全微分方程的解法课件

恰当方程（全微分方程）

一、概念

二、全微分方程的解法恰当方程（全微分方程）一、概念1全微分方程的解法课件2

一、概念若有全微分形式则称为全微分方程。定义:例1：所以是全微分方程.方程是否为全微分方程？解：通解则为（C为任意常数）。一、概念若有全微分形式则称为全微分方程。定义:例1：所以3全微分方程的解法课件4问题:（1）如何判断全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（3）如何转化为全微分方程？定理1设函数

和

在一个矩形区域是全微分方程中连续且有连续的一阶偏导数，则

（1）证明必要性

证明：

因为是全微分方程，问题:（1）如何判断全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（5则存在原函数，使得

所以

将以上二式分别对求偏导数，得到

又因为偏导数连续，

，即

所以

则存在原函数，使得

所6（2）证明充分性

设

，求一个二元函数使它满足

即由第一个等式，应有

代入第二个等式，应有

这里（2）证明充分性

设

，求一个二元函数使它满足

7因此，则因此可以取此时

这里由于，故曲线积分与路径无关。因此因此，则因此可以取此时这里由于8

二、全微分方程的解法(1)线积分法:或(2)偏积分法第一个等式对积分

二、全微分方程的解法(1)线积分法:或(2)偏积分法9代入第二个等式求

，即可得

(3)凑微分法直接凑微分得

例2：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于

解：代入第二个等式求

，即可得

(3)凑微分法直接凑微分得

例210所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为11(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有代入可得因此从而即(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有代入可得因12(3)凑微分法:由于

方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为(3)凑微分法:由于方程的通解为：根据二元函数微分的经13例3：验证方程是全微分方程，并求它的通解。

由于

解：

所以方程为全微分方程。(1)线积分法:例3：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于解：所以14故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有

所以从而即故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有所以15(3)凑微分法:方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为练习：验证方程是全微分方程，并求它的通解。方程的通解为：

(3)凑微分法:方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原16积分因子法

一、概念

二、积分因子的求法积分因子法一、概念17一、定义:0),(¹yxm连续可微函数，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成为全.微分方程则称),(yxm为方程的积分因子.例1验证是方程的积分因子，并求方程的通解。

解：是全微分方程。方程通解为一、定义:0),(¹yxm连续可微函数，使方程0),(),(181.公式法:求解不容易特殊地:(两边同除)a.当只与有关时，

二、积分因子的求法1.公式法:求解不容易特殊地:(两边同除)a.当19b.当只与有关时，b.当只与有关时，202.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式21一般可选用的积分因子有等。可选用的积分因子有可选用的积分因子有一般可选用的积分因子有等。可选用的积分因子有可选用的积分因子22例2解则原方程成为.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解为例2解则原方程成为.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解232.观察法:将方程左端重新组合,有可选用的积分因子有可选用的积分因子有因此取积分因子为原方程的通解为分组求积分因子的思想。2.观察法:将方程左端重新组合,有可选用的积分因子有可选用的24练习求微分方程的通解。练习求微分方程的通解。25恰当方程（全微分方程）

一、概念

二、全微分方程的解法恰当方程（全微分方程）一、概念26全微分方程的解法课件27

一、概念若有全微分形式则称为全微分方程。定义:例1：所以是全微分方程.方程是否为全微分方程？解：通解则为（C为任意常数）。一、概念若有全微分形式则称为全微分方程。定义:例1：所以28全微分方程的解法课件29问题:（1）如何判断全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（3）如何转化为全微分方程？定理1设函数

和

在一个矩形区域是全微分方程中连续且有连续的一阶偏导数，则

（1）证明必要性

证明：

因为是全微分方程，问题:（1）如何判断全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（30则存在原函数，使得

所以

将以上二式分别对求偏导数，得到

又因为偏导数连续，

，即

所以

则存在原函数，使得

所31（2）证明充分性

设

，求一个二元函数使它满足

即由第一个等式，应有

代入第二个等式，应有

这里（2）证明充分性

设

，求一个二元函数使它满足

32因此，则因此可以取此时

这里由于，故曲线积分与路径无关。因此因此，则因此可以取此时这里由于33

二、全微分方程的解法(1)线积分法:或(2)偏积分法第一个等式对积分

二、全微分方程的解法(1)线积分法:或(2)偏积分法34代入第二个等式求

，即可得

(3)凑微分法直接凑微分得

例2：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于

解：代入第二个等式求

，即可得

(3)凑微分法直接凑微分得

例235所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为36(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有代入可得因此从而即(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有代入可得因37(3)凑微分法:由于

方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为(3)凑微分法:由于方程的通解为：根据二元函数微分的经38例3：验证方程是全微分方程，并求它的通解。

由于

解：

所以方程为全微分方程。(1)线积分法:例3：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于解：所以39故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有

所以从而即故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有所以40(3)凑微分法:方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为练习：验证方程是全微分方程，并求它的通解。方程的通解为：

(3)凑微分法:方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原41积分因子法

一、概念

二、积分因子的求法积分因子法一、概念42一、定义:0),(¹yxm连续可微函数，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成为全.微分方程则称),(yxm为方程的积分因子.例1验证是方程的积分因子，并求方程的通解。

解：是全微分方程。方程通解为一、定义:0),(¹yxm连续可微函数，使方程0),(),(431.公式法:求解不容易特殊地:(两边同除)a.当只与有关时，

二、积分因子的求法1.公式法:求解不容易特殊地:(两边同除)a.当44b.当只与有关时，b.当只与有关时，452.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式46一般可选用的积分因子有等。可选用的积分因子有可选用的积分因子有一般可选用的积分因子有等。可选用的积分因子有可选用