关系映射反演方法

关系映射反演方法关系（relation）映射（mapping）反演（inversion）方法（简称为RMI方法）是我国学者徐治利先生在60年代研究组合数学的时候提出的一种数学方法论。尽管这种方法论已被世界广泛认同，但仍为大多数学习数学的人所不知。在此简略的做一番介绍，望能给学习数学的读者作以方法上的参考。本篇文章纯粹是介绍性文章，故不会对此问题做深入的研究，读者如果感兴趣，想要了解更多，可以去查看徐治利先生的《数学方法论选讲》（徐利治著）《徐治利数学方法论十二讲》《徐治利谈数学方法论》《关系映射反演原则及应用》等以及一些其他关于数学方法论的书籍。我们知道，化归思想是数学中最重要的思想之一，即使是简单的解方程x2=4x+5，我们也要把方程化归为完全平方数的形式：（x-2）2=9。但“化归”是一个较为笼统的说法，没有较大的指导意义。RMI方法是化归方法深度上的发展，是对化归思想的升华。一、下面结合一些具体的简单例子来引入RMI方法。例子一、（此例取自《关系映射反演原理及应用》）解析几何解决问题的方法我们应该是很熟悉了：建立坐标系，把空间中的点与实数对一一对应起来，然后把几何的问题转化为代数问题，通过代数运算得到一个有意义的解，再把代数解翻译为几何解。例如：我们要证明三角形的三条高交于一点，我们可以建立一个坐标系（如图一），三条直线是否交于一点的问题就转化为三个方程AD:x=0;BE:cx一ay一bc=0;CF:bx一ay一bc=0.是否有公共解。解得公共解为」x=是否有公共解。解得公共解为」bc，从而证明了三y=一—a角形的三条高交于一点。其思想图式如下：角形的三条高交于一点。其思想图式如下：例子二、用复数证明三角形内角和等于兀具体过程就不在这里写了，可以参看《数学物理方法》P15。其方法就是把三角形放到复平面上，把三角形内角求和问题转化为复数问题，由于复数的运算特性，使得问题很容易求得，然后再回归到原来的问题，得解。

例子三、对数表在物理运算，尤其是一些天文方面的运算时，我们常常遇到类似这样一些连乘及开方的式子s=^^:，例如求S7WX3.24；（此例取自《关系映射反演原理及应用》）。在计c12.015算器发明之前，如果直接计算将是相当麻烦的。1594年皮埃尔发明了对数法，并用了二十年时间来完成它（关键在算出一张对数表）。对上述例子的求解过程如下：甘7292x3.2431（1）取对数：lgs=lg（——1201）=2lg729+;lg3.24-5lg12.01（2）查对数表：lgs=2x2.8627+-x0.5105—5x1.0795=0.49813（3）取反对数s=3.149其解题思想图式如下：（1）、RMI方法的定义以上三个例子我们可以看到共同之处，即都有一个通过某种对应关系把原问题转化为象问题的过程，通过象问题的求解结果反演出所要求的原问题的结果。这就是RMI方法的基本思想。如图四所示。国四为方便起见，我们记原问题（专业点的名词是：未知目标原象）、象问题（相应的：未知目思想。如图四所示。国四X标映像）分别为X、X*，记原问题解（目标原象）、象问题解（目标映像）分别为x*，原问题数学对象间的关系结构为S，象问题间的关系结构为S*，由s到^*映射关系为巧，其由工*到*的关系为巧T，由苴到工*的数学手续记为中。RMI方法定义：给定一个含有目标原象*的关系结构s，如果能找到一个可定映映射w，将s映入或映满s*，则可从s*通过一定的有限步数学手续中把目标映像**确定出来，进而，通过反演又可以把*确定出来，这样使得原问题得到解决。（《关系映射反演原则及应用》P30）。这里要说明一下几个概念：数学对象；关系结构；映射；数学手续；可定映映射。数学对象顾名思义，就是数学研究的对象，包括我们常见的数（从整数到复数）、数列、向量、变量、函数、方程、空间、点、线、图形、导数、积分等等，也包括我们不熟悉的如泛函、群、环、域、范畴等等。数学是从大量现实材料中抽象出来的一门学科，而数学对象正是这些现实问题的量的属性。关系结构一个数学对象的意义必须是明确的，这就要求数学对象定义时是严格的。数学对象的一个特点就是逻辑构造，即，一个数学对象不是凭空产生的，除了最原始的对象外，别的都是以已有的数学定义经逻辑构造定义的。