高一上学期知识点归纳

高一上学期知识点及解题技巧归纳一、常见不等式解法含绝对值不等式的解法不等式不等式解集|xa(a0)|x|a(a0)|axbc,|axb|c(c0){x|axa}x|xa或xa}axb看成一个整体，化成|xa，|x|a(a0)型不等式来求解一元二次不等式的解法判别式判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象O一元二次方程ax2bxc0(a0)的根x b1,2b24ac2axx b2a无实根1（其中1xx)22ax2bxc0(a0)的解集{x|xx xx}1或 2{x|xb}2aRax2bxc0(a0)的解集{x|xxx}12【提示】ax2bxc0(a0)若a<0分式不等式：fx0fgxgx

fx0fgx0g（1） ； （2） ；f

fgx

f

fxgx0（3）

gx0gx

；（4）

gx0gx0.指数不等式与对数不等式(1a1afx)agx)f(xg(x；

loga

f(x)loga

f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x).f(x)0(2)当0a1afx)agx)f(xg(x；

loga

f(x)loga

g(x)g(x)0f(x)g(x)略.名称记号名称记号意义AB性质(1)AA(2)A示意图子集（或BA)A属于BA(B)(3)若AB且BC，则ACBA或(4)ABBAAB AAB（BA）AB，且B中至少有一元素不属于A(1)（A）真子集(2)若A且B，则AB A集合ABAB，B一元素都属于AABB AA(B)相等【易错点拔】AB (1)

A=B和

B

BA=ØA≠ØØ与{Ø}中集.Ø∈{Ø}、Ø{Ø}【解题思路点拔】学好集合间基本关系须熟记四个结论：A.(3)集合是子集和真子集具有传递性，若ABBCAC.(4An(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n非空子集，它有2n2集合的基本运算

1个真子集，它有2n

1个名称记号名称记号意义性质韦恩图（1）AAA交集A B{x|xx且A （2）（3）A BAAB=BAABA（1）ABBAAA A（2）并集A B{x|xxB或}AB（3）A BAA BBAB=B(CuA)(CuB)=Cu(AB)补集CuA{x|xU,x}(CuA)(CuB)=Cu(A德摩根公式SAAA(CuA)=U(CuA)=ΦB)cardAcardBB)cardAcardBcard(A B)B C)cardAcardBcardCcard(A B)(2)AC

card(A

B)card(B B)card(B C)card(CA)card(A B C)BAA BBAA BRUU

BCU

AA CU

B例：A={(x，y)|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=.解题思路及注意点：读懂集合中元素的意义是解决集合问题的关键. Ay|x2y2例：

B，

x,y|x32y42r

，其中r0,若A Br【解题思路点拔】学好集合问题须做到“五看”：一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合；二看约束条件；三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单；四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图.五看端点值能不能取等号；同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用.经典例题及易混易错题型忽视空集是任何非空集合的子集，导致思维不全面.AB,勿忘空集和集合本身.树立分类讨论思想，分Φ和非空集合两种情况进行讨论.例：设

A x|x28x15

B|ax1A B，若 ，求实数aA B 1 10, , 集合的子集有多少个？答案 3 5，故其子集共有238.例:已知集合

A x|x24x0

B|x22a1xa21BB则实数a的取值范围是 。答案：a1或a易错点分析：读不懂集合，导致求x2+1=x-1的根。A={y|y=x2+1}，B={y|y=x-1},则A∩B=[1，+∞).三、函数及其表示映射与函数的区别与联系区别：主要区别体现在对集合的要求上，映射定义中两个集合为“非空集合”，函数定义【提示】原象、象与函数定义域、值域区别与联系？函数定义域、值域与集合A和集合B函数定义域=集合A,B.

Aa,a1

,aa3

到集合

B,b1

,bb3

的映射有

mn个.3.两个函数相同的定义及判断方法只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.与表示自变量和函数值的字母无关.函数.4.常见函数概念分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种分并集，值域是各段值域的并集．复合函数yf[g(x分解为两个基本函数：内函数ug(x与外函数，称yf[g(xfg反函数就是把y与x互换一下，用含有y的代数式表示x.为了书写习惯，再调换x、y位置即可.y单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的（函数不存在反函数．

1x）．因此，所有偶c.互为反函数的两个函数增减性相同．d.函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称ef1(x3)f(x3)f1(x3)是先f(x)的反函数，在左移三个单f(x3)是先左移三个单位，在f(x的反函数．抽象函数无具体函数解析式的函数均为抽象函数.5.函数定义域的求法一般遵循以下原则：fx是整式时，定义域是全体实数．fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．1．零（负）指数幂的底数不能为零．若fx)本初等函数的定义域的交集．h.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．i.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．抽象函数或复合函数定义域求法f(x)的定义域为,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出.若f[g(x)[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x6.函数值域或最值求法：围确定函数的值域或最值．(4yf(xyx的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有b2y4aycy0，从而确定函数的值域或最值．(5)函数单调性法换元法利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）分离常数法反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．利用函数有界性（ax等）.与值域求法相关的变型题（已知函数值域，求解参数范围fxlgm2m2x22mx5

fxf x

的定义域为R求实数m的取值范围。如果函数 的值域为R求实数m的取值范围。【易错点分析】此题学生易忽视对m23m2是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。析：（1）Rxm23m2x22m1x50

