点线面投影课件

点、线、面的投影点、线、面的投影1投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图

投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法2中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差投影特性投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变中心投影法投射中心、物体、投影面三者之间的相3平行投影法斜角投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面直角（正）投影法平行投影法斜角投影法投影特性投影大小与物体和投影4HWV1.1点的三面投影1.1.1基本概念1、投影面◆正面投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧面投影面（简称侧面或W面）2、投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直HWV1.1点的三面投影1、投影面◆正面投影面（简称正◆水5WHVoX1.1.2空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●a●A●ZY问题：为什么需要三个投影面？WHVoX1.1.2空间点A在三个投影面上的投影a点A的正6WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动1.1.3投影面展开aaZaayayaXYYO●●az●xWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向7●●●●XYZOVHWAaaa1.1.4点的投影规律:①aa⊥OX轴②aax=aaz=y=A到V面的距离aax=aay=z=A到H面的距离aay=aaz=x=A到W面的距离xaazay●●YWZazaXYHayOaaxaya●

aa⊥OZ轴●●●●XYZOVHWAaaa1.1.4点的投影规律:8●●aaax点的投影规律的应用例1：已知点的两个投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通过作45°线使aaz=aax解法二:用圆规直接量取aaz=aaxa●●●aaax点的投影规律的应用●a●●aaaxazaz9●●●●XYZOVHW

A(X,Y,Z)aaaxaazay1.1.5点的三面投影与空间坐标系ayayZa(x,y)

a(x,z)aXazXYHYWO

a〞(y,z)

●●●●●●●XYZOVHWA(X,Y,Z)aa10应用1、判断两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。如何根据点的投影判断两点的位置？判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上baa

abb●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ应用两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、11例:已知B点的三面投影，且A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的三面投影。点线面投影课件12a'a"aXZYWYHOb'bb"589a'a"aXZYWYHOb'bb"589131.1.6重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●aacc被挡住的投影加()()1、A、C为哪个投影面的重影点呢？2、重影点的坐标有何特点？ac1.1.6重影点：空间两点在某一投影面上的投14CDAB

判断重影点的可见性CDAB判断重影点的可见性15aaabbb●●●●●●1.2

直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。aaabbb●●●●●●1.2直线的投影16⒈直线对一个投影面的投影特性1.2.1直线及直线上点的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●⒈直线对一个投影面的投影特性1.2.1直线及直线上点的172直线上的点的投影特性◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

判别方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理2直线上的点的投影特性◆若点在直线上,则点的投18点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abcabccabcab●点C在直线AB上●●●点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca19例2：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a

b上，故点K不在AB上。应用定比定理abkabk●●另一判断法?例2：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a20例3已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2:1两段，求分点C的投影。cc’返回例3已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=221例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。返回accbc’例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。返回a22点的三面投影在直线的三面投影上则点在直线上。点的两面投影在直线的两面投影上则点未必在直线上：若直线为一般直线则结论成立。若直线为特殊直线则（1）作出第三面投影（2）用定比定理只要点的一面投影不在直线的投影上则点一定不在直线上。点的三面投影在直线的三面投影上则点在直线上。231.2.2

直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面1.2.2直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某24（一）

一般位置直线（一）一般位置直线25（侧平线）（二）

投影面平行线（侧平线）（二）投影面平行线26baababbaabba①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβbaaabbbaababbaabba①在其平行的那个投27（三）

投影面垂直线（三）投影面垂直线28

反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)反映291.3两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。1.3两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交30⒈两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。问题：两直线的投影平行则空间位置一定平行吗？aVHcbcdABCDbda⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则31abcdcabd例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①abcdcabd例1：判断图中两条直线是否平行。32bdcacbaddbac

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？bdcacbaddbac对于33HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点HVABCDKabcdkabckdabcdba34●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与A35dbaabcdc1(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4●●两直线相交吗？dbaabcdc1(2)3(4)⒊两直线交36例题1判断两直线的相对位置od’’a’’c’’b’’yyz返回例题1判断两直线的相对位置od’’a’’c’’b’’y37例题2判断两直线的相对位置1’1’1’d’1’c’例题2判断两直线的相对位置1’1’1’d’1’c’38