如圆的定义为到定点距离为定长的点的集合，是建立在点、集合、距离等数学对象的基础上构造出来的；复数，形如a+ib的数（其中a、b为实数），是建立在实数基础上构造出来的……因此数学对象彼此之间不是孤立的，而是相互联系的。我们把彼此之间具有某种或某些联系的数学对象的集合称为关系结构。映射，就是通过某种明确的对应关系使得两个关系结构联系的作用（名词）。如我们常用的函数（function功能）、坐标系（点与数对的对应）、矩阵（与向量的乘积相当于对向量做了一次变换）等都是映射。数学手续即指数学中所用到的种种演绎推理、证明方法、计算方法、和查表方法（如对数表）等等。如果放宽条件，广义的数学手续也包括做实验（来得到某些数据）。所谓可定映映射即是指，找到的映射关系结构S*中可以通过一定的数学手续中由就得到**，则称w为s变为S*的可定映映射。我们已在原来问题外转了一大圈了，现在让我们还回到RMI方法中吧。用自然语言的描述有点费解，我们不如直接用符号或者框图来描述它。可简单地把RMI方法记为（S,x）~°^（S*，x*）-x*一°^1^x即，事实上较为简单的RMI方法的全过程就是关系＞映射＞定映＞反演＞得三、下面举些例子来用用这个数学方法，所谓在应用中才能更深刻地理解一个方法嘛。例子四、化学方程式的配平问题Cu与稀硝酸（HNO3）反应生成NO,Cu（NO3）2和水（H20）。问题是如何配平化学反应方程式。遵循RMI方法，有以下步骤：1、明确原问题的关系（分析S）由化学兀素守恒、质量守恒，可列方程：xCu+xHNO+xNO+xCu（NO）+xHO=01233432522、引出方程组作为映射工具（°:S-S*）其实上式对应着一个方程组（因为配平后的方程必须满足元素守恒）Cu:x+x=0；H:x+2x=0；N:x+x+2x=0；O:3x+x+6x+x=0.3、用矩阵解方程组是一个定映映射，数学手续（中）上面这个齐次线性方程组对应着下面这个矩阵方程「x[「0-10010-1x00，—r010022Ax=x=0011203x0031614J—1x01-5JJ—,=0解矩阵方程得「x[1一3-一x28x=x3=-2x4-3xL5J-44、还原为原问题的解（①-1）3Cu+8HNO-2NO-3Cu(NO)-4HO=03322即，3Cu+8HNO=2NO+3Cu(NO)+4HO3322由于化学方程式与矩阵的对应关系，我们可以把化学方程式问题转化为矩阵分析问题。我们知道可以根据矩阵是否满秩来判断齐次方程组是否有非平凡解一一于是给定几个化学式，我们就可以根据由其得到的矩阵是否满秩来判断能否配平化学方程。例子五、斐波那契数列我们知道斐波那契数列，也知道它的通式是什么样的，但它是如何得到的呢？1、原问题是，已知Fn+1=Fn+Fn-1("=槌，3,)，且=5=1，如何求1的表达式。(分析S)2、我们引进幕级数变换作为映射工具来解决问题(°:S-S*)3、找出映像关系(中)由原象所满足的递推关系及初始条件可以得映像关系F(t)-1=乙F-tn+tn=2=乙(F+F)tn+tn一2n—1n=2=乙F-tn+2+乙Ftn+100=12F(t)+tF(t)整理即得1F(t)=1—t—t24、反演(°-1)1F(t)=1—t—t211ab日an+1bn+1F(t)==■—(—)=Z(-~—~~)tn(1—at)(1—bt)v'51—at1—btv'5v5n=01=1+ax+(ax)2+(ax)3+(ax)4+1—ax)1+<51—5a=,b=其中于是得到尸〃的表达式1「1+751-<5〕F=-〈()n+1—()n+1卜"混［22J现在我们已经完成了问题的求解，让我们回过头来看看我们所使用的方法。当用了幕级数之后，我们可以看到，原来离散的数列问题就转化为了连续的级数问题(转化到另一个关系结构中了)，而级数问题我们可以利用已有的知识来求解，这样我们就拓宽了我们求解方法的范围。我们在微积分开始部分就已经了解到了，离散的数列只是函数的特列。因此，我们可以做这样的联想，即，把幕级数变换引用到连续函数中。事实上，拉普拉斯就是这样做的，这就是我们学习的拉普拉斯变换。