高一基础同步集合、函数初探

TOC\o"1-2"\h\z\u第一讲代数变 第二讲二次函 第三讲“三个二次 第四讲高中必备数学方 第五讲集合的概 第六讲集合的运 第七讲集合的综合应 第八讲函数的概念（上 第九讲函数的概念（下 第十讲函数的单调性和奇偶 第一 【概念解一、因式分解因式分解的方法提取公因式法公式①平方a2b2(ab)(a②完全平方公a22abb2(a③立方a3b3(ab)(a2abb2④立方a3b3(ab)(a2abb2分组分解法x2pq)xpq型二次三项式的因式分解①求根②相乘二、配方法a22abb2(ab)2，从而化繁为简，完成配方。三、通分四、有理化五、整式除法【例1】分解因式：（1）x23x （2）x24x （3）x22x（4）x2(ab)xy （5）xy1x （6）x393x2（7）2x2xyy24x5y6【解析】（1）x23x2x1)(x2)（2）x24x12(x2)(x6)22令x22x10，则解得x ，x 22 ∴x22x1=[x 2)][x 2)](x 2)(x 2)x2(ab)xyaby2(xay)(xxy xyxy(xy)1(x1)(yx393x23x(x33x2)(3x9)x2(x3)3(x3)(x3)(x2x393x23xx33x23x1)8x1)38x1)3[(x1)2][(x1)2(x1)222](x1)(x23)2x2xyy24x5y62x2(y4)xy25y2x2(y4)x(y2)(y3)(2xy2)(xy3)2x2xyy24x5y62x2xyy24x5y y)(xy)(4x5y)6(2xy2)(xy【例2】化简x2x212(0x94 （3）已知abc4abbcac4a2b2c2【解析545(25(5)22545(25(5)22255(x1x1x 原式 x ，∵0x1，∴11x，所以，原式(x1x1x a2b2c2(abc)2a(abbcac)8【例3】求值

23 4 23 45 6【解析 663456对原式中的每一项进行分母有理化运算，可以将原始化简为如63456原式6故6

122

2 3 4 5 （（2）比较大小：1211和1110 12((1110)(1111

(1211)(12(1211)(1212121

10 11111 11111

xy2

0

x23xyx2 （2）xy1x3y33xy【解析】（1）5或1 x23xyy2x23xxx2或x2y0；当xy0即xy时，那 x2

x2 x23xy x23x2x 当x2y0即x2y时那么 x2 x2 5或 x3y33xyxy33xy23x2y3xyxy33xyxy1x3y33xyxy33xy1133111，[备选题已知a,b

ab1，bc1，

1

a b

c

abbc【解析】显然a,b, 均不为零，故将三个条件分式两边分别取倒数ab3bc4ca5 =3， =4， =5三式相加，得 abbc 再通分变形 =6，两边取倒数

，∴原式

abbc 若a0,b0,c0a3b3c3【解析a3b3c3[(ab)3c3]3a2b3ab2(abc)(a2b2c2abbc1abca22abb2b22bcc2c22caa22abcab2bc2ca2 由于a0,b0c0，那么abc0，又ab2bc2ca2所以a3b3c33abc0；故a3b3c3【思维提升】1yx2x1x【解析】对原式进行配方xyx22x1x121x12 12xx x y1x1时取到该值a,bc的值x3ax2bxcxa)(xb)(xcabcabbccaabcc=0时，代入方程组得b2aa2a0a0a1,b2，c0情形二：当c0ab1，即b1a得c2a1，代入第二个方程整理得2a42a2a10a即(a1)(2a32a210qpqp代入2a32a210得2q32pq2p3，所以p为偶数，设p2k，代入得q32kq24k3，从而q也为偶数，这与(p,q)1 所以方程2a32a210a1,b1,ca,bca1,b2,c0a1,b1,c【课堂小结】【实战检测】一、选择题下列因式分解正确的是 mn(mn)m(nm)m(nm)(n6(pq)22(pq)2(pq)(3pq3(yx)22(xy)(yx)(3y3x3x(xy)(xy)2(xy)(2x【解析】原式2(pq3(pq2(pq2(pq)(3p3q1)C选项：原式3yxyx2yx)yx)[3yx2]yx)(3y3x2)D选项，原式3xxy)](xy)(xy)(2xyA．下列不能分解因式的是 )[在有理数范围内分解7x26x 2x2(2)xx3【解析】

ax22xA选项，7x26x1的判别式6)24(1)764为完全平方数，可以分解因式7x26x1(7x1)(x1)；B选项，原式判别式(a2)24(a2(a2)2为完全平方式，可以分解因式，即2x2(a2)xa(2xa)(x1)；Cx38均为某个式子的三次方，可以分解为(x2)(x22x4)D选项，原式的判别式224aa44a2，不是完全平方式，所以不能在D．a

通分后最简公分母不是2(ab)2(ab)的是 a22ab (ab)(a2a(ab)2(a

2(ab)2(a【解析】根据最简公分2(ab)2ab)，对比已有分式的分母2(a2b2)2(ab)(ab)，可知与之通分的分母中至少应具有(ab)2才可以得到A选项、CD选项中均包含因式(ab)2，同时没有其他公分母中不包含的因式．故其通分后结果分母2(ab)2(ab)．故选B． a2b2c2abbcca1[(ab)2(bc)2(ca)22a24a30(a2)2x22xy24y0(x1)2(y2)2x2