小结★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。★定比定理。

重点掌握：小结★点与直线的投影特性，尤其是39一、点的投影规律aaZayayaXYYO●●●xaza①aa⊥OX轴②aax=aaz=y=A到V面的距离aax=aay=z=A到H面的距离aay=aaz=x=A到W面的距离

aa⊥OZ轴一、点的投影规律aaZayayaXYYO●●●xaza①40二、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒉投影面平行线

在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。⒊投影面垂直线

在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。二、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴41三、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。四、两直线的相对位置⒈平行⒉相交⒊交叉（异面）

同名投影互相平行。

同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。

同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。三、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成42●●●●●●abcabc1.4平面的投影一、平面的几何表示法●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线平面图形●●●●●●abcabc1.4平面的投影一、平面的43PvPHQvQH上一级PvPHQvQH上一级44三、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性三、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面45⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分46侧垂面正垂面铅垂面1投影面垂直面（直观图）侧垂面正垂面铅垂面1投影面垂直面（直观图）47xa’b’a’’b’’baozyycc’’c’投影特点：问题：什么面的投影？铅垂面xa’b’a’’b’’baozyycc’’c’投影特点：48ZXababbaOYYαccc投影特点：问题：什么面的投影？正垂面ZXababbaOYYαccc投影特点：问题：49Yzxa’b’b’’baoYa’’αβcc’c’’问题：什么面的投影？投影特点侧垂面Yzxa’b’b’’baoYa’’αβcc’c’’问题：什么50积聚性——在所垂直的投影面上的投影积聚成直线。类似性——在其他两面上的投影为类似形。积聚性投影线与坐标轴的夹角真实反映平面与相应投影轴的夹角。积聚性——在所垂直的投影面上的投影积聚成直线。51XOZYYPH上一级XOZYYPH上一级52XOZYYαγQV上一级XOZYYαγQV上一级53上一级上一级542投影面的平行面c’’Ya’’b’’b’oYa’c’bcaXZZcYXa’b’b’’baoYa’’c’c’’2投影面的平行面c’’Ya’’b’’b’oYa’c’bcaX55实形性——在平行的投影面上的投影，反映实形。积聚性——在另两投影面上的投影积聚成直线，并平行于相应的投影轴实形性——在平行的投影面上的投影，反映实形。56abcacbabc（3）一般位置平面三个投影都类似。投影特性：abcacbabc（3）一般位置平面三个投影都57S’a’b’c’sabcs”a”(c”)b”SAB____SAC____SBC____ABC____哪些投影反映实形？S’a’b’c’sabcs”a”(c”)b”SAB____S58四、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈直线在平面上的几何条件四、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法定59abcbcaabcbcadmnnmd应用例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一wabcbcaabcbcadmnnmd应用60例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解？例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到nmnm10c61⒉点在平面上的几何条件（1）找出过此点而又在平面内的一条直线（2）在该直线上确定点的位置。应用例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abcabkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解⒉点在平面上的几何条件（1）找出过此点而又在平面内的一条直62bckadadbcadadbckbc例2：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一解法二bckadadbcadadbckbc例2：63例3判断K点是否在平面ABC上例3判断K点是否在平面ABC上641.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题

直线与平面平行

平面与平面平行包括⒈直线与平面平行的几何条件定理：

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。1.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相65n●●acbmabcmn应用例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？n●●acbmabcmn应用例1：过M点66正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面

ABC。c●●bamabcmn唯一解n正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面c●●ba67⒉两平面平行的几何条件①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef⒉两平面平行的几何条件①若一平面上的两相交直线对应平行68二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交69abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线M70km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图用面上取点法km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间71⒉两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线72可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能否不用重影点判别？能!如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴两平面均为特殊位置的平面可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbe73bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m

、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n●2●n●m●1●⑵有一个平面为特殊位置的平面bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析74cdefababcdef⑶注意交线的界限投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n●m●k●m●k●互交cdefababcdef⑶注意交线的界限投影分析75小结

重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。及如何判断直线、点是否在平面上三、会求直线与平面的交点及平面与平面的交

线。解题思路：★空间及投影分析目的是找出交点或交线的已知投影。★判别可见性尤其是如何利用重影点判别。

一、点、线、面的投影特性，尤其是特殊位置的直线、平面的投影特性。小结重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点76要点一、各种位置直线、平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形——类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线

