第六章IIR数字滤波器的设计HD8课件

第六章IIR数字滤波器设计

IIRDigitalFilterDesign第六章IIR数字滤波器设计

IIRDigitalF主要内容：§6.1数字滤波器的基本概念§6.2模拟滤波器的设计§6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器§6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器主要内容：§6.1数字滤波器的基本概念§6.2模拟滤波器的第一节数字滤波器的基本概念一、数字滤波器基本概念数字滤波器:输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。优点：精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器(AF)无法实现的特殊滤波功能。1.数字滤波器的分类（回忆）2.数字滤波器的技术要求3.数字滤波器设计方法概述第一节数字滤波器的基本概念一、数字滤波器基本概念数字滤波1、数字滤波器的分类

经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合适的选频滤波器达到目的）

现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）1、数字滤波器的分类经典滤波器的几种类型：经典滤波器的几种类型：数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：IIR滤波器FIR滤波器数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法2、数字滤波器的设计过程用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指3、数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：幅频特性|H(ej)|：

信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。相频特性()：

各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。3、数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带：阻带：过渡带： ：阻带截止频率 ：通带截止频率 ：通带容限 ：阻带容限理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带：阻带：过渡带通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：上式中，归一化为1。通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：s平面逼近：模拟滤波器的设计z平面逼近：数字滤波器的设计4、IIR数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器即为求滤波器的各系数：用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：s平面逼近第二节模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：

1)巴特沃斯(Butterworth)滤波器2)切比雪夫(Chebyshev)滤波器3)椭圆(Ellipse)滤波器4)贝塞尔(Bessel)滤波器

这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。第二节模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有p,Ωp,s和Ωs。Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带Ω(0~Ωp)中的最大衰减系数s是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指Ωc称为3dB截止频率：Ωc称为3dB截止频率：滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数H2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1)巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2

用下式表示：N越大，越接近理想滤波器，N越大，滤波器的实现也越复杂。特点：2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1)巴特沃斯低通滤波器的(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：上式表明，极点sk用下式表示：为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成将幅度平方函数|设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,(3)频率归一化由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ=jΩ/Ωc

，

p=s/Ωc称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(3)频率归一化由于各滤波器的幅频特性不同，为使设式中，pk为归一化极点，用下式表示：带入Ha(p)表达式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：归一化的传输函数系数Ha(p)的系数以及极点可以查表得到。式中，pk为归一化极点，用下式表示：带入Ha(p)表达式，得表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数第六章IIR数字滤波器的设计HD8课件第六章IIR数字滤波器的设计HD8课件(4)阶数N的确定阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中:(4)阶数N的确定阶数N的大小主要影响幅度特性将=s代入幅度平方函数中:将=s代入幅度平方函数中:用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：通常是用一个算出Ωc，然后用另一个(反过来)来检验。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：根据技术指标Ωp,p,Ωs,s，求出滤波器的阶数N。(2)求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：根据技术指标Ω例：已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N：例：已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2d(2)求极点：归一化传输函数为(2)求极点：归一化传输函数为上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511、-0.8090±j0.5878、-1.0000其中：

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：检验：可以看出，满足s=30dB的真实fs在10.525kHz处，与12kHz比，还有富裕量。(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。将pMatlab的实现调用的函数见教材P160：buttap,buttord,butter设计程序见教材P161

Matlab的实现调用的函数见教材P160：第三节用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求。第三节用脉冲响应不变法利用模拟滤波器来设计(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部。两条基本要求：工程上常用的转换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的一、脉冲响应不变法的转换原理核心原理：通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令h(n)=ha(nT)，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。转换步骤：一、脉冲响应不变法的转换原理核心原理：通过对连续设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔设ha(t)的采样信号用表示，二、S平面和Z平面之间的映射关系拉氏变换：设ha(t)的采样信号用表示，二、S平面和Z上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之

jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平面虚轴)r=1(z平面单位圆)

<0(s左半平面)r<1(z平面单位圆内部)

>0(s右半平面)r>1(z平面单位圆外部)①r与的关系jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平②与的关系：=T=0(s平面实轴)=0(z平面正实轴)=0=0T

(s平面平行于实轴的直线)(z平面始于原点，辐角为0T的辐射线)

：从-/T～/T

：从-～

(s平面为2/T的一个水平带)(z平面辐角转了一周，覆盖整个z平面)

