数学建模培训微分方程模型山东商务职业学院课件

数学建模培训－

微分方程模型山东商务职业学院杨婷婷

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微分方程模型山一、什么是微分方程？最最简单的例子一、什么是微分方程？最最简单的例子引例一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解

因此，所求曲线的方程为

若设曲线方程为，又因曲线满足条件

根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：对（1）式两端积分得：代入（3）得C＝1引例一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M(x回答什么是微分方程：

建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程

回答什么是微分方程：二、微分方程的解法积分方法，分离变量法二、微分方程的解法积分方法，分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解例1

求解微分方程解分离变量两端积分典型例题例1求解微分方程解分离变量两端积分典型例题过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得练习题练习题数学建模培训微分方程模型山东商务职业学院课件练习题答案练习题答案三、建立微分方程数学模型1、简单的数学模型2、复杂的数学模型三、建立微分方程数学模型1、简单的数学模型2、复杂的数学模型1、简单的数学模型1、简单的数学模型

利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：

(1)分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；

(2)求出微分方程的通解；

(3)根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解．

利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：

实际问题需寻求某个变量y

随另一变量t的变化规律：y=y(t).直接求很困难

建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程

建立变量能满足的微分方程

？哪一类问题实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的直接在工程实际问题中

“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.

关键词“速率”,“增长”,“衰变”,“边际的”,常涉及到导数.

建立方法常用微分方程运用已知物理定律

利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法在工程实际问题中“改变”、“变化”、“增加”、“建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍一、运用已知物理定律建立微分方程模型时应用已知物理定律，一、运用已知物理定律例1铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。例1铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微铀的衰变速度就是对时间t的导数，解

因此，由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式：对上式两端积分得：是衰变系数且初始条件分离变量得代入初始条件得所以有，这就是铀的衰变规律。铀的衰变速度就是对时间t的导数

例2

一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？一、运用已知物理定律例2一个较热的物体置于室温为180c的一、运用已

牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温

m

的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.

分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似.建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，

牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体分析：假设房“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”

翻译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”翻译为数学语言建ln(T－m)=－kt+c,代入条件:求得c=42，,最后得

T(t)=18+42,t≥0.结果

：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c需要8.17分钟.

ln(T－m)=－kt+c,代入条件:T(t)=1另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．

另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．解

可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的．由题意，得其中

k

是比例系数(k>0)

．由于是单调减少的，即

设瓶内水的温度与时间之间的函数关系为，则水的冷却速率为

,(1)所以(1)式右边前面应加“负号”．初始条件为 ．例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成对(1)式分离变量，得

于是方程(1)的特解为

两边积分

得

即把初始条件

代入上式，求得

C=80

，

其中比例系数

k

可用问题所给的另一条件

来确定，

即

解得因此瓶内水温

与时间

的函数关系为对(1)式分离变量，得二.利用平衡与增长式

许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.

利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系.

二.利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出解例1

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量解例1某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的二.利用平衡与增长式

例2简单人口增长模型

对某地区时刻t的人口总数N(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.二.利用平衡与增长式例2简单人口增长模型对某地区时

在很短的时间段Δt内，关于N(t)变化的一个最简单的模型是：

{Δt时间内的人口增长量}={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}+{Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}

{Δt时间内的净改变量}={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}般化更一基本模型在很短的时间段Δt内，关于N(t)变化的一个{Δt时三.微元法

基本思想：通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.三.微元法基本思想：例

一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设：1．t

时刻的流速v

依赖于此刻容器内水的高度h(t).

2．整个放水过程无能量损失。

例一个高为2米的球体容器里盛了一半2米对孔口的流速做两条分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零

模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率”，即分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零S—孔口横截面积（单位：平方厘米）

h(t)—水面高度（单位：厘米）

t—时间（单位：秒）当S=1平方厘米，有h(t)h+Δhr1r2水位降低体积变化S—孔口横截面积（单位：平方厘米）h(t)—水面高度（单

在[t，t+Δt]内，水面高度h(t)降至h+Δh(Δh<0),容器中水的体积的改变量为令Δt0,得

在[t，t+Δt]内，水面高度h(t)降至h+ΔdV=－πr2dh，（2）比较(1)、(2)两式得微分方程如下：

积分后整理得

0≤h≤100

令

h=0，求得完全排空需要约2小时58分.

dV=－πr2dh，（2）比较(1)另一个例子

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度另一个例子有高为1米的半球形容器,水设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:设在微小的时间间隔水面的高度由h降至即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为四.分析法

基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.

