的中点,DE平分3410.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，试说明：BF∥CEABCDEF34上课教育3410.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝11.求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：ABCDE证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE∵AD是△ABC的中线∴

BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB∴AC=EB在△ABE中，AE<AB+BE＝AB+AC即2AD<AB+AC∴35上课教育11.求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知12.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。ACEBD要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）36上课教育12.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠D13.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EFBCAFED37上课教育13.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=E14.已知：如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，

求证：EB=FC38上课教育14.已知：如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF15.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：△ADG为等腰直角三角形。39上课教育15.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两16.如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E， 求证：BC垂直且平分DE.40上课教育16.如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=9014、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，试说明AB＋AC与2AD之间的大小关系。解：延长AD至E，使DE＝AD在△ABD与△ECD中∵BD＝DC（中线的定义）∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）AD＝DE∴△ABD≌△ECD（SAS）根据全等三角形对应边相等∴AB＝EC在△AEC中:AC＋EC＞AE又∵AE＝2AD∴AB＋AC＞2AD小结：对于三角形的中线，我们可以通过延长中线的1倍，来构造全等三角形。联想：对于三角形的角平分线，有时我们也可进行翻折构造全等三角形。EDBAC41上课教育14、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，试说明AB＋15、已知在△ABC中，AD是角平分线，且AC＝AB＋BD,试说明：∠B＝2∠C解：在AC上截取AE＝AB，连结DE在△AED与△ABD中∵AE＝AB∠EAD＝∠BAD（角平分线的定义）AD＝AD（公共边）∴△AED≌△ABD(SAS)根据全等三角形对应边、对应角相等∴ED＝BD，∠AED＝∠B又∵AC=AB+BD∴CE=DE根据等腰三角形的两个底角相等∴∠C＝∠EDC又∵∠AED＝∠C＋∠EDC∴∠AED＝2∠C∴∠B＝2∠CECABD42上课教育15、已知在△ABC中，AD是角平分线，且解：在AC上截取A四、小结：找夹角（SAS）找第三边（SSS）找直角（HL）已知两边找任一角（AAS）已知一边一角（边与角相邻）找夹这个角的另一边（SAS）找夹这条边的另一角（ASA）找边的对角（AAS）已知两角找夹边（ASA）找一角的对边（AAS）1、全等三角形识别思路：3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。（边与角相对）2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。注意：１、“分别对应相等”是关键；２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。43上课教育四、小结：找夹角（SAS）找第三边（SSS）找直角（HL）已第十二章全等三角形总复习44上课教育第十二章全等三角形1上课教育全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全等三角形对应角（对应角的平分线）相等全等三角形的面积相等SSSSASASAAASHL解决问题角的平分线的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等

到角的两边的距离相等的点在角平分线上判定条件（尺规作图）判定三角形全等必须有一组对应边相等.45上课教育全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：三角形全等判定方法1全等三角形的判定方法46上课教育三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF47上课教育三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF∠A=∠DAB=DE∠B=∠E在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。用符号语言表达为：FEDCBA三角形全等判定方法348上课教育∠A=∠D在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AS三角形全等判定方法4

有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）。在△ABC和△DEF中∠A=∠D∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF（AAS）49上课教育三角形全等判定方法4有两角和其中一个角的对边三角形全等判定方法5

有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）。在Rt△ABC和Rt△DEF中AB=DE（已知）AC=DF（已知）

∴△ABC≌△DEF（HL）ABCDEF50上课教育三角形全等判定方法5有一条斜边和一条直角边对1.全等三角形的性质:

对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。

2.全等三角形的判定:

知识点①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL51上课教育1.全等三角形的性质:对应边、对应角、对应线段相等，周长、知识点3.三角形全等的证题思路：①②③52上课教育知识点3.三角形全等的证题思路：①②③9上课教育到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）．∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上(已知）∴QD＝QE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）二.角的平分线：1.角平分线的性质：2.角平分线的判定：53上课教育到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,PD⊥AB于D，PE⊥BC于EABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F54上课教育2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上55上课教育3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于二、全等三角形识别思路复习

如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件-----------------------，使△ABC≌△DCB。思路1：找夹角找第三边找直角已知两边：∠ABC=∠DCB（SAS）AC=DB（SSS）∠A=∠D=90°（HL）ABCD56上课教育二、全等三角形识别思路复习如图，已知△ABC和