——积聚性。另外两个投影类似。

在其平行的投影面上的投影反映实形

——实形性。另外两个投影积聚为直线。要点一、各种位置直线、平面的投影特性⒈一般位置平面⒉77二、平面上的点与直线⒈平面上的点一定位于平面内的某条直线上⒉平面上的直线⑴过平面上的两个点。⑵过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。⒉两平面平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于另一个平面上的一对相交直线。二、平面上的点与直线⒈平面上的点一定位于平面内的某条直线上78四、相交问题⒈求直线与平面的交点的方法⑴一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。⑵投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。⒉求两平面的交线的方法⑴两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。⑵一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。四、相交问题⒈求直线与平面的交点的方法⑴一般位置直线与特791.6换面法一、问题的提出★如何求一般位置直线的实长？★如何求一般位置平面的真实大小？

换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。解决方法：更换投影面。1.6换面法一、问题的提出★如何求一般位置直线的实长？80VHABabab二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。(平行或垂直于空间位置）平行于新的投影面垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1VHABabab二、新投影面的选择原则1.新投影面81VHAaaaxX⒈更换一次投影面

旧投影体系X—VH

新投影体系P1HX1—A点的两个投影：a，aA点的两个投影：a，a1⑴新投影体系的建立三、点的投影变换规律X1P1a1ax1VHXP1HX1aaa1axax1.VHAaaaxX⒈更换一次投影面旧投影82ax1VHXP1HX1aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新旧投影之间的关系

aa1

X1a1ax1=aax点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。axa一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。.ax1VHXP1HX1aaa1VHAaax83XVHaaax更换H面⑶求新投影的作图方法VHXP1HX1

由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aaX1P1Ha1axax1ax1更换V面●a1作图规律：..XVHaaax更换H面⑶求新投影的作图方法VHX84⒉更换两次投影面先把V面换成平面P1，P1H，得到中间新投影体系:P1HX1—再把H面换成平面P2，P2P1，得到新投影体系:X2—P1P2⑴新投影体系的建立按次序更换AaVHaaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a2⒉更换两次投影面先把V面换成平面P1，P1H，得到中85ax2aaXVH⑵求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2

作图规律

a2a1X2轴

a2ax2=aax1a1axax1..ax2aaXVH⑵求新投影的作图方法a2X1HP86VHABabab四、换面法的四个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空间分析：作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。ababXVH新投影轴的位置？a1●b1●与ab平行。.VHABabab四、换面法的四个基本问题1.把一般87a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：ababXVHX1H1P1P1P2X2作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2b2ax2a2b2.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直线88

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？

a

b

cabcdVHABCDX

d3.把一般位置平面变换成投影面垂直面

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1d1空间分析：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？

思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换89αab

cacbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HP1X1作图过程：★在平面内取一条水平线AD。dd★将AD变换成新投影面的垂直线。d1●a1d1●c1●

反映平面对哪个投影面的夹角？.αabcacbXVH例：把三角形ABC变换成投影90a1b1●需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P24.把一般位置平面变换成投影面平行面abacbXVHc作图：AB是水平线空间分析：a2●c2●b2●c1●X2轴的位置？平面的实形.X1HP1.与其平行a1b1●需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换91b1距离dd1X1HP1X2P1P2c2d例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。ccbaabXVH五、换面法的应用

如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。APBDCcabd作图:

求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1a1a2b2d2过c1作线平行于x2轴。...如何确定d1点的位置？b1距离dd1X1HP1X2P1P2c2d例1：求点92baabcd●c例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MN●m●d●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径=MN●n●m

当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：请注意各点的投影如何返回？求m点是难点。..baabcd●c例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线93空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例3:过C点作直线CD与AB相交成60º角。dX1HP1X1P1P2ab

a

cbXVHc作图：c2●●●c1●a1b1●a2●d2●d●b2●

几个解？两个解！

已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D点的投影如何返回？..空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反94P2P1X2HP1X1cdbadacb●d1●c1●a1●d2●b1c2●●a2≡

b2θVHXθ例4：求平面ABC和ABD的两面角。空间及投影分析：

由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。

在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。..P2P1X2HP1X1cdbadacb●d1●c1●95小结本章主要介绍了投影变换的一种常用方法