(x1)2x【解析】对于C选项，x22xy24y0x22x1y24y414(x1)2(y2)2代数【解析】

22 3

…

88

2321 12根据分母有理化的知识 2321 129818 981823239948 131223239948二、填空题分解因式：2ax2(a6)x3 【解析】(ax3)(2x方法一：原式 ax6x3ax(2x1)3(2x1)(ax3)(2x方法二：利用相乘 (ab)故原式ax3)(2x2x分离常数 x

（2） x【解析（1）2 x

（ 2xx2x（1）2x12(x1)12232 x x x x2x2（2）x2x

2(x2x1)32x22x2x

2xx2x

2 2xx2x已知a12，则a21 ；a31 a【解析】

a2 a3 a2a3

(a1)22222a(a1)2(a1)(a1)222 三、解答题比 2014 (20142014 (2014 2013)(2014 12014 2013 (20132013 (2013 2012)(2013 12013 由 20142013 20142013 0 已知代数式2x3x25x2有因式(x1)【解析】除法2x23x2x32x3x25x2x33x25x3x22x2x0故原式x1)(2x25x2)x1)(2x1)(x四、附加题367612能被140整除【证明原式(62)7612614612612(621)3561261049 610故367612可以被140整除x22y5y22x5xyx32x2y2y322y2x

，②—①x2y22y5)2x5)2y②yx，则(xyyx)2(yx)左右同时约去yxy2x2y22y5)(2x52(xy106(xy)2x2y2进而xy 2x32x2y2y34xy15(xy50x32x2y2y3x(2y5)2(2y5)(2x5)y(2x5)4xy15(xy) 【概念解析一、二次函数的定义yax2bxc（a0a,bc为常数）的函数为二次函数二、二次函数的图象及性质：yax2（a0y轴；当a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大，反之，则抛物线开口越小．二次函数yax2bxc的图象是一条抛物线．顶点为

4ac,

)，对x

；当a0x

4acb2；当a0x

时，函数有最大值

4acb二次函数图像的平移：将yax2的图象向左（h0）或向右（h0）平移个单位，再向上k0或向下（k0）k个单位，即可得到y xh2k的图象，其顶点是(hk)，对称轴xh，形状、开口yax2相同．三、二次函数表达式的求法：yaxh2k其中顶点为(hk)xh；若已知抛物线与x轴的交点坐标或交 横坐标，则可采用交点式yaxx1xx2),x轴的交点坐标为(x10)(x20四、根的判别式与定2

b24ac0时方程有两个不相等的实数根的判别式b

b4ac0时方程有两个b24ac0时定理：别式不小于0，那么根与系数关系如下：xx xx －1，2．3设该二次函数的解析式为ya(x1)22(a0)，∵二次函数的图像经过点（3，－13∴a4【例2】(1)设abc0,二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是

（D）符(2)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.利润增加2元.用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件 7【解析】

第8档 C.第9档 D.第10档设档次为字母x，那么每个档次的利润为8x122x6元，同理每个档次生产60x13633x件，那么生产产品的总利润为2x函数，开口向下，对称轴为x9，故选

3x元，为二3y2x23x2，（1）x为任意实数（2）1x0（3）1x1x2（1）x3y25 8x0处取到，那么2y3对于本问，x的取值范围内不包含对称轴，根据函数图像可知，最值分别在x1x2处取到，那么3y0对于本问，x的取值范围内包含对称轴，根据函数图像可知，最小值在对称轴x34y25y3825y384（1）已知1yax2bxc（a0ax2bxc02x

1,,2

【解析】nm根据题意可知，二次函数的开口向上，由于根之和为2，根据函数图像可知对称轴为x（或根 定理可知x1

b2，对称轴xb

1）那么自变量离轴越数值越小，那么可得n p（2）yax22ax4a0)xxxx0xx 的函数值分别为m

，那么m,n之间的大小关系 根据函数解析式，由于a0，二次函数开口向上，对称轴为x2a1，由于x1x20，那么x1x20，可x1相比x2更靠近对称轴x1，那么对应的函数值mx2对应的函数值n，故填mn[备选题投资1xxN)件.x20时，年销售总收入为（33xx2）万元；x20260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元则y（万元与x（件的函数关系式 该工厂的年产量件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入 年总投资x232x100,x【解析】yx 根据题意可知，当x20时，年利润y x2100xx232x100，x20y260100xx160x232x100,xyx160,x20 x20时，其对称x16，此时函数最大值为y96x20x21y139，故当产量为21件时年 yx22ax1a为常数)在2x1n，试将n用a表示出x2a2若2a1时，当x 时，该函数取最小值n1a2若a2时,x2n4a5；a1时,x1时，该函数取最n2a2.4a a综上,n1a2,2a2a a【思维提升1xx22mxm60有两个实根、（），求22的取【解析】4m24m6那么m2m60，可解得m3或m根 定理可知

，那么

24m22m m即2222m2m6根据m的取

知222yx2xa1的最小值【解析】根据xa的正负可以将函数写作yxax1x2

x2下进行分类讨论：a1x1y3a a1x1y3a 当1a13a3a 那么，当1a0y3a，当0a1y3a 【实战检测一、选择题下列二次函数中，对称轴．x2的是 y24x y2(x1)(x yx24x y 1x2A,B,D，其对称x2，对于选项C，对称轴xx2，故选

ax2bxc0的两根为31y是

bxc的对称x

x x x方法一：由于两根为31ya(x3))(x1a(x3)(x1)a(x22xxb，其中b2ax2a1 方法二：根据一元二次函数的对称性可知若方程有解，则两解关于对称轴对称，x(3)112（1，0，于x的一元二次方程x23xm0的两实数根是( x11,x2 x11,2 x11,x2 x11,x2x11,x22x2bx30的一个根为3yx2bx3有三个点(4y