如图，已知∠C=∠D，要识别△ABC≌△ABD，需要添加的一个条件是------------------。思路2：找任一角已知一边一角（边与角相对）（AAS）∠CAB=∠DAB或者∠CBA=∠DBAACBD57上课教育如图，已知∠C=∠D，要识别△ABC≌△A

如图，已知∠1=∠2，要识别△ABC≌△CDA，需要添加的一个条件是-----------------思路3：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找边的对角AD=CB∠ACD=∠CAB∠D=∠B（SAS）（ASA）（AAS）58上课教育如图，已知∠1=∠2，要识别△ABC≌△CD

如图，已知∠B=∠E，要识别△ABC≌△AED，需要添加的一个条件是--------------思路4：已知两角：找夹边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或DE=BC(ASA)(AAS)59上课教育如图，已知∠B=∠E，要识别△ABC≌△A例题选析例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对D60上课教育例题选析例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.例3.ABCD61上课教育已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.例3例4:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C62上课教育例4:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C例5：如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：

，使△AEH≌△CEB。BE=EH63上课教育例5：如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足例7、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD、BE相交于点F。如果BF＝AC，那么∠ABC的度数是（）A、400

B、450

C、500

D、600BFDEBCA64上课教育例7、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂

例8.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=1200，那么∠A的度数是

.ABCDEO60065上课教育例8.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE例9、如图：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠

BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=

。12cABDE66上课教育例9、如图：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC10.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。ABCDE67上课教育10.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，求证：DE＝DF证明：∵∠ABD＝∠ACD（）∴∠EBD＝∠FCD（）又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知）∴∠E＝∠F＝900（）在△DEB和△DFC中∵∴△DEB≌△DFC（）∴DE＝DF（）全等三角形的对应边相等AAS垂直的定义等角的补角相等已知68上课教育1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直于2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。证明：≌∥∥69上课教育2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE=DF

3.如图CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，求证OB＝OC。

证明：∵∠1＝∠2

CD⊥AB，BE⊥AC

∴OD＝OE(角平分线的性质定理)

在△OBD与△OCE中

∠BOD＝∠COE(对顶角相等)

OD＝OE(已证)

∠ODB＝∠OEC(垂直的定义)

∴△OBD≌△OCE(ASA)

∴OB＝OC

70上课教育3.如图CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、71

4.如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，证明DM=DN，

ACDBMN71上课教育284.如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是C5.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

EDCAB证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD72上课教育5.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在

6.如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。

证明：∵△ABD，△BCE是等边三角形。

∴∠DBA＝△EBC＝60°

∵A、B、C共线∴∠DBE＝60°

∴∠ABE＝∠DBC

在△ABE与△DBC中

AB＝DB

∠ABE＝∠DBC

BE＝BC

∴△ABE≌△DBC(SAS)

∴∠2＝∠1

在△BEF与△BCG中

∠EBF＝∠CBG

BE＝BC

∠2＝∠1

∴△BEF≌△BCG(ASA)

∴BF＝BG(全等三角形对应边相等)73上课教育6.如图A、B、C在一直线上，△ABD7：如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD74上课教育7：如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC75

8.已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形,点D在AE的延长线上。求证：BD+DC=AD

ABCDE分析：∵AD=AE+ED∴只需证：BD+DC=AE+ED∵BD=ED∴只需证DC=AE即可。75上课教育328.已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形,点D在9.如图AB//CD,∠B=90º,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AE平分∠DABCDBAEF证明:作EF⊥AD,垂足为F∵DE平分∠ADCAB//CD,∴∠C=∠B又∵∠B=90º∴∠C=90º又∵EF⊥AD∴EF=CE又∵E是BC的中点∴EB=EC∴EF=EB∵∠B=90º∴EB⊥AB∴AE平分∠DAB∴BC⊥DC76上课教育9.如图AB//CD,∠B=90º,E是BC的中点,DE平分7710.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，试说明：BF∥CEABCDEF77上课教育3410.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝11.求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：ABCDE证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE∵AD是△ABC的中线∴

BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB∴AC=EB在△ABE中，AE<AB+BE＝AB+AC即2AD<AB+AC∴78上课教育11.求