Z平面jIm[z]Re[z]jS平面-/T/T3/T-3/T多值映射

②与的关系：=T=0(s平面实轴)将s=jΩ代入上式，得我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足：存在的问题：混叠失真将s=jΩ代入上式，得我们知道模拟信号ha(t)数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。即：|ω|<π数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。

但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的（非理想），变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法的频率混叠现象优点：脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好。模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。

因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。优点：脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完模缺点：有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此会产生混叠现象。缺点：有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变对第四节用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器一、变换原理了解决上一节的混叠问题，我们应想办法让S到Z域的映射为单值映射。方法：先采用线性压缩的方法，将模拟角频率压缩至折叠频率以内。即：若：

：-∞~0~∞,压缩后得到1

1：-π/T~0~π/T

第四节用双线性变换法一、变换原理了解决上一节非线性压缩SS1单值映射S1Z非线性压缩SS1单值映射S1Z找Z与S的关系：找Z与S的关系：一般来说，为使AF与DF的某一频率有对应关系，可引入常数C：变换常数C的选取：常数C用来调节频率间的对应关系：若希望AF与DF在低频处有较为确切的对应关系，可以选择：一般来说，为使AF与DF的某一频率有对应关系，可引入常数C：解释：在低频处有较为确切的对应关系，即要求低频处：当1较小时，处于低频处，此时有：而和1的对应公式为：解释：在低频处有较为确切的对应关系，即要求低频处：当1较二、优点、问题及其解决办法

1、优点：解决了混叠问题

2、问题：二、优点、问题及其解决办法1、优点：解决了混叠问题2、问

3、解决：通过频率预畸来解决S→Z指标转换预畸指标转换不预畸S→Z产生畸变不产生畸变3、解决：通过频率预畸来解决S→Z指标转换预畸指标转换不预预畸变特征双线性变换时频率的预畸变预畸变特征双线性变换时频率的预畸变

利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。确定数字低通滤波器的技术指标：ωp、p、ωs、s将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标：如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器Ha(s)。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。确定数字低例：设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解：(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为

ωp=0.2πrad,p=1dB;ωs=0.3πrad,s=15dB②模拟低通的技术指标为

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,p=1dB;Ωs=0.3πrad/s,s=15dB例：设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。根据阶数N=6，查表得到归一化传输函数为：由式：得到：Ωc=0.7032rad/s最后，去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s)根据阶数N=6，查表得到归一化传输函数为：由式：得到：Ωc=用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式分解，然后再转换z=esT。用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为

ωp=0.2πrad,

p=1dB;ωs=0.3πrad,

s=15dB②模拟低通的技术指标为(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：取N=6。并求得：Ωc=0.7662rad/s③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数H习题19101419习题1IIR数字滤波器技术指标脉冲响应不变法双线性变换法模拟滤波器技术指标原型变换设计模拟低通原型滤波器巴特沃斯逼近法切比雪夫逼近法其他逼近法模拟低通原型滤波器技术指标原型变换各经典类模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法IIR数字滤波器IIR数字滤波器技术指标脉冲响应不变法双线性变换法模拟滤波器第六章IIR数字滤波器的设计HD8课件第六章IIR数字滤波器设计

IIRDigitalFilterDesign第六章IIR数字滤波器设计

IIRDigitalF主要内容：§6.1数字滤波器的基本概念§6.2模拟滤波器的设计§6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器§6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器主要内容：§6.1数字滤波器的基本概念§6.2模拟滤波器的第一节数字滤波器的基本概念一、数字滤波器基本概念数字滤波器:输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。优点：精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器(AF)无法实现的特殊滤波功能。1.数字滤波器的分类（回忆）2.数字滤波器的技术要求3.数字滤波器设计方法概述第一节数字滤波器的基本概念一、数字滤波器基本概念数字滤波1、数字滤波器的分类

经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合适的选频滤波器达到目的）

现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）1、数字滤波器的分类经典滤波器的几种类型：经典滤波器的几种类型：数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：IIR滤波器FIR滤波器数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法2、数字滤波器的设计过程用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指3、数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：幅频特性|H(ej)|：

信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。相频特性()：

各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。3、数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带：阻带：过渡带： ：阻带截止频率 ：通带截止频率 ：通带容限 ：阻带容限理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带：阻带：过渡带通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：上式中，归一化为1。通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：s平面逼近：模拟滤波器的设计z平面逼近：数字滤波器的设计4、IIR数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器即为求滤波器的各系数：用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：s平面逼近第二节模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：