,y),

,y

，y,y,y的大小关系是 y1y2 y2y1 y3y1 y1y3x3x2bx30中，得93b30，解得b2yx22x3，抛物线开口向上，对称轴为x 2

16值越小．4(1)1,5(1)1 (1)7，由于117，可16 y1y2y3

①ab0②4ab0y5xxax2bxc10其中正确的个数是个

B．2 C．3 D．4x

20，可知

0ab0，正x

2，即b4a，即4ab0，正确对于③：根据图像可知函y=5时，应该0外的另一个根，不正确；对于④：根据y=10时，直线与抛物线无交点，无实根，不正确；故选B．x0y5，x2y9，同时

2c

a，b，c

4a2bc9解得

b4 y4x24x5二、填空题若一元二次方程x22xk0无实根，则二次函数yx2(k1)xk的图像最低 x22xk0无实数根，所以b24ac44k0k1yx2k1)xky 4k(k (k

k102顶点纵坐标y 则x2x2 x31)1yax2bxc中

1，即2ab0又函数经过（20），那么0a22b2c，即4a2bc0．又2ab0故c0ax2bxc0ax22ax0 定理xx2a2，xx00．x2x2(xx)22xx 1 1 x2x24 已知二次函数y(xa)(xb)2(ab)，方程y0存在两根,()．试确定a,b,,之间的大小关系 ay0yxa)(xb2x轴交点，y(xa)(xb22的根等价于(xa)(xb)0a，b，y2y2的交点，那么a,b,关系如右图所示，故ab三、解答题ABy3x22xkx轴的两个相异的交点，M可得k1根据对称性可得|MA||MB|，只有∠M90°，故ᇞAMB3MxxN，则|MN|1|AB2|MN|4k(3)4k4 |AB 412k，故k1121|3 左右平方可得(k1 k0,k1(舍去)，故k= yx23x4，当1x4x23x4m在1x4m 在1x4ymyx23x4在1x47m84四、附加题ab1，且有5a22014a90，及9b22014b50ab9 9 1 212)b1)b12是5xb1bbbb

)5(

，那么

2014a90 定理得a9 x1x2xaxbxc0和axbxc0 xxax2bxc0xx之间 【解析】：由于x,x为两个二次方程的根，故ax2bxc0，ax2 c yax2bxcxax2xcax2 12 2ax2bxc3ax2，由于x 不为0，且a1可知ax2与3ax2异号，则函2 2 xxax2bxc0xx之间必存在一根． 第三 一、二次函数的基本性质二次函数的三种表示法yax2bxc（a0交点式yaxx1xx2（a0x1x2为函数的零，其中ax2bxc0b24ac 二次方程的两根都大于r b24ac 二次方程在区间(p,q)内有两根p2aaf(q)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根af(p) af 二次不等式转化策略) a>0时，f(α)<f(β|α+2a|<|β+2a|,a<0时，f(α)<f(β|α2a|>|β+2aa>0f(x)>0pxq pb 2ap

或2a

f()

f(x)>0恒成立a0或ab0fx0a0,或ab

c

c含参数的一元二次不等式的解法x2项的系数的符号分类，即a0,a0a0按判别式的符号分类，即000ax2bxc0x1x2的大小来分类，即x1x2x1x2x1x2【方法探究【例1】解不

【解析（1）－3≤x≤1（2）x＜－2，或x＜3（3）一切实数．（4）x＝3．（5）一切实数【例2】ax2xc0的解为2x1，则yax2xc的图象大致为 yxyx1y 1y-12-1x2【解析】

由于不等式ax2xc0的解为2x1xx2x1，A满足A.3a21x2a1x10的解为全a的范【解析】当a210时a1，当a1时，不等式为10，对于全体实数均成立；当a1时，不2x10，解并非为全体实数，故不满足条件；当a210时，不等式左侧为一元二次函数，若要解为全体实数，那么其函数图像开口向a21 x轴没有交点，故aa的取值范围为3a5

4a21

，解得

a【例4】当1x2时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围 x2处的函数值均要小于等于0，即1m442m40，解

m5[备选题ax2bxc0(a0)x2,x3求不等式bx2axc0的【解析】由不等式ax2bxc0(a0)x2,x3，可知a0ax2bxc0的两根分别为2和3，∴b c6即b a0，所以不等式bx2axc0bx2xc

，即5x2x60整理，得5x2x60 所以，不等式bx2axc0的解是x＜－1，或 6

xx2xb

xx2xx0yx22xx1y1x0yx22x，存在最大值，x1处取到，y1，综合两部分并结合函数图像可知，当b1或b1时，方程只有一个解；当b1时，方程有两个解；当1b1时，方程有三个解。【思维提升】【解析】a24①当0,即a2或a2方程x2ax10xaa24,xaa24

a a2xa a24a a2 a③当0，即2a2综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等

x ,或x a a a2a a2当2a2时 原不等式的解为一切实数mRxm2x22mx30解：m0时，因30一定成立，故原不等式的解集Rm0时，原不等式化为(mx3)(mx1)0m0时，解得3x1 m01x3 m0时，原不等式的解集为x3x1 mm0时，原不等式的解集为x1x3 m【例2】有100个装箱里有200个货物.取来的过程货物的序被打了它们按一定的规则新装入集装箱，将货物依出，依次放入集装中，集装箱体都是 1，且每个集装箱最多放两个货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把第二个货物装到下一个集装箱中.比如原来有 2 个集装箱中的货物体积是（.505）（.70【解析】要199个集装箱首先证明：将200个物品任意排列以后，必存在相邻的两个物品的体积之和不超过1.否则1

