命题的形式及等价关系课件

命题的形式及等价关系命题的形式及等价关系1一、命题与推出关系(一)命题的证明1、命题的概念(1)命题：可以判断真假的语句叫命题(proposition)，一般用陈述句．(2)真命题：即正确的命题．(3)假命题：即错误的命题．注意(Ⅰ)判断命题的真假应写“真命题、假命题”，

而不写“正确、错误”．(Ⅱ)真命题与假命题都必须要证明．一、命题与推出关系(一)命题的证明1、命题的概念(1)命22、命题的证明方法(1)真命题——推理证明(a)直接法：从已知条件出发，依学过的公理、定理、公式进行逐步推理，从而得出结论．(b)间接法(反证法)：假设结论不成立,推出与已知条件、公理、定理等矛盾，从而假设不成立，命题得证．(2)假命题——举反例举反例：举出一个满足命题条件，不满足命题结论的例子即可．举反例是判断、证明假命题的重要方法！2、命题的证明方法(1)真命题——推理证明(a)直接法：从已3(二)推出关系1、推出关系：若命题α成立可以推出命题β也成立，则就说由α可以推出β，记作读作“α推出β”．由条件α可以推出结论β成立，记作由条件α不能推出结论β成立，记作说明：表示α为条件，β为结论的命题是真命题．表示α为条件，β为结论的命题是假命题．2、α与β等价：叫做α与β等价．3、推出关系的传递性：(二)推出关系1、推出关系：若命题α成立可以推出命题β也成4真命题与假命题都必须要证明！(1)真命题——推理证明(2)假命题——举反例注意真命题与假命题都必须要证明！(1)真命题——推理证明(2)5

●命题与推出关系原命题原命题的逆命题。逆命题

交换原命题的条件和结论，所得的命题叫做

●命题与推出关系原命题原命题的逆命题。逆命题6把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，所得到的命题是原命题的________把原命题的结论的否定作条件，把条件的否定作结论，所得到的命题是原命题的__________否命题。逆否命题。否命题。逆否命题。7命题的形式及等价关系课件8原命题：如果两个数都是整数，那么这两个数的和为整数二、四种命题形式命题：两个整数的和是整数．条件：如果两个数都是整数结论：那么这两个数的和是整数逆命题：如果两个数的和为整数那么这两个数都是整数否命题：如果两个数不都是整数那么这两个数的和不为整数逆否命题：如果两个数的和不为整数那么这两个数不都是整数互否互否互逆互逆互逆否原命题：二、四种命题形式命题：两个整数的和是整数．条件：如果9

例题：把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题。（1）.负数的平方是正数

“若p则q”的形式是___________________

逆命题是_________________________否命题是__________________________逆否命题___________________________

若一个数是负数,则它的平方是正数.若一个数的平方是正数,则它是负数.若一个数不是负数,则它的平方不是正数.若一个数平方不是正数,则它不是负数.例题：把下列命题写成“若p则q”的形式，并写四种命题的相互关系互否互否互逆互逆互逆否否命题：如果，那么逆命题：如果，那么原命题：如果，那么逆否命题：如果，那么四种命题的相互关系互否互否互逆互逆互逆否否命题：逆命题：原命11练习二：选择题1.命题“两条对角线不相等的四边形不是平行四边形。”是命题“平行四边形的两条对角线相等。”的（）

A.逆命题B.逆否命题

C.否命题D.非四种命题关系2.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则命题p的逆命题t与s的关系是（）

A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一个命题BB练习二：选择题BB练习1、填空(口答)：（1）命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题是_________（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等”的否命题是___

（3）命题“对顶角相等”的逆否命题是_____若一个整数可以被5整除，则它的末位是0。

若一个点不在线段的垂直平分线上，则它到这条线段两端点的距离不相等。若两个角不相等，则它们不是对顶角。练习1、填空(口答)：（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这13

逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等.

练习2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上.

逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等.逆命题:角的平分线上的点,到这个角的练习2写出下列命题的14

逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.原命题：两个三角形全等,则它们的面积相等.练习2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断其真假否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不相等.逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们不全等.假假真真逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.原命题：两个三角15练习3写出否命题1、若实数a,b满足a+b<4，则a=1且b=2；若实数a,b满足a+b≥4，则a≠1或b≠2；练习3写出否命题1、若实数a,b满足a+b<4，则a=1且16注：三种命题中最难写的是否命题。2、（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。1、要写出一个命题的另外三个命题,关键是分清命题的题设和结论,即把原命题写成

“若α,则β”的形式两个关注点注：三种命题中最难写的是否命题。2、（1）“17几种重要否定形式“且”“或”“是”“不是”“都是”“不都是”“至少有一个”“一个也没有”“都不是”“至少有一个是”几种重要否定形式“且”“或”“是”“不是”“都是”“不都是”182）原命题：若a=0,则ab=0。逆命题：若ab=0,则a=0。否命题：若a≠0,则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四种命题的真假看下面的例子：1）原命题：若x=2或x=3,则x2-5x+6=0。逆命题：若x2-5x+6=0,则x=2或x=3。否命题：若x≠2且x≠3,则x2-5x+6≠0。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3)原命题：若a>b,则ac2>bc2。逆命题：若ac2>bc2,则a>b。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。（假）（真）（真）（假）2）原命题：若a=0,则ab=0。逆命题：若ab=想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即(1)原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。总结：(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:四种命题的真假之间的关系如下：两个命题互为逆否命题，它们同真（假）即：原命题与逆否命题同真同假

逆命题与否命题同真同假

四种命题的真假之间的关系如下：22例2若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”“或”的否定为“或”“且”。解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。否命题：若m>0且n>0,则m+n>0.逆否命题：若m+n>0,则m>0且n>0.（真）（真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。例2若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题等价命题:

若A、B是两个命题，AB，BA，那么A、B叫做等价命题.

性质：如果两个命题互为逆否命题，那么这两个命题是等价命题．

说明：

(1)原命题和它的逆否命题同真同假．

(2)逆命题和它的否命题同真同假．

(3)当判断某个命题真假有困难时，可转化为判断它

的逆否命题的真假．等价命题:24证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：∠A、∠B、∠C

是△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：一个三角形中不能有已知：∠A、∠B、∠C是例2.判断下列命题的真假,并说明理由:(1)若实数a、b满足a+b≠3,则a≠1且b≠2；

其逆否命题是：若实数a=1或b=2，则a+b=3.(2)若实数a与b的积不是有理数，则a，b至少有一个不是有理数．其逆否命题是：若实数a，b都是有理数，则a与b的积是有理数．假真例2.判断下列命题的真假,并说明理由:假真26反证法的步骤一、提出假设二、推理论证三、得出矛盾四、结论成立以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论这与“......”相矛盾所以假设不成立，所求证的命题成立假设待证命题不成立，或是命题的反面成立。反证法的步骤一、提出假设二、推理论证三、得出矛盾四、结论成立[能力测试]写出下列各结论的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba<0b是0或负数a不垂直于ba∥b[能力测试]写出下列各结论的反面：a<0b是0或负数a不垂直反证法证：假设若_________时,则___________,