例(独家广告模型)广告是调整商品销售的强有力的手段,广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？分析广告的效果,可做如下的条件假设：

*1.

商品的销售速度会因广告而增大,当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；四.分析法基本思想：根据对现实对象特性的认识，例*2.

商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；

*3.

选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：

建模记

S(t)—t时刻商品的销售速度；M—销售饱和水平，即销售速度的上限；

λ（＞0）—衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度.*2.商品销售率（销售加速度）随商品销售*3.选择如下广直接建立微分方程

称

p为响应系数，表征A(t)对S(t)的影响力.模型分析：是否与前三条假设相符？改写模型直接建立微分方程称p为响应系数，表征A(t)对S(假设1*市场“余额”假设2*销售速度因广告作用增大,同时又受市场余额的限制.假设1*市场“余额”假设2*销售速度因广告作用增大,同时2、复杂的数学模型2、复杂的数学模型背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长人口增长模型背景年16251830常用的计算公式今年人口x0,年增长率rk年后人口常用的计算公式今年人口x0,年增长率rk年后人口指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为r随着时间增加，人口按指数规律无限增长根据假设，在到时间段内，人口的增长量为指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t)~时刻t模型检验据估计1961年地球上人口总数为，在以后7年中，人口总数以每年的数度增长，这样也就是说到2670年，地球上将有36000亿人口，非常荒谬。这个公式非常准确地反映了1700－1961年世界人口的总数。但是：模型检验据估计1961年地球上人口总数为，在以后7年中，也就指数增长模型的应用及局限性

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程事实：人口增长率r不是常数(逐渐下降)指数增长模型的应用及局限性可用于短期人口增长预测不符合1阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假定：r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，阻滞增长模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm模型的参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）17901800181018201830……19501960197019803.95.37.29.612.9……150.7179.3204.0226.5r=0.2072,xm=464

专家估计模型的参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，利用模型检验用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较实际为251.4(百万)模型应用——人口预报用美国1790~1990年人口数据重新估计参数r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0x(2010)=297.9Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)模型检验用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较实1、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滞增长模型（Logistic模型）3、更复杂的人口模型随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。小结1、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（M两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？

2.

估计获胜的一方最后剩下多少士兵？

3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？战争模型两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学1.预测哪一方将模型建立：设

x(t)—t

时刻X方存活的士兵数；

y(t)—t

时刻Y方存活的士兵数；假设：

1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.

2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X

方军队a名士兵；

模型建立：设x(t)—t时刻X方存活的士兵数；假平衡式

3）X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b

名士兵；{Δt时间内X军队减少的士兵数

}={Δt时间内Y军队消灭对方的士兵数}即有

Δx=－ayΔt,

同理

Δy=－bxΔt,

令Δt0,得到微分方程组：

平衡式3）X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军数学建模培训微分方程模型山东商务职业学院课件数学建模培训－

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微分方程模型山一、什么是微分方程？最最简单的例子一、什么是微分方程？最最简单的例子引例一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解

因此，所求曲线的方程为

若设曲线方程为，又因曲线满足条件

根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：对（1）式两端积分得：代入（3）得C＝1引例一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M(x回答什么是微分方程：

建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程

回答什么是微分方程：二、微分方程的解法积分方法，分离变量法二、微分方程的解法积分方法，分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解例1

求解微分方程解分离变量两端积分典型例题例1求解微分方程解分离变量两端积分典型例题过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得练习题练习题数学建模培训微分方程模型山东商务职业学院课件练习题答案练习题答案三、建立微分方程数学模型1、简单的数学模型2、复杂的数学模型三、建立微分方程数学模型1、简单的数学模型2、复杂的数学模型1、简单的数学模型1、简单的数学模型

利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：

(1)分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；

(2)求出微分方程的通解；

(3)根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解．

利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：

实际问题需寻求某个变量y

随另一变量t的变化规律：y=y(t).直接求很困难

建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程

建立变量能满足的微分方程

？哪一类问题实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的直接在工程实际问题中

“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.

关键词“速率”,“增长”,“衰变”,“边际的”,常涉及到导数.