，，因此至多需要下面构造一种刚好用了199个集装箱的0.5002,0.5003,0.5004,…,0.5100,0.5000.4999,0.4998,0.4997,…,0.4901,0.490其中第一排放在奇数位置，第二排放在偶数位置.显然需要199个集装箱【课堂小下列满足一元二次不等式2x23x10的是 【解析】不等式可以化简为2x1x101x13 使实系数一元二次方程kx2(1k)xk0有两个实根的k的取值范围是 1k13

k 1k3k1k3

1k1k3【解析】k0，同时方程的判别式0即1k24k213k1k0，解1k1，综k03一元二次不等式ax2bx10的解集为1x1，则ab的值为 D．-【解析】由于不等式的解为1x1a0，同时11ax2bx10 yx22x3，当0x5MmM+ 【解析】

C．- D．x1M4m12Mm8.故选已知a ，关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( 【解析】

99根据题意可知，方程的根为3 ，则根据题意可知1 2，那么满足题意的a的值有8,7,6，则和99二、填空题若一元二次方程x2axa30有一正根和一负根，那么m的取值范围 【解析】aa3.

即a24a30同时根 已知不等式ax222x10的解集为xxx，且xx2，则a 【解析】a

根据解的形式可知a0）,a1

x1

284a2a1a2（a已知二次函数y3x2(2m6)xm3取值为非负数，则m的取值范围是 【解析】3m由于其取值非负，那么函数0，即2m6212m30，解得3m0三、解答题（1）x22x3x1x

x24x3（2）xx（3）3xxx0xyx22ax1a，当0x1时，y2a当0a1时其最大值在xa处取到此时a22a21a2解得a1 52四、附加题f(x2x24m)x4m，g(xmxxf(x至少有一个为正，求m的取值范【解析】当m0时，gx0，fx 4x40符合条件m0gxx0时不为正数，故必须fx必须x0时大于0fxxm14所以当m4时，f在x0上的最小 04 0不符合条件 当0m4时，fx在x0上的最小值f 12 0， m0gxx0时不为正数，故必须fx必须x0时大于0fxxm14所以m0fxx0f04m0m4f(x1x2xmxnf(x2m2n2m1ny12nn11 当m1时有， 处取得最大值m2 n2m2

x

m，在xn处取得最小 n， 是有

，将两式相减有mnmn60mn mn6； 时有m2 mn m

m m2m，解

，那么有mn6可以得到n6m代入到m2 m2m

2n当n1时，此时有 处取得最小值m2 n2m2

x

m在xn处取得最大 n 所以有

，这样

m0

m

，n 【概念解析一、数形结合思想二、分类讨论思想三、化归思想——换元法究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非问题标准化、复杂【方法探究

x22x2x1】已yx

x观察函数的图象回答：函数有最大值吗 ；有最小值吗 ；函数的取值范围 函数随x增大，函数值y的变化趋势 y2y0,y2,y5y3,y42f(x)f(x)aaf(x)【解（1）函数图像如下存在最小值，函数值的取值范围是全体实数x1时，函数随x的增大而减小；当1x0x的增大而增大；当x0x根据函数图像可知，函数图象与下列直线y2,y0,y2,y5,y3,y21个，1个，2个，3个，2个，1x22x22x2x0 a3时，方程fxa有两个根；当 a2时，方程fxa有三个根根据函数图像，在直线y2下方的点对应的横坐标的取值范围为x2x0①请分别画出上述两个函②判断函数有无最值，若有，请最值【解析①（1）的函数图像如下图所 （2）的函数图像如下图所②根据函数图像可知：（1）4，无最小值；（2）有最小值0，无最 x2 x2 x2

u，则 ，原方程化为u x2u1，u

解得 当u1时， 1，即x22x10，解得xx2 x2 当u22时， x2

22x2x20x1是原方程的解4】已yx22x22x22x，求函数的最【解析】题目中明显存在可以换元的部分，即x22x，故采取还原的办法令tx22x，函数tx22xx1，在此处取得最小值，那么可知函数范围t1，那么本题可以转化为如下问题：当t1yt22t的最值，根据其对称轴t1的位置可知，本函数只存y1，不存在最大值.[备选题g(x)x2x函数g(x)有无最值，若有，请最值g(xaa不同的部分分别求解，或绘制相应的函数图像。根据两个部分的正负，函数可以分为如下12x,x三个部分：x2，2x1以及x1，那么gx3,2x ，绘制图像如2x1,x下图所值，最小值为y3.从绝对值定义的几何意义入手，x

指的x到2x1上任意x到1点的距离，那么gx表示任意x到2和到1这两个点的距离之和，根据数轴上x点在2和1根据（1）问中的函数图像可知，若要使g(x)a有解，则需要a312若x 2

x21 1

x

1 1 【解析】设y ，则x y，x212 y1 1y4 1 1y4 y

y，且y 4 y 1 原式

y 2 y

y2

yy 2

yy

【思维提升】1（2012年北约自主招生xf(xx2xx1的增大而增大何含义，所以直接利用“零点”进行函数的分割，可知三个绝对值的零点分别为x2,0和1，函数图像如右图所示可知x0时，函数值x的增大而xxxx（回x0也正确111【例2】求函数y 1在0111111【解析】 u，易得1112u2u2