∴x2+y2>0与x2+y2=0矛盾,若_________时,则___________,

∴x2+y2>0与x2+y2=0矛盾,所以假设不成立,从而______________成立。x、y至少有一个不为0x≠

0x2>0例证明：若x2+y2=0,则y≠

0y2>0x=y=0。x=y=0。反证：假设x、y至少有一个不为0x≠0x2>0例反证法证明证：假设_________或_________,由于____________时,_________________,与(x-a)(x-b)≠0矛盾,又_________时,_________________,与(x-a)(x-b)≠0矛盾,所以假设不成立,从而_________________。x=ax=bx=a(x-a)(x-b)=0x=b(x-a)(x-b)=0x≠a且x≠b用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x≠a且x≠b.反证法证明证：假设_________或_________例2证明:例2证明:1.用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°已知：如图，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角求证：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.证明：假设所求证的结论不成立，即∠Ａ＿＿60°，∠Ｂ＿＿60°，∠Ｃ＿＿60°则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜1800这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假设＿＿＿＿＿＿，所以，所求证的结论成立．＜＜＜三角形三个内角的和等于180°不成立ＡＢＣ1.用反证法证明（填空）：已知：如图，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P2.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3∥l1，l3∥l2求证：而l1∥l2,l3∥l1这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，所以假设不成立，即l3∥l2证明：l1l3l2P假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P2.已知：如图，求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.假设这个数是奇数,可以设为2k+1,证:则有而不是偶数这与原命题条件矛盾.例题3:求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.假设这个数是用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2-4ac>0.2.用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定是锐角.演练反馈用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a说明当证明某个命题比较困难时，可以证明它的逆否命题来代替证明原命题．证明步骤：1、写出所要证明命题的逆否命题；2、证明所写的逆否命题；3、结论：“由于逆否命题正确，所以原命题正确”．“正难则反”说明当证明某个命题比较困难时，可以证明它的逆否命题来代替证明36(1)真命题——推理证明(2)假命题——举反例小结1、会判断命题的真假并证明：2、四种命题形式及相互关系3、等价命题(1)互为逆否的两个命题等价命题，它们同真同假．（4真或4假或2真2假）(2)“正难则反”4、几种否定形式（熟记）(1)真命题——推理证明(2)假命题——举反例小结1、会37练习练习382、判断下列命题的真假，并说明理由2、判断下列命题的真假，并说明理由39命题的形式及等价关系命题的形式及等价关系40一、命题与推出关系(一)命题的证明1、命题的概念(1)命题：可以判断真假的语句叫命题(proposition)，一般用陈述句．(2)真命题：即正确的命题．(3)假命题：即错误的命题．注意(Ⅰ)判断命题的真假应写“真命题、假命题”，

而不写“正确、错误”．(Ⅱ)真命题与假命题都必须要证明．一、命题与推出关系(一)命题的证明1、命题的概念(1)命412、命题的证明方法(1)真命题——推理证明(a)直接法：从已知条件出发，依学过的公理、定理、公式进行逐步推理，从而得出结论．(b)间接法(反证法)：假设结论不成立,推出与已知条件、公理、定理等矛盾，从而假设不成立，命题得证．(2)假命题——举反例举反例：举出一个满足命题条件，不满足命题结论的例子即可．举反例是判断、证明假命题的重要方法！2、命题的证明方法(1)真命题——推理证明(a)直接法：从已42(二)推出关系1、推出关系：若命题α成立可以推出命题β也成立，则就说由α可以推出β，记作读作“α推出β”．由条件α可以推出结论β成立，记作由条件α不能推出结论β成立，记作说明：表示α为条件，β为结论的命题是真命题．表示α为条件，β为结论的命题是假命题．2、α与β等价：叫做α与β等价．3、推出关系的传递性：(二)推出关系1、推出关系：若命题α成立可以推出命题β也成43真命题与假命题都必须要证明！(1)真命题——推理证明(2)假命题——举反例注意真命题与假命题都必须要证明！(1)真命题——推理证明(2)44

●命题与推出关系原命题原命题的逆命题。逆命题

交换原命题的条件和结论，所得的命题叫做

●命题与推出关系原命题原命题的逆命题。逆命题45把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，所得到的命题是原命题的________把原命题的结论的否定作条件，把条件的否定作结论，所得到的命题是原命题的__________否命题。逆否命题。否命题。逆否命题。46命题的形式及等价关系课件47原命题：如果两个数都是整数，那么这两个数的和为整数二、四种命题形式命题：两个整数的和是整数．条件：如果两个数都是整数结论：那么这两个数的和是整数逆命题：如果两个数的和为整数那么这两个数都是整数否命题：如果两个数不都是整数那么这两个数的和不为整数逆否命题：如果两个数的和不为整数那么这两个数不都是整数互否互否互逆互逆互逆否原命题：二、四种命题形式命题：两个整数的和是整数．条件：如果48

例题：把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题。（1）.负数的平方是正数

“若p则q”的形式是___________________

逆命题是_________________________否命题是__________________________逆否命题___________________________

若一个数是负数,则它的平方是正数.若一个数的平方是正数,则它是负数.若一个数不是负数,则它的平方不是正数.若一个数平方不是正数,则它不是负数.例题：把下列命题写成“若p则q”的形式，并写四种命题的相互关系互否互否互逆互逆互逆否否命题：如果，那么逆命题：如果，那么原命题：如果，那么逆否命题：如果，那么四种命题的相互关系互否互否互逆互逆互逆否否命题：逆命题：原命50练习二：选择题1.命题“两条对角线不相等的四边形不是平行四边形。”是命题“平行四边形的两条对角线相等。”的（）

A.逆命题B.逆否命题

C.否命题D.非四种命题关系2.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则命题p的逆命题t与s的关系是（）

A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一个命题BB练习二：选择题BB练习1、填空(口答)：（1）命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题是_________（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等”的否命题是___

（3）命题“对顶角相等”的逆否命题是_____若一个整数可以被5整除，则它的末位是0。

若一个点不在线段的垂直平分线上，则它到这条线段两端点的距离不相等。若两个角不相等，则它们不是对顶角。练习1、填空(口答)：（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这52

逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等.