建立方法常用微分方程运用已知物理定律

利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法在工程实际问题中“改变”、“变化”、“增加”、“建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍一、运用已知物理定律建立微分方程模型时应用已知物理定律，一、运用已知物理定律例1铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。例1铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微铀的衰变速度就是对时间t的导数，解

因此，由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式：对上式两端积分得：是衰变系数且初始条件分离变量得代入初始条件得所以有，这就是铀的衰变规律。铀的衰变速度就是对时间t的导数

例2

一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？一、运用已知物理定律例2一个较热的物体置于室温为180c的一、运用已

牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温

m

的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.

分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似.建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，

牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体分析：假设房“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”

翻译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”翻译为数学语言建ln(T－m)=－kt+c,代入条件:求得c=42，,最后得

T(t)=18+42,t≥0.结果

：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c需要8.17分钟.

ln(T－m)=－kt+c,代入条件:T(t)=1另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．

另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．解

可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的．由题意，得其中

k

是比例系数(k>0)

．由于是单调减少的，即

设瓶内水的温度与时间之间的函数关系为，则水的冷却速率为

,(1)所以(1)式右边前面应加“负号”．初始条件为 ．例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成对(1)式分离变量，得

于是方程(1)的特解为

两边积分

得

即把初始条件

代入上式，求得

C=80

，

其中比例系数

k

可用问题所给的另一条件

来确定，

即

解得因此瓶内水温

与时间

的函数关系为对(1)式分离变量，得二.利用平衡与增长式

许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.

利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系.

二.利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出解例1

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量解例1某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的二.利用平衡与增长式

例2简单人口增长模型

对某地区时刻t的人口总数N(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.二.利用平衡与增长式例2简单人口增长模型对某地区时

在很短的时间段Δt内，关于N(t)变化的一个最简单的模型是：

{Δt时间内的人口增长量}={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}+{Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}

{Δt时间内的净改变量}={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}般化更一基本模型在很短的时间段Δt内，关于N(t)变化的一个{Δt时三.微元法

基本思想：通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.三.微元法基本思想：例

一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设：1．t

时刻的流速v

依赖于此刻容器内水的高度h(t).

2．整个放水过程无能量损失。

例一个高为2米的球体容器里盛了一半2米对孔口的流速做两条分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零

模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率”，即分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零S—孔口横截面积（单位：平方厘米）

h(t)—水面高度（单位：厘米）

t—时间（单位：秒）当S=1平方厘米，有h(t)h+Δhr1r2水位降低体积变化S—孔口横截面积（单位：平方厘米）h(t)—水面高度（单

在[t，t+Δt]内，水面高度h(t)降至h+Δh(Δh<0),容器中水的体积的改变量为令Δt0,得

在[t，t+Δt]内，水面高度h(t)降至h+ΔdV=－πr2dh，（2）比较(1)、(2)两式得微分方程如下：

积分后整理得

0≤h≤100

令

h=0，求得完全排空需要约2小时58分.

dV=－πr2dh，（2）比较(1)另一个例子

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度另一个例子有高为1米的半球形容器,水设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:设在微小的时间间隔水面的高度由h降至即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为四.分析法

基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.

例(独家广告模型)广告是调整商品销售的强有力的手段,广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？分析广告的效果,可做如下的条件假设：

*1.

商品的销售速度会因广告而增大,当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；四.分析法基本思想：根据对现实对象特性的认识，例*2.

商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；

*3.

选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：

建模记

S(t)—t时刻商品的销售速度；M—销售饱和水平，即销售速度的上限；

λ（＞0）—衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度.*2.商品销售率（销售加速度）随商品销售*3.选择如下广直接建立微分方程

称

p为响应系数，表征A(t)对S(t)的影响力.模型分析：是否与前三条假设相符？改写模型直接建立微分方程称p为响应系数，表征A(t)对S(假设1*市场“余额”假设2*销售速度因广告作用增大,同时又受市场余额的限制.假设1*市场“余额”假设2*销售速度因广告作用增大,同时2、复杂的数学模型2、复杂的数学模型背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长人口增长模型背景年16251830常用的计算公式今年人口x0,年增长率rk年后人口常用的计算公式今年人口x0,年增长率rk年后人口指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为r随着时间增加，人口按指数规律无限增长根据假设，在到时间段内，人口的增长量为指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t)~时刻t模型检验据估计1961年地球上人口总数为，在以后7年中，人口总数以每年的数度增长，这样也就是说到2670年，地球上将有36000亿人口，非常荒谬。这个公式非常准确地反映了1700－1961年世界人口的总数。但是：模型检验据估计1961年地球上人口总数为，在以后7年中，也就指数增长模型的应用及局限性

可用于短期人口增长预测

不符合