1)巴特沃斯(Butterworth)滤波器2)切比雪夫(Chebyshev)滤波器3)椭圆(Ellipse)滤波器4)贝塞尔(Bessel)滤波器

这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。第二节模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有p,Ωp,s和Ωs。Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带Ω(0~Ωp)中的最大衰减系数s是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指Ωc称为3dB截止频率：Ωc称为3dB截止频率：滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数H2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1)巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2

用下式表示：N越大，越接近理想滤波器，N越大，滤波器的实现也越复杂。特点：2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1)巴特沃斯低通滤波器的(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：上式表明，极点sk用下式表示：为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成将幅度平方函数|设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,(3)频率归一化由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ=jΩ/Ωc

，

p=s/Ωc称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(3)频率归一化由于各滤波器的幅频特性不同，为使设式中，pk为归一化极点，用下式表示：带入Ha(p)表达式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：归一化的传输函数系数Ha(p)的系数以及极点可以查表得到。式中，pk为归一化极点，用下式表示：带入Ha(p)表达式，得表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数第六章IIR数字滤波器的设计HD8课件第六章IIR数字滤波器的设计HD8课件(4)阶数N的确定阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中:(4)阶数N的确定阶数N的大小主要影响幅度特性将=s代入幅度平方函数中:将=s代入幅度平方函数中:用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：通常是用一个算出Ωc，然后用另一个(反过来)来检验。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：根据技术指标Ωp,p,Ωs,s，求出滤波器的阶数N。(2)求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：根据技术指标Ω例：已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N：例：已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2d(2)求极点：归一化传输函数为(2)求极点：归一化传输函数为上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511、-0.8090±j0.5878、-1.0000其中：

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：检验：可以看出，满足s=30dB的真实fs在10.525kHz处，与12kHz比，还有富裕量。(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。将pMatlab的实现调用的函数见教材P160：buttap,buttord,butter设计程序见教材P161

Matlab的实现调用的函数见教材P160：第三节用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求。第三节用脉冲响应不变法利用模拟滤波器来设计(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部。两条基本要求：工程上常用的转换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的一、脉冲响应不变法的转换原理核心原理：通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令h(n)=ha(nT)，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。转换步骤：一、脉冲响应不变法的转换原理核心原理：通过对连续设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔设ha(t)的采样信号用表示，二、S平面和Z平面之间的映射关系拉氏变换：设ha(t)的采样信号用表示，二、S平面和Z上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之

jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平面虚轴)r=1(z平面单位圆)

<0(s左半平面)r<1(z平面单位圆内部)

>0(s右半平面)r>1(z平面单位圆外部)①r与的关系jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平②与的关系：=T=0(s平面实轴)=0(z平面正实轴)=0=0T

(s平面平行于实轴的直线)(z平面始于原点，辐角为0T的辐射线)

：从-/T～/T

：从-～

(s平面为2/T的一个水平带)(z平面辐角转了一周，覆盖整个z平面)

Z平面jIm[z]Re[z]jS平面-/T/T3/T-3/T多值映射

②与的关系：=T=0(s平面实轴)将s=jΩ代入上式，得我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足：存在的问题：混叠失真将s=jΩ代入上式，得我们知道模拟信号ha(t)数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。即：|ω|<π数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。

但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的（非理想），变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法的频率混叠现象优点：脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好。模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。

因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。优点：脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完模缺点：有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此会产生混叠现象。缺点：有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变对第四节用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器一、变换原理了解决上一节的混叠问题，我们应想办法让S到Z域的映射为单值映射。方法：先采用线性压缩的方法，将模拟角频率压缩至折叠频率以内。即：若：

：-∞~0~∞,压缩后得到1

1：-π/T~0~π/T

第四节用双线性变换法一、变换原理了解决上一节非线性压缩SS1单值映射S1Z非线性压缩SS1单值映射S1Z找Z与S的关系：找Z与S的关系：一般来说，为使AF与DF的某一频率有对应关系，可引入常数C：变换常数C的选取：常数C用来调节频率间的对应关系：若希望AF与DF在低频处有较为确切的对应关系，可以选择：一般来说，为使AF与DF的某一频率有对应关系，可引入常数C：解释：在低频处有较为确切的对应关系，即要求低频处：当1较小时，处于低频处，此时有：而和1的对应公式为：解释：在低频