练习2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上.

逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等.逆命题:角的平分线上的点,到这个角的练习2写出下列命题的53

逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.原命题：两个三角形全等,则它们的面积相等.练习2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断其真假否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不相等.逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们不全等.假假真真逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.原命题：两个三角54练习3写出否命题1、若实数a,b满足a+b<4，则a=1且b=2；若实数a,b满足a+b≥4，则a≠1或b≠2；练习3写出否命题1、若实数a,b满足a+b<4，则a=1且55注：三种命题中最难写的是否命题。2、（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。1、要写出一个命题的另外三个命题,关键是分清命题的题设和结论,即把原命题写成

“若α,则β”的形式两个关注点注：三种命题中最难写的是否命题。2、（1）“56几种重要否定形式“且”“或”“是”“不是”“都是”“不都是”“至少有一个”“一个也没有”“都不是”“至少有一个是”几种重要否定形式“且”“或”“是”“不是”“都是”“不都是”572）原命题：若a=0,则ab=0。逆命题：若ab=0,则a=0。否命题：若a≠0,则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四种命题的真假看下面的例子：1）原命题：若x=2或x=3,则x2-5x+6=0。逆命题：若x2-5x+6=0,则x=2或x=3。否命题：若x≠2且x≠3,则x2-5x+6≠0。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3)原命题：若a>b,则ac2>bc2。逆命题：若ac2>bc2,则a>b。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。（假）（真）（真）（假）2）原命题：若a=0,则ab=0。逆命题：若ab=想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即(1)原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。总结：(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:四种命题的真假之间的关系如下：两个命题互为逆否命题，它们同真（假）即：原命题与逆否命题同真同假

逆命题与否命题同真同假

四种命题的真假之间的关系如下：61例2若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”“或”的否定为“或”“且”。解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。否命题：若m>0且n>0,则m+n>0.逆否命题：若m+n>0,则m>0且n>0.（真）（真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。例2若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题等价命题:

若A、B是两个命题，AB，BA，那么A、B叫做等价命题.

性质：如果两个命题互为逆否命题，那么这两个命题是等价命题．

说明：

(1)原命题和它的逆否命题同真同假．

(2)逆命题和它的否命题同真同假．

(3)当判断某个命题真假有困难时，可转化为判断它

的逆否命题的真假．等价命题:63证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：∠A、∠B、∠C

是△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：一个三角形中不能有已知：∠A、∠B、∠C是例2.判断下列命题的真假,并说明理由:(1)若实数a、b满足a+b≠3,则a≠1且b≠2；

其逆否命题是：若实数a=1或b=2，则a+b=3.(2)若实数a与b的积不是有理数，则a，b至少有一个不是有理数．其逆否命题是：若实数a，b都是有理数，则a与b的积是有理数．假真例2.判断下列命题的真假,并说明理由:假真65反证法的步骤一、提出假设二、推理论证三、得出矛盾四、结论成立以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论这与“......”相矛盾所以假设不成立，所求证的命题成立假设待证命题不成立，或是命题的反面成立。反证法的步骤一、提出假设二、推理论证三、得出矛盾四、结论成立[能力测试]写出下列各结论的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba<0b是0或负数a不垂直于ba∥b[能力测试]写出下列各结论的反面：a<0b是0或负数a不垂直反证法证：假设若_________时,则___________,

∴x2+y2>0与x2+y2=0矛盾,若_________时,则___________,

∴x2+y2>0与x2+y2=0矛盾,所以假设不成立,从而______________成立。x、y至少有一个不为0x≠

0x2>0例证明：若x2+y2=0,则y≠

0y2>0x=y=0。x=y=0。反证：假设x、y至少有一个不为0x≠0x2>0例反证法证明证：假设_________或_________,由于____________时,_________________,与(x-a)(x-b)≠0矛盾,又_________时,_________________,与(x-a)(x-b)≠0矛盾,所以假设不成立,