恒成立，令g x

m2

x22

m

x

m2

3m2=0m12。经验证当m1时适合，当m23m20时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成m220 90立，只需 解之

mm1或

4综上所知m的取值范围为

m1或m94。

fx

m23m2x2

21x5（2）如果函数 的域为R即对的真数

能取到gx m22x221x5任意的正数，令 当m2

3m2=0时，即m12m2m23m20时，据二次函数知识知要使的函m220 90数值取得所有正值只需 解之

2m

4综上可知满足题意的m的取值范围是

2m94。【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。7.函数解析式求法函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.换元法或配凑法:已知复合函数f[g(x)/f(x).四、函数单调性判断方法（二）判断方法1定义法：一般要将式子f(x1

)f(x2

)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号.若函数f(x)与g(x)在区间I上有相同的单调性，则在区间I上有以下性质：f(x)与f(x)+C有相同单调性；f(xaf(x(a>0);af(x(a<0);f(x)与g(x-g(xf(x)与g(x0，则f(x)*g(x0，则f(x)*yf[g(x分解为基本函数：内函数ug(xyf(u)分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性复合函数单调性x g(x) y=f(u)减增 减 增增 减 减定义域 分解 各自判断(三)经典例题及易混易错题型例.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，1f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)ay=(2解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),

a23a1的单调递∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.又2a2a12(a1)270,3a22a11)224 8 3 3

0.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.3 5又a2－3a+1=(a－2)2－4.1 3∴函数y=(2)a23a1的单调减区间是［2，+∞］30<a<3,得函数y=(2

3a23a1的单调递减区间为［2，3).例.是否存在实数a使函数存在，说明理由。

fxloga

ax2x在

上是增函数？若存在求出a的值，若不【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解析：函数

fx是由

xax2x y和

xa

复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法当a>1

fxloga

ax2x在

上是增函数，则12a 2xax2

24a20在 上是增函数且大于零。故有 解得a>1。a<1

fxloga

ax2x

2,4 xax2x 2,4在 上是增函数，则 在 上是减函12a 4数且大于零。

416a4

不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得函数fxloga

ax2x在

2,4上是增函数【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。例.Y=1/x的单调区间，不能说函数在（-∞，0）U(0,+∞)上为减函数，不能说函数在（-∞，0）或(0,+∞)上为减函数，只能说在（-∞，0）和(0,+∞)上为减函数.五、函数奇偶性判断方法（一）函数具备奇偶性的前提条件函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（才有可能具备奇偶性(二)奇偶性概念奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）=f(|x|)〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.(三)奇偶性判断方法f(x)f(xf(x)f(x是否定义域上的恒等式；f(x)

g(x)

D,D DD D设 ， 的定义域分别是1 2，那么在它们的公共定义域 1 2上：奇偶，奇不确定.4P(x)axna xn1 a多项式函数 n n1 0的奇偶性P(x是奇函数P(xP(x是偶函数P(x奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y0，则f（0）=0.定义在上的任意函数f（x）之和.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种模型，即f(x)=0，xD,D7.f(x)是偶函数与f(x+3)是偶函数的区别：函数f(x+3)为偶函数，则f(x+3)=f(-x+3)；f(x)是偶函数，则f(x+3)=f(-x-3).f(x)是奇函数:f(-x)=-f(x)，f(2x+1)是奇函数:f(-2x+1)=-f(2x+1).令g(x)是奇函数问题，即g(-x)=-g(x)，即f(-2x+1)=-f(2x+1).8.函数分类：既不是奇函数又不是偶函数；奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶函数.（五）经典例题及易混易错题型例.判断下列函数的奇偶性：4x2fx4x2①1x1xfx1x1x②

既是奇函数又是偶函数x2x24判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例.判断函数

lgf(x)

1x2

xx22【易错点分常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：lgx22fx22

1x2

fx

从而得出函数

fx

为非奇非偶函数的错误结论。1x20x22

1,0

0,1解析：由函数的解析式知x满足

即函数的定义域为

定义域关于原点对称，在定义域下

fx

1x2x

x

x

即函数为奇函数。易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。fxlog2x2x1或x1例.函数

2x12

2 2

f1x，证明

f1x是奇函数且在其定义域上是增函数。六、函数图像问题（一）图像画法1.描点法2.图象变换法yf(x)yf(xa)(a0———左“+”右“－”；ⅱ)yf(x)yf(x)k,(k0) ———上“+”下“－”；yf(xabyf(xab的图象；f(xy)0abf(xayb)0的图象.注意：左“+”右“－”仅针对x-xKx.对称变换：)yf(x),0)yf(x)；ⅱ)yf(x)y0 yf(x)；)yf(x)0yf(x)；ⅳ)yf(x)xxf(y)；翻折变换：yf(x)yf(|x|)———（去左翻右（f(x)y左侧图象去掉）；yf(x)yf(x)|———（留上翻下f(x)|x下面无图象（二）画图技巧及识图技巧关于二次函数

f(x)ax2bxc；顶点式：

f(x)a(xh)2

k(hk为顶点；零点式：

f(x)a(xx1

)(xx2

) 二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。xb二次函数yax2

bxc

2a，顶点坐标是 2a， b 4 2a， .(3)可以根据二次函数性质比较两个函数值的大小.若开口向上，到对称抽距离大的自变量对应的函数值大；若开口向小，到对称抽距离大的自变量对应的函数值小.xy总存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax.一个坐标系中？奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致（在整个定义域内未必单调），推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决