函数奇偶性与周期性考题

函数奇偶性与周期性考题函数奇偶性与周期性考题函数奇偶性与周期性考题函数奇偶性与周期性考题编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:函数周期性高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．求下列函数周期f(t)＝f(1－t)角度一：周期性与奇偶性结合1、设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)\f(1,4) \f(1,2)解析：选A∵f(x)是周期为2的奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).2．(2014·四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋2＝1.答案：13．已知定义在上的奇函数满足，且，则（）A．0B．-1C．1D．2【答案】B4．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝－x2，则f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))的值等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,5)解析：选C由f(t)＝f(1－t)得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)，所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，所以f(x)的周期为2.又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，所以f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝－eq\f(1,4).5．设偶函数f(x)对任意，都有，且当时，，则（）A．10B．C．-10D．【答案】B6．设偶函数SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．10B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)<f(11)解：选D∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．8、已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(4)成立，则f(2014)的值为()A．4024 B．2014C．2解：函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，则f(－2)＝0．∵f(x＋4)＝f(x)＋f(4)，∴令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(4)，∴f(4)＝0．∴f(x＋4)＝f(x)，即4为f(x)的周期．∴f(2014)＝f(503×4＋2)＝f(2)＝0，故选D．9、已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(2－x)，且函数y＝f(x)在区间[0,1]内有且只有一个零点eq\f(1,2)，则y＝f(x)在区间[0,2014]上的零点的个数为()A．2012B．1006C．2014 D．解析：选C由f(x＋1)＝f(x－1)可得函数f(x)为周期为2的周期函数，由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称，由函数y＝f(x)在区间[0,1]上有且只有一个零点eq\f(1,2)，可知函数y＝f(x)在区间[1,2]上有一个零点eq\f(3,2)，又f(x)在区间[0,2014]上有1007个周期，故有2014个零点．10、已知奇函数满足对任意都有成立，且，则．【答案】11．已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则_______．【答案】12．已知函数满足，且，当时，，求（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C13．定义在实数集上的奇函数,对任意实数都有,且满足,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答】C3．(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)解：选A∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)＜1，即eq\f(a－4,a＋1)＜0，解得－1＜a＜4，故选A.14．已知函数满足，且，当时，，求（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C15.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（1－x），x≤0，,f（x－1）－f（x－2），x＞0，))则f(2013)的值为______________．解：∵x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．两式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，因此，f(2013)＝f(6×335＋3)＝f(3)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，∴f(2013)＝0，故填0．16．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.17、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．课后：1．定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B2．已知函数，则下列结论正确的是()A．是偶函数B．是增函数C．是周期函数D．的值域为【答案】D3．已知定义在上的函数，对任意，都有成立，若函数的图象关于直线对称，则A．B．C．D．【答案】A．4．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根；其中正确的命题个数为（）.2C【答案】D6．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（）A．函数是周期函数，且周期T=3B．函数在上有可能是单调函数C．函数的图像关于点对称D．函数是偶函数【答案】B7．函数对于任意实数满足条件，若，则（）A、B、C、D、【答案】B9．已知定义在R上的函数满足条件；①对任意的，都有；②对