微积分大杂烩-第一章

微积分教师：佘楚玉（She

Chuyu）单位：广商数学与计算科学系微积分是什么？微积分学是数学的一个基础分支学科。微分和积分互为逆运算。

课程教学安排周数：4－18周 共15周学时：4学时/周 共60学时分配：课堂讲授习题课 8

复习课 2

成绩评定考试 70％平时考核

30％考试考试时间：19周（1月9日－1月15日）考试方式：集中统考平时考核作业（含期中考） 50％课堂表现 30％出勤 20％

教学进度计划第一章 函数 2学时第二章 极限与连续 16学时 第三章 导数与微分 18学时 第四章 中值定理与导数的应用 12学时第五章 不定积分 10学时第一章函数

微积分研究的对象是什么？第一章函数

函数是微积分研究的对象。微积分学主要是在实数范围内研究函数。第一节实数实数有理数

无理数

实数与数轴上的点是一一对应的。实数的绝对值︱a︱在数轴上表示点a到原点的距离。︱a-b︱表示数轴上点a与点b之间的距离。常用的绝对值等式及不等式（课本第3页）区间开区间闭区间半开区间无穷区间区间邻域设称为点的邻域.x邻域中心,邻域半径.去心邻域设x称

为点的去心邻域.邻域中心,邻域半径.左

邻域右

邻域第二节函数的概念

自变量定义域因变量f(D)称为值域函数图形

函数关系两要素定义域,对应规则.两函数等同,当且仅当它们的定义域和对应规则都相同.函数的表示法

图形法表格法公式法分段函数例如,xyo是定义在上的一个函数.

在定义域的各个不相交子集上，用不同的数学式子表示的函数,称为分段函数又如,12xoy是确定在上的一个函数.125注意1.对分段函数必须搞清每一个解析式所对应的自变量的取值范围;2.分段函数表示的是一个函数.分段函数

分段函数

符号函数当x>0当x=0当x<0分段函数取整函数当函数定义域的求法例.

已知函数求并写出定义域及值域.解:函数无定义定义域值域出错啦！！函数几种属性

奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,则当为奇函数时,必有奇函数例如,奇函数记双曲正弦偶函数

例如,

偶函数记双曲余弦单调函数设函数时,称为D上的单调增函数

;称为D上的单调减函数

.周期函数且若则称为周期函数

,称

T为周期.周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.有界函数设函数使称

为D上的有界函数.第三节反函数与复合函数若函数则称为的反函数.习惯上,记成求反函数求解：

所以：

反函数的性质1)y＝f(x)单调递增其反函数且也单调递增(减)(减).2)函数与其反函数的图形关于直线对称.举例例如,指数函数对数函数互为反函数

,它们都单调递增,其图形关于直线对称.反函数注意4.直接函数与反函数的图象关于直线对称.1.反函数的定义;会求反函数。3.直接函数与反函数是互为的;5.直接函数与反函数的定义域、值域之间的关系;2.只有单调函数才有反函数;复合函数已知函数如果则称函数

与复合而成的复合函数。

复合函数定义问题能不能构成复合函数？

复合函数分解是由复合而成的。复合函数分解是由复合而成的。复合函数分解是由复合而成的。求复合函数设求解：

当当当所以：求复合函数定义域已知的定义域为，求的定义域。解：由，知，所以的定义域为。解得构造函数，求

∴

即第四节初等函数一、基本初等函数二、初等函数基本初等函数1.常数函数为常数）2.幂函数3.指数函数4.对数函数基本初等函数5.三角函数6.反三角函数初等函数由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合而成的函数称为初等函数.注意1.能用一个解析式子表示的函数是初等函数.2.分段函数一般不是初等函数.初等函数是初等函数

不是初等函数

第五节简单的经济函数（1）总成本函数：总成本=固定成本+可变成本（=单位成本×产量）用、分别表示总成本、固定成本、单位成本、产量，

则，（2）总收入（总收益）函数：

总收入=单价×销售量

用R（Q）、P、Q分别表示总收入、单价、销量，则，R（Q）=PQ（3）总利润函数：

总利润=总收入－总成本

记总利润L，当销量Q等于产量时，

有：

L=R－C（4）需求与供给函数用QD

和Qs分别表示需求量与供给量，则1°需求函数：↘

2°供给函数：

↗举例设某工厂生产某种产品的固定成本为200（百元），每多生产一件产品，总成本增加5（百元），且已知需求函数Q=100－2P，（P为价格，Q为产量）该产品在市场上畅销，试求总利润函数。解：

已知，需求函数为Q=100-2P，及产销平衡，所以，

总成本函数：C（Q）=200+5Q=700－10P总收入函数：R（Q）=PQ=100P－2P2故总利润函数为

L=R（Q）－C（Q）=110P－2P2－700小结教学目的

理解函数的概念

掌握函数的基本性质

了解函数的几何特征

知道构成复合函数的条件

掌握