导数解答题中数列不等式证明问题

第第页共16页第第9页共16页斛析，〔I）因为/（划=旦巴，“0,则=TOC\o"1-5"\h\zXX厂⑴>0:当;c"时，/J（x）<0.所以心在（S1）上单调遥增：在｛】・"）上单一调递减,所以函数/㈤在“1处取得极大值.因为函数八划在区间（讥灯十》（其中>0）上存在极值，一fa<l]所以TI,解得-<«<1.£/+—>!2（II）不等式八巧瓷厶J+1令A(X)=x—inx.则$(兀｝=1-—1TX>1跡>(L.在]1,4牌)上单调递增f[^(v))m4n=旳)」AQi从而g7x>>0故g(x｝在[],+切上也单调递增*..[g(x)為=g(l)=2，所以M2(HI)由(II)知：f(x)>—恒成立，SPhx>—=1—X+lJT+IJC+1⑷+1)令工=«(?!+!)1则I亞曲(甘+!)]>!-~—-—⑷+1)所以所以In(lx2)>l-叠加得：y(lnt+ln(^+l)]>«-2(]--)"3+F冲卡I

侧7,设函数/(x)=侧7,设函数/(x)=lnx-jPJr-FlCI)(II)(Ill)当p>0时，若对任意的x>0,恒有/(X)<0,求卩的取值范围:证明：畔+旦二+…+啤吒如士丄仇E"卫兰2).2232n~2(72+1)■1）V/（.¥）=Ill定义域为（0,炖），广⑴丄“"三分XX当pWOBt,f（x）>0J（n在Q+对上无极值点当D〉0时，令f（x）=0,・"=丄E（0冋护龙人孑“）fifix的变化惜况P如下表’X（山丄）P1P（一,+兀）P/E+0—/（X）/极大值从上表可以看仏当》0时，广（力有唯一的极大值点x=-P（ID当p>0时在貯丄处:取得极人值/（丄）=1口丄』此极人值也是最人

PPP值，要使f（x）<0恒成立，只需/'（丄）=ln-<0，：^p>\PP•“的取值范国为［1,+<-}hir-r+I<0,二Inhir-r+I<0,二Int<a--It丁neA7,h>211分「・In/?2£—I}TOC\o"1-5"\h\zInJn~|1•*-百-=1TirrTrT,ln2ztn32In;?2”-—；——+…；-W<（打_1）一（F十*…十）2x33x4心+1）z「1111I1=（f?-1）F+——2334rt=（—1）-（丄一丄）=葫2n+12（n+l）人结论成立

倒齐已知/(对=ln(l+(a<0)CI）讨论於）的单调性;（.11）证明：（.11）证明：（1+4）（1+-（“曲，诈2,其中无理数e=2.71H2K……),当日=0时，由/r（A）=—0得X＞OUx2/（.V）ft（0,+x）单调递增，住（YO』）单调递减。当日＜0冃“寸专2尤专口二0的判别式△$（）,即£73—1时，/'（,v）＜0Xtx£/e恒成立.A/（x）在R上单调递减。当一1＜门＜0时，由/（町》0得：ax2+2x+a＞0由f\x）＜o可輕x＜!±^zZ或榕匕1:./⑷在［土旦I、匕巨］上单调递增，aa在（_退J匕姮1,代｝上单调递减。qa综上所述：当“时，/（工）在（O,p）单调递增，在（-电0）单诡递减;吋，/（JC）在（Y\z）上单调递减◎

（ID由（】）当2-1时，/（歸在（-叫+00）上单调递减。当Q0时f(x)<f(0)In0+x2j—x<0(即In(1+a-'j<xr1>(\\l+»»»1+~Tl丫丿lI】)I町1十于In1+-7In1+-74-In1+pI3\1nx(n-l]=(!——)+(—-—)+…+223刪叹已知函数/(a)=Inx-ax+-——I(£?e/?).x（I）巧疗Y丄时.讨论/（X）的单调性;（il）当口=0时，对于任意的理且丹22,证明：不等式32//+1/(2)/⑶/(2)/⑶/(4)f(n)42/i(n+1)簞祈（I）原函数的定义域为（0冋，因为厂⑴J=xx~^QX~+X+打一1■>当疣二0时，/V）=offix>1,所以此时函数/（对在（L+oc）上是增函数，在（03）1：是减函数^当疣vO时，令=t|"“AO得"+2+口>0,解得21或x<丄-1（舍去），此时函数/（工）在仏如）上增函数,在（⑴!）a上是减函数；当0<a<|时，令广(Q=V苇+。一1>0得-祇？心—+口>0,解得1<X<y—ITOC\o"1-5"\h\z此时函数Ar)在(1丄-1)上是增函数，在((H)和(丄7杉)上是减歯数

aa<n|由(I)Mi4=0时"/(对=£啟+丄-1在(1/8)上是增函数，设&{.丫)=/(对一(■¥‘-[)=丄处+I)则gW=l-J_-2x=4竽-(“1X2£・2k+1)XX~X'X'vlx2-2x+l>0恒成立Ax>1时,g\x)<O.g⑴单调递减1时，g(x)<g([)=0^]f(x)<x2-\又/⑴>0人亠〉亠二~-=丄(——-八f(x)X2-](j