最新公开课函数的应用之建模

第8讲函数模型及其应用【要点精讲】一、几类函数模型①一次函数模型：＝＋b≠0．②二次函数模型：＝a2＋b＋ca≠0．③指数函数型模型：＝ab＋cb＞0，b≠1．④对数函数型模型：＝moga＋na＞0，a≠1．⑤幂函数型模型：＝an＋b二、三种函数模型的性质函数性质＝aa>1＝ogaa>1＝nn>0在0，＋∞上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随的增大逐渐表现为与轴平行随的增大逐渐表现为与轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个0，当＞0时，有oga＜n＜a三、方法与要点（1）一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．（2）四个步骤①审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；②建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；③解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；④还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．【典型例题】※一次函数、二次函数函数模型的应用【例1】在经济学中，函数f的边际函数Mf定义为：Mf＝f＋1－f．某公司每月生产台某种产品的收入为R元，成本为C元，且R＝3000－202，C＝500＋4000∈N*．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．1求利润函数满足关系：C＝eq\f,3＋50≤≤10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．1求的值及f的表达式；2隔热层修建多厚时，总费用f达到最小，并求最小值．[审题视点]用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．解1由已知条件C0＝8则＝40，因此f＝6＋20C＝6＋eq\f800,3＋50≤≤10．2f＝6＋10＋eq\f800,3＋5－10≥2eq\r6＋10\f800,3＋5－10＝70万元，当且仅当6＋10＝eq\f800,3＋5即＝5时等号成立．所以当隔热层为5cm时，总费用f达到最小值，最小值为70万元．求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于＝＋eq\fa,a>0类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性．【课堂训练】1、经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t天的函数，且销售量近似地满足ft＝－2t＋202X≤t≤50，t∈N．前30天价格为gt＝eq\f1,2t＋301≤t≤30，t∈N，后20天价格为gt＝4531≤t≤50，t∈N．1写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；2求日销售额S的最大值．解1根据题意，得S＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1－2t＋200\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2t＋30，1≤t≤30，t∈N，,45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1－t2＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N2①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－t－202＋6400，∴当t＝20时，S的最大值为6400；②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9000为减函数，∴当t＝31时，S的最大值为6210∵6210＜6400，∴当t＝20时，日销售额S有最大值64002、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为%，试解答以下问题：1写出年后，该城市人口总数万人与年的函数关系式；2计算10年以后该城市人口总数精确到万人；3计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人精确到1年；4如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少参考数据：≈,≈，g≈，g2≈，g≈，g≈9解11年后该城市人口总数为＝100＋100×%＝100×1＋%2年后该城市人口总数为＝100×1＋%＋100×1＋%×%＝100×1＋%23年后该城市人口总数为＝100×1＋%2＋100×1＋%2×%＝100×1＋%3年后该城市人口总数为＝100×1＋%210年后，人口总数为100×1＋%10≈万人．3设年后该城市人口将达到120万人，即100×1＋%＝120，＝\f120,100＝年．4由100×1＋%20≤120，得1＋%20≤，两边取对数得20g1＋%≤g＝，所以g1＋%≤eq\f,20＝95，所以1＋%≤，得≤，即年自然增长率应该控制在%3、某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大最大面积是多少解设温室的左侧边长为m，则后侧边长为eq\f800,m∴蔬菜种植面积＝－4eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f800,－2＝808－2eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1＋\f1600,4<<400．∵＋eq\f1600,≥2eq\r·\f1600,＝80，∴≤808－2×80＝648m2当且仅当＝eq\f1600,，即＝40，此时eq\f800,＝20m，最大＝648m2．∴当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，为648m2【课后作业】1．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人202X年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到202X年6月1日取款时被银行扣除利息税元，则该存款人的本金介于．A．3～4万元B．4～5万元C．5～6万元D．2～3万元2．某产品的总成本万元与产量台之间的函数关系是＝3000＋20－0＜＜240，∈N*，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时销售收入不小于总成本的最低产量是．A．100台B．120台C．150台D．180台3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地如图，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为．A．1000米2 B．2000米2C．2500米2 D．3000米24．202X·湖北里氏震级M的计算公式为：M＝gA－gA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．5．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高6．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q单位：元/100g与上市时间t距2月1日的天数，单位：天的数据如下表：时间t50110250成本Q1501081501根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·ogbt；2利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．7．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λλ＜1，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白怎样确定画面的高与宽尺寸，