0x1，可以得到2u24， u2.那么原式y .明显，2

22着u的增大而增大，所以2 y822【课堂小结】【实战检测】已知集合A3,m2，B1,3,2m1，若AB，则实数m的值 若不等式mx2mx20对于一切实数x恒成立，则m的取值范 0m已知mR，求函数y(43m)x22xm在区间0,1上的最大值 时，ymax22m；m a3x23x4b的解集为ab(ab是常熟，且0ab4求a b 3 x或y52不等式(k21)x22(k1)x10对于x 恒成立，求实数k的取值范 答案(,设函数y ax2bxc(a0)的x、y的取值范围相同，求a，b，c应满足的条件.答案：a4，b0，c0或a0，bc0xRaxxa的取值范围 x分析：当x0时，原不等式成立，当x0时，设f(x) 1(x0)，原不等式等价于af(x)，此不等式对任意的非零实数成立，xafmaxx111x

＝3 答案3＝y3y＋2y－1＝0,y＝3xy31y4y3z思路提示：

xy

的取值范围附加把1~1993个自然数按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始顺时针的方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4……，这样每隔一个数，擦去一个数，转圈擦下去，问， 【概念解析一、集合的含义及其关系集合的相关概念：元素常用小写字母a,b,c...表示；集合用大写字母质确定性：集合中的元素是确定的，不能

,C...表示集合应具备NN*NZQRC集合与元素的关系aAaA；元素a不属于集合A，记为aA集合的表示方法：

}”内表示集合描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法例如：xA|pxx称为集合的代表元素，px称为集合的特征性A是x的范围，有时也可以写成x|px,x图示法：利用图象的方法表示集合，如利用数轴、基本图象、 图等二、集合间的基本关系子集对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说ABAB(BA)读作：AB（B包含。即xAxBA真子集：AB（BA。即xAxBxBxAA【注】空集是任何非空集合的集合相等：ABABBAAB。相等的两个集合中元素必然一一对三、区间的概念及表示定名符数轴表示x|axa,x|axa,x|ax[a,x|ax(a,x|x[a,x|x+,【方法探究1（1）求数集1,xx2x中的元x应满足的【解析】由于集合具有互异性，所以集合内的所有元素互不相等，那么可以构造不等式组xxx2xxx1,x

1

,x0x2xxx,x

x2,3x3所组成的集合，最多含 C．4【解析】本题在考核集合的互异性

x3x3xxxx其中一个等那么可知这个集合中至多只可能有两个元素，即当x0时，集合存在两个元已知集Ax|x1Bx|yx21}Cy|yx集合元素相同的 【解析】BAx1的实数构成的数集B中，特征元素x，而不是函数y，由x没有任何限制，所以其指代全体实数集合，在集合Cy，是一个一次函数的函数值，其取值范围是全体实数，所以集合指代全体实数构成的集合，所以集合元素相同的是B和C.【例2】用适当的方法表示x220【答案】{2,正偶数集。【答案】{x|x2nnNy

x2x

【解析】{x|x2x x2x

故采用描述法表示集合{x|x2x函数yx21【答案】{y|y【答案】{(x,y)|y2xy方程组 的3x2y,【答案】5,72设集合A是正整数的集合，则 A A 223设集合B是小 B，1 23集合Ax|x72，Bx|x5，则 B， 0A

2A；10是正整数，所以10A.32本问同样在考核元素与集合的关系，23212，而11211，所以2 而集合B表示小于 的集合，故23B；1 2232 112，故322 B2本问考核集合与集合的关A|x9Bx|x5A中元素B中的元AB（AB由于空集是任何非空集合的真子集，所以B（或B【例4】集合M{1,2,3,4,5}的真子集个数是 【解析】

M的子集个数由其所包含元素个数决2532，由于题目要求求解真子集个数，所以从所有自己中去掉与原集合相等的集合，所以有31B.[备选题已知集Ax2x4Cxx24ax3a20a0，且满AC，求实数a的取值范围。【解析】明显，a的取值不同会影响集合C，所以进行分类讨论如下：①a0，则Cx|x20不满ACa0②若a0，则Cx|ax3aAC得a3a

4a23a③若a0，则Cx|3axaAC得3aa综上，实数a4a23已知集合Ax, xy1，B0,x,y，若AB，求x,y的值xyxy么y0，所以可知只有0xy1，A集合便为x,10，那么对B集合而言，若x1x1，根据集Axyxyx1,y

k |mIn,kIn，那么集合k

kk

k4k1,2,3这3个数字，那么我们知道，所有m 的组合一共有7749种，去掉其中k2Aa1a2Lan1a1a2Lann2P：对任意的i,j1ijnaaaj两数中至少有一个属于A.aiai分别判断数集134与1236P

1a1a2Lan a1a1L 【解析（1）由于34与4均不属于数集13,4，所以该数集不具有性质3 , ,由于12,13,16, 661236都属于集1,2,3,6 , ,23123（2）Aaa,LaPaaan中至少有一个属于a nan由于1a1a2Lan，ananan，故ananA从而1anA，a1ana又1a1a2Lan，所以akanan，故akanAk2,3,LnAPanAk12,3,LnananLanan又 故ana,ana,Lan ,ana 1 从而ananLananaaL a