——换面法。一、换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。二、换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。小结本章主要介绍了投影变换的一种96换面法的四个基本问题：

2.把一般位置直线变成投影面垂直线1.把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线换面法的四个基本问题：2.把一般位置直线变成投影面垂直97四、解题时一般要注意下面几个问题：⒈分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中

物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。⒉根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。⒊

在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投

影体系中去。四、解题时一般要注意下面几个问题：⒈分析已给条件的空间情况98ENDEND99

点、线、面的投影点、线、面的投影100投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图

投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法101中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差投影特性投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变中心投影法投射中心、物体、投影面三者之间的相102平行投影法斜角投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面直角（正）投影法平行投影法斜角投影法投影特性投影大小与物体和投影103HWV1.1点的三面投影1.1.1基本概念1、投影面◆正面投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧面投影面（简称侧面或W面）2、投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直HWV1.1点的三面投影1、投影面◆正面投影面（简称正◆水104WHVoX1.1.2空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●a●A●ZY问题：为什么需要三个投影面？WHVoX1.1.2空间点A在三个投影面上的投影a点A的正105WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动1.1.3投影面展开aaZaayayaXYYO●●az●xWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向106●●●●XYZOVHWAaaa1.1.4点的投影规律:①aa⊥OX轴②aax=aaz=y=A到V面的距离aax=aay=z=A到H面的距离aay=aaz=x=A到W面的距离xaazay●●YWZazaXYHayOaaxaya●

aa⊥OZ轴●●●●XYZOVHWAaaa1.1.4点的投影规律:107●●aaax点的投影规律的应用例1：已知点的两个投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通过作45°线使aaz=aax解法二:用圆规直接量取aaz=aaxa●●●aaax点的投影规律的应用●a●●aaaxazaz108●●●●XYZOVHW

A(X,Y,Z)aaaxaazay1.1.5点的三面投影与空间坐标系ayayZa(x,y)

a(x,z)aXazXYHYWO

a〞(y,z)

●●●●●●●XYZOVHWA(X,Y,Z)aa109应用1、判断两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。如何根据点的投影判断两点的位置？判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上baa

abb●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ应用两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、110例:已知B点的三面投影，且A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的三面投影。点线面投影课件111a'a"aXZYWYHOb'bb"589a'a"aXZYWYHOb'bb"5891121.1.6重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●aacc被挡住的投影加()()1、A、C为哪个投影面的重影点呢？2、重影点的坐标有何特点？ac1.1.6重影点：空间两点在某一投影面上的投113CDAB

判断重影点的可见性CDAB判断重影点的可见性114aaabbb●●●●●●1.2

直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。aaabbb●●●●●●1.2直线的投影115⒈直线对一个投影面的投影特性1.2.1直线及直线上点的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●⒈直线对一个投影面的投影特性1.2.1直线及直线上点的1162直线上的点的投影特性◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

判别方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理2直线上的点的投影特性◆若点在直线上,则点的投117点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abcabccabcab●点C在直线AB上●●●点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca118例2：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a

b上，故点K不在AB上。应用定比定理abkabk●●另一判断法?例2：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a119例3已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2:1两段，求分点C的投影。cc’返回例3已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2120例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。返回accbc’例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。返回a121点的三面投影在直线的三面投影上则点在直线上。点的两面投影在直线的两面投影上则点未必在直线上：若直线为一般直线则结论成立。若直线为特殊直线则（1）作出第三面投影（2）用定比定理只要点的一面投影不在直线的投影上则点一定不在直线上。点的三面投影在直线的三面投影上则点在直线上。1221.2.2

直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面1.2.2直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某123（一）

一般位置直线（一）一般位置直线124（侧平线）（二）

投影面平行线（侧平线）（二）投影面平行线125baababbaabba①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβbaaabbbaababbaabba①在其平行的那个投126（三）

投影面垂直线（三）投影面垂直线127

反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)反映1281.3两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。1.3两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交129⒈两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。问题：两直线的投影平行则空间位置一定平行吗？aVHcbcdABCDbda⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则130abcdcabd例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①abcdcabd例1：判断图中两条直线是否平行。131bdcacbaddbac