从而得

a2L a 1a1a1L 1【课堂小结一、选择题 【解析】除C．选项各个选项的集合均满足集合是对于选项C.中的集合“巨人” 1xC．1,【解析】

B．1xD．x|1x区间形式表述，但不可以再添加“”，故只有D正确已知集合MxZ|1xm，若集合M有4个子集，则实数M 【解析】MxZ|1xmM1,2，故m2B.2 2①0N

R；③0Q；④4096Z；⑤11；⑥⑦423x|xab3,aQ,bxx⑧若ax N，则一定a |xxx 【解析】2对于关系①，0是自然数，所以其属于自然数集，故0N正确；对于关系 为22理数，属于实2

R正确；对于关系③，01，是有理数，故0Q 64是正数，故4096Z正确；对于关系⑤，集合1是以集合1为元素的集合，那么1不是1中的元素，故11不正确；对于关系⑥，423 空集中不包含任何元素，故正确对于关系423 其形式满足集合内的描述，故正确；对于关系⑧，若ax xN，那么a为完全方数，对于集合x|xN而言，其实所有自然数的二次根构成的集合，必然Ax|xm2n2mZnZBx|x4m2,mZCx|x4m3n,mZ,nZ，Dx|x2m3n,mZ,n以下说法中错误的是 任意xA，都有xC．任意xC，都有x【解析】

任意xB，都有xDxD，都有x对于A选项，集合A的要求是xm2n2mnmn，其中元素若定不属于B中的元素为偶mnmn均为偶数那么其一定是4的倍数，不能表示4m2的形式，所以，也B集合，所以任意xA，都有xB正确；x22m3nD的描述，所以任意xC，都有xD正确；对于选项D，x2是集D中的元素2不是集A中的元素，所以不正D.二、填空题用“”或 ”填空（1）若Ax|x23x40,则 A， A（2） ， 5 N N N, N52

Q， Q 2 x|x2m1,mZ, x|x2m3n,mZ,n222 x|xa 6b,aQ,22 【解析（1）对A，解方程A14，则1A4A空集中不包含任何元素，所以0，对于集合0，其中只有一个元素就是0005 4均是自然数 不是自然数所以0N55N NN*表示正整数集合，故0N*2Q表示有理数集合，故1QQ22

Q集合x|x2m1,mZ表示所有奇数构成的集合，故2x|x2m1,mZ由于72231x2m3n的形式，故7x|x2m3nmZnZ22322 22326（6）23 6 2 23x|xa 6b,aQ,b2凸集，给出平面上4个点集的图形如影区域及其边界），其中为凸集的是【解析】若数集AxAxNxAx1Ax1A有且仅有一个成立，则称集A为H”集合。若数BB是“H”集合，则数集B中元素的个数最多为根据题意可知，若是“H”，那么连续的三个数 至多可以选择60个数字，故集合B中最多有60个元素.三、解答题已知集AxR|ax22x10，其中a若1是A中的一个元素，用列举法表示A若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B若Aa当A不为空集时，求A中所有的元素和（1）由于1A中元素，故1是方程ax22x10x1代入到原a210a3，那么方程3x22x10 3若集A中有且仅有一个元素，那么可知方程ax22x10只有一个根。那么当a0时，方程变2x10a0时，方程若有一个根那么判别式等于0，那么224a0a1B0,1；A中至多有一个元素，那么方程有一个解或无解，若方程无解，则判别式小于0，即224a0a1，结合第（2）问解得的一个解得情况，可知，此时的取值范围是a0a1；2 和为1；当a1时方程若有且只有一个根，x1，故 和为2 定理可知xx2，则 为2a10Ax|2x5Bx|m1x2m【解（1）m12m1m2时，B满足题意m12m1m2BAm122m15，可得3m32m3.m3BA.（2）xZA2,10,12345,，共8个元素，故A的非空真子集的个数282254个xRAx|2x5Bx|m1x2m1，且不存在元素同时在两个集合之中，即A,B没有公共的元素。m12m1m2B满足题m12m1m2时，要AB没有公共元素，则有mm1

m或2m12

m

mm4时不存在元素同时属于两个集合四、附加题XRx0Ra0xX得0xx0ax0X |nZn0；②x|xRx01|nZn0n 其中以0为聚点的集合的序号有【解析】

（写出所有正确集合的序号①中，集合 |nZ,n0中的元素是逐渐趋近与1的递增数列，除了第一项0n 外，其余的数至少比01a1的时候，不存在满足0x0ax2所以0不是集合

xa（找到比a②集合x|xRx0，对2可，使得0x0aa，满足要求，故02③集合1|nZn0中的元素是慢慢趋近于0的数列，对于任意的a0③集合 n1x1a，则使得0x0a，满足要求，故0 4从而0不是集合的聚点.设Sx|xm 2n,mZ,nS中任意两个元x1x2x1x2x1x2是否属于集S对于给定的正数n，试求满足0m 2n1的S中元素的个数

2b，x2c 2d，其中a,b,c,dZ2那么x1x2ac bd，acZ，bdZ，满足集合S要求，22x1x2S；x1x2a 2bc 2dac2bd2

adbc若0m 2n1，则2nm 2n，由于2n与 【概念解析一、集合的运算ABAB的元素构成的集合叫做AB的交集，记作AIB。AIBxxA且xVenn图表示并集：一般地，对于两个给定的集合A,B，由两个集合中所有元素构成的集合叫做B的并集AUBAUBxxA或xVenn图表示常用U表示。补集：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素合，叫做A在U中的补集CUA读作“A在U中的补集CUAxxU且xVenn图表示二、集合运算的简单性质AIAA，AI，AIBAIBAUAA,AUA,AUBBUA(AIB)(AUB)ABAIBA;ABAUBBCUAICUBCUAUB，CUAUCUBCUAIBAUCUAU，AICUA三、容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑的情况，把包含于某内们规定对于有限集A，用|A|表示集合A中元素的个数。两个集合的容斥关系公式|AUB||A||B||AIB三个集合的容斥关系公式：|AUBUC||A||B||C||AIB||BIC||CIA||AIBIC【例1（1）已知集合A1,0,1，Bx1x1，则AIB A． B．1, D．1,【解析】B中不包含元素1，可知AIB10，故选AA．2,

x10，B2,1,0,1，则(CRA)IB C．1, D．【解析】Ax|x1，那么CRAx|x1B取交集的结果是2,1，故选A.设集合A{a,b}，B{b,c,d}，则AUB C.{a,c, D.{a,b,c,【解析】AUB{a,bcd设A{x|x2x0},B{x|x2x0},则AIB等于 【解析】

对于集合A，解方程可得x1或0，所以A0,1，对于集合B，解方程可得x 10，所以B10，那AIB0，故【例2】50名学生参加跳远和铅球两项测验，跳远和铅球两项及格的分别是40人和31人，两项测验均不及格的有4人，两项测验部分都及格的人数是( 【解析】

本题考核容斥原理，设全集U{x|x是参加跳远和铅球的学生}A{x|x及格的学生}B{x|x是铅球及格的学生}B31CUAUB4

50，A40AUB

CUAUB46AUB

AB

AI

25.3】已知全集URM{x2x12}N{xx2k1,k1,2,L A．3B．2C．1D．无穷【解析】MIN1,32个，故选B.【例4】集合A0,2,a,B1,a2,若AUB0,1,2,4,16,则a的值为 A02a,B1a2,AUB0,124,16，根据并集的运算性质及集a2

[备选题1．若全集UxR|x24，AxR|x11的补集CUA为 A．xR|0xC．xR|0x

B．xR|0xD．xR|0x【解析】解不等式可得UxR|2x2AxR|2x0CUAx|0x2设集Ax|x23x20Bx|x22a1xa25AIB2aAUBAa若URAICUBA.a的取值范围（1因为A 或a3，当a1Bx|x24022，满足条件；当a3Bx|x24x402，满足条件；综上a的值为1或3B，

1242583AUBABA当0a3B，满足条件；当0时a3时，B2满足条件；当 时，即a3时，BA1,2才能满 件，则由根与122a a数的关系得

即 ；综上，a的取值范围是a3

33符合B，则a3时，B2AIB2，不合题意；若a3，此时需1B2B，将2B的方程a1a3（舍去）；将1B的方程得a22a20a1a1a3a1.33333综上，a的取值范围是a 3或3a 或 a1或1a3333或a 3①③④其中是集合X上的拓扑的集合的序号 ①不是拓扑，因为{a}，{c}，但{aU{c}集合，给出如下四个结论：①集合A4,2,0,2,4为闭集合；②集合An|n3kkZ为闭集合；③若集A1,A2为闭集合A1UA2为闭集 【解析】对于结论②n1n2A，那么n13k1n23k2k1k2Z，那n1n23k1k2AA是闭集合，故结论②对于结论③A1x|x3kkZA2x|x5kkZA1A2均为闭集合3,5A1UA2，但是35A1UA2，所以A1UA2不是闭集合，故结论③不正确；对于结论④，利用反证法证明，假设不存在cR，使得cA1UA2，那么可知A1UA2R，对于a1A1，a2A2A1UA2Ra1a2RA1UA2，a1a2A1a1a2A2a1a2A1a1a1a2A1,从而a1a1a2a2A1，即任意A2中的元素A1中的元素，同理可以证明，任AAAARAUAARRR 1 盾，故假设不cR，使cA1UA2，故结论④正确。综上所述，故填②④。【课堂小结【实战检测一、选择题已知集合Ax|x22x0，B0,1,2，则AIB A． B． C．0, D．0,1,【解析】解方程A02，显AIB02，故选设集合U1,2,3,4,5，A1,3，B2,3,4，则CUAICUB A． B． C．2, D．1,2,4,【解析】由题意得CUA245CUB15，则CUAICUB5，故设全集UMUN1,2,3,4,5，MICUN2,4，则N( A．1,2,3 B．1,3,5 C．1,4,5 【解析】MICUN2,4M2,4但是集合N中不包含2,4，又全集出现（可以绘制Venn图研究B.已知集AxR|x23，集BxR|xmx20AIBxR|1xn，则 A.m1,n B.m1,n C.m1,n D.m1,n【解析】Bx|1x2，根据解不等式的原则可m1，那么两集合取交集可得n1，故选A.设全集U是实数集R，Mx|x24，Nx|x3或x1都是U的子集，则 A．x|2xB．x|2xC．x|1xD．x|x【解析】U得CUMx|2x2，所NICUMx|2x1，故A.U二、填空题ABab|aAbB，已知A0,1B10，AB ；AA 【答案】：0,10,0,1,11,0；0,11,0,0,0,若非空集合Xx|a1x3a5，Yx|1x16，则使得XXIY成立的所有a的集合是 若集A1,A2A1UA2，则称A1A2为集合A的一种分拆，并规定：当且仅A1A2时，A1,A2与A2,A1为集合A的同一种分拆，则集合Aa1,a2,a3的不 【解析：元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8中分拆.故集合A的不同分拆有27种.三、解答题Aa22a14B1aa59AIB9a的值【解析】AIB9，所以9B且9A.a29a3，则当a3A459，但集B中出现两个2，舍a3A749，满足意.2a19a5A去.综上所a3