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？bdcacbaddbac对于132HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点HVABCDKabcdkabckdabcdba133●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与A134dbaabcdc1(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4●●两直线相交吗？dbaabcdc1(2)3(4)⒊两直线交135例题1判断两直线的相对位置od’’a’’c’’b’’yyz返回例题1判断两直线的相对位置od’’a’’c’’b’’y136例题2判断两直线的相对位置1’1’1’d’1’c’例题2判断两直线的相对位置1’1’1’d’1’c’137

小结★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。★定比定理。

重点掌握：小结★点与直线的投影特性，尤其是138一、点的投影规律aaZayayaXYYO●●●xaza①aa⊥OX轴②aax=aaz=y=A到V面的距离aax=aay=z=A到H面的距离aay=aaz=x=A到W面的距离

aa⊥OZ轴一、点的投影规律aaZayayaXYYO●●●xaza①139二、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒉投影面平行线

在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。⒊投影面垂直线

在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。二、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴140三、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。四、两直线的相对位置⒈平行⒉相交⒊交叉（异面）

同名投影互相平行。

同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。

同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。三、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成141●●●●●●abcabc1.4平面的投影一、平面的几何表示法●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线平面图形●●●●●●abcabc1.4平面的投影一、平面的142PvPHQvQH上一级PvPHQvQH上一级143三、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性三、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面144⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分145侧垂面正垂面铅垂面1投影面垂直面（直观图）侧垂面正垂面铅垂面1投影面垂直面（直观图）146xa’b’a’’b’’baozyycc’’c’投影特点：问题：什么面的投影？铅垂面xa’b’a’’b’’baozyycc’’c’投影特点：147ZXababbaOYYαccc投影特点：问题：什么面的投影？正垂面ZXababbaOYYαccc投影特点：问题：148Yzxa’b’b’’baoYa’’αβcc’c’’问题：什么面的投影？投影特点侧垂面Yzxa’b’b’’baoYa’’αβcc’c’’问题：什么149积聚性——在所垂直的投影面上的投影积聚成直线。类似性——在其他两面上的投影为类似形。积聚性投影线与坐标轴的夹角真实反映平面与相应投影轴的夹角。积聚性——在所垂直的投影面上的投影积聚成直线。150XOZYYPH上一级XOZYYPH上一级151XOZYYαγQV上一级XOZYYαγQV上一级152上一级上一级1532投影面的平行面c’’Ya’’b’’b’oYa’c’bcaXZZcYXa’b’b’’baoYa’’c’c’’2投影面的平行面c’’Ya’’b’’b’oYa’c’bcaX154实形性——在平行的投影面上的投影，反映实形。积聚性——在另两投影面上的投影积聚成直线，并平行于相应的投影轴实形性——在平行的投影面上的投影，反映实形。155abcacbabc（3）一般位置平面三个投影都类似。投影特性：abcacbabc（3）一般位置平面三个投影都156S’a’b’c’sabcs”a”(c”)b”SAB____SAC____SBC____ABC____哪些投影反映实形？S’a’b’c’sabcs”a”(c”)b”SAB____S157四、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈直线在平面上的几何条件四、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法定158abcbcaabcbcadmnnmd应用例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一wabcbcaabcbcadmnnmd应用159例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解？例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到nmnm10c160⒉点在平面上的几何条件（1）找出过此点而又在平面内的一条直线（2）在该直线上确定点的位置。应用例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abcabkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解⒉点在平面上的几何条件（1）找出过此点而又在平面内的一条直161bckadadbcadadbckbc例2：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一解法二bckadadbcadadbckbc例2：162例3判断K点是否在平面ABC上例3判断K点是否在平面ABC上1631.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题

直线与平面平行

平面与平面平行包括⒈直线与平面平行的几何条件定理：

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。1.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相164n●●acbmabcmn应用例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？n●●acbmabcmn应用例1：过M点165正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面

ABC。c●●bamabcmn唯一解n正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面c●●ba166⒉两平面平行的几何条件①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef⒉两平面平行的几何条件①若一平面上的两相交直线对应平行167二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交168abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线M169km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；