49,25，此时AIB49，不符合题意，舍Mx|x23x20Nx|ax10，若NUMMa a N

a 四、附加题设集合Aa1,a2,a3,a4，若A中所有三元子集的三个 和组成的集合B1,3,5,8,则集合A 【解析】6,20,aaa ,将这四个式子相加,可以得到3(aaaa15aaa a1aa

,故填620P具有以下性质：（1）P中元素有正数，有负数；（2）P与集合P的关系 P P【解】首先证明0

yP0,kxPkN*由于集合P中存在正数也存在负数,不妨设集合某一正整数为a,某一负整数为ab0,则ab0P若ab0,通过性质(*)有abP,|b|aP那么存在ab|b|ab|b|)a0综上所述,故有0下面证22集合P中不包含任何负奇数。因为P中必有负数,而又不包含负奇数,所以P中必定存在一个负偶数.设为2x.x1,则2x2.x1,那么2x2的某个正整数倍一定等于2.2PP中必有奇数,而负奇数都被否定,P中必定存在一个正奇数.此正奇数加上整数倍个2，结果必为1。与题设。2P。故应填，。第七 【例1同时满足(1)M{1,2,3,4,5}，(2)若aM则6aM的非空集合M有 A．16 B．15 C．7 D．6【解析】aM，则6aM可知，1和524M5三部分15，24，3，当从中是选1个部分时，有3个满足条件的非空集M；23M31【例2】Ax|5xa0,Bt|6tb0,a,bN，且AIBIN{2,3,4}，则整数对a,b的个数为( 【解析】ABAx|xaBt|tb AIBx|bxaAIBIN23,44a5,1b2 5 5 【例3】满足Ma1,a2,a3,a4，且MIa1,a2,a3a1,a2的集合M的个数是 【解析】MIa1a2a3a1a2，可知集M中不包a3，但一定包含元素a1,a2，而元素a4是否在集合中不能确定，所以Ma1a2Ma1a2a4，有两种，故选4】设Mxx22x30}Nxax10，若MINN，求所有满足条【解析】M={-1，3}因为MINN，所以N②当N时xa所以x1或x3，所以11或13，所以a1或a 13[备选题nAPnxA，则2xAxCpA，则2xn=【解

Afpnp倍就不在集合A中，对于条件③，其含义是若一个元素不在集合A内，则它的2倍必然在Ax|0ax15Bx|1x2 ABaBAaA,B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由【解析】A中不等式的解集应分三种情况①若a0AR②若a0Ax|4x1 a③a0Ax|1x4 a0AB，此种情况不存在.当a0AB4 aa

2，所以a ，解得a8 当a0时，若AB，如图所示 a1a则

2，所以a2，解得a2.a的取值范围是a8aa2 当a0BA；当a0BA4 a a

2，解得a ，所以2a0 当a0BA 则 2，解

a

，所以0a2.BA

aa

a 【能力提升】A的一个“孤立元”，给定S1234567,8S3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个。【解析】34}{4,5,6},{5,6,7},{67,8}6个.

A

NnNBtt2k121kN，则这3n3n5集合的关系 【解析B

为正整数时，4n55n4k2kNAn|n4k2,kN；对于B，可以它化简为以下【课堂小结【实战检测一、选择题集合AxN|x6,BxR|x23x0，则AIB= A．3,4, 4,5, C．x|3x D．x|3x【解】A0,1,2,3,4,5,6,x23x0B{x|x0x3}AB集合取交集,结果为4,5,6,故选 D．【解析】NICIMVennNMMUNM下面个选项中的M与P表示同一个集合的是 MxR|x20.010Px|x2Mxy|yx21xRPxy|xy21xMy|yt21tR与Pt|ty121yMx|x2kkZPx|x4k2,k【解析】AMP0,故不相等;B选项中,MP2PM的真子集，故不相等。所以选择C。设集Ax必满足

x

1,xR，B=x

x

2xRAB，则实数ab B．abC．ab D．ab【解析】Ax|a1xa1Bx|xb2xb2}ABa1b2a1b2，即ab3或ab3ab3.ABA*Bz|zxyxxAxB 集合A0,2，B1,2，C1，则集合(A*B)*C的所有 和为（【解析】

A*B定义可知,A*B中元素有z0100z2124 z0200z2225,由集合的互异性可知,A*B0,4,5, (A*B)*C0,4,5,故(A*B)*C的 二、填空题集合Ay|y21,Bx|ax0，且R 【解析】a

AUCRBCRA，则实数a的取值CRAUCRBCRACRBCRACRAx|x1x1}CRBxa，那么可知a1a1集合AxZ|y 6,yZ那么A的真子集个数 【解】

x A指可以使x

为整数x这样的x1的值有，6321,12,3,6共8A7,4,3,2,0,12,5281255255已知Ax|x28m20n,mZ,nZ，Bx|x12m8n,mZ,nZ，则AIB中最小的正整数是 xAIBx28m120n112m28n2m1n1m2n2Z对于28m120n147m15n17m15n1可以取到最小的正整数为1m17，