例子六、拉普拉斯变换所谓拉普拉斯变换就是如下形式的一种映射°:f(t)一F(s)=Kf(t)/dt(s>0)我们在回过头去看看上题中的幕级数变换，对比一下这两个变换我们会发现两者之间是多么的相似，以至于我们完全可以把拉普拉斯变换看成是幕级数变换极限形式下的推广：00fnIf(t)nIttnI(e—s)t下面我们以一个简单的例子来讨论求二阶微分方程y〃(t)+R2y(t)=0其中初始条件为y(0)=白;y'(0)=b。原问题是一个二阶微分问题，拉普拉斯变换的作用则是将这样一个二阶问题转化为一个线性方程的问题。转换如下在方程两侧同时乘以e"并作从0到8的积分。由分部积分我们可以得到f8e-sty'(t)dt=sf8e-sty(t)dt—y(0)=sF(s)—y(0)f8e-sty"(t)dt=s2f8e-sty(t)dt—sy(0)—y'(0)=s2F(s)—sy(0)—y'(0)00于是我们可以看到有这样的变换y—sF(s)—y(0)y〃Ts2f(s)—sy(0)—y"0)（事实上有这样的变换:y(n)—snF(s)-snty(0)-sn-2y'(0)sy(n-2)(0)-y(n-1)(0)原来的二阶线性微分方程问题就映射为一元一次线性方程问题了。本题经拉普拉斯变换后得s2F(s)+H2F(s)一as一b=0解方程得as+b然后我们再对映射求逆，即拉普拉斯逆变换。（事实上有这样的变换:我们知道有公式psinqx一qcosqxJepxsinqxdx=epx+cp2+q2qsinqx+pcosqxJepxcosqxdx=epx+cp2+q2当P<0时，带入上下限0和8，得8qepxsinqxdx=0p2+q2is,—pepxcosqxdx=0p2+q2令p=-s；q=p；x=t，则得8.一日e-stsinptdt=0s2+p2[8Se-stcosptdt=0s2+p2由对应关系，我们可以看出y(t)=④-1(F(s))=acospt+—sinptp（事实上，这是可以直接查拉普拉斯变换表的，这里只是要说明一下这个问题解决的整个过程）解析几何通过在坐标系中将点与数对一一映射，使得我们可以通过代数方法解决几乎所有的几何问题而不再需要复杂的且只能针对具体问题（或一类问题）的几何技巧。拉普拉斯变换也起到同样的作用（尽管不是能解决全部的微分方程），它让我们能够依照着一个程序解一大类的线性常微分方程，而不必为了具体的微分方程寻找技巧。还有很多利用关系映射反演方法的有趣的例子，这里就不再列举了。事实上，我们翻开任何一本数学书都可以看到RMI方法的影子，这是一个有普遍性的数学方法。如果在学习数学的时候联系着想一下RMI方法，我们会发现数学真是太有意思了，到处都是映射一一反演的影子。总结以上几个例子，分别是：点数映射——利用代数方法解决几何问题；复数向量之间的对应一一利用复数的运算特性解决几何中的运算问题；对数一一把运算较为复杂的连乘和开方的运算通过对应关系转化为相对较容易的加减乘除运算；化学方程配平——通过守恒关系把化学问题转化为方程组求解，进而转化为矩阵分析问题；幕级数变换——把离散的数列问题转化为连续的级数问题，进而可以通过级数理论中的知识来解决问题；拉普拉斯变换一一把微分方程问题转化为普通方程问题，通过较为成熟的一般方程理论解决复杂的微分方程。数学就像一个网络，在每一块你都可以引出一条线，把问题映射到其它领域中去解决；也可以说，数学中的各个领域其实都是相互联系着的，方法相互借鉴，相互类比。另外，从上面几个例子我们可以看到RMI方法的基本程序，即：分析原问题的本质，明确其关系结构S，用通俗一点的话来说就是弄明白你要研究的是什么问题（瓦），问题的本质是什么（只有发现问题的本质才有可能找到方便的映射工具），对问题你已经知道了哪些条件等等；引入映射工具«，即在问题本质分析的基础上，找到一定的映射关系映射到其它已知的关系结构S*上去；在象问题中找到像的结构关系S*，通过有限步数学手续中，求出像结果**通过反演°-1（**），得到原象的解*。四、一些补充（作为参考）1、RMI思想我们所面对的一切无非就是：发现问题，分析问题，解决问题。RMI方法其实就是一种问题解决的方法，其实质就是把较为困难的原问题通过某种映射关系转移到别的已经解决的或较为简单的问题上；或者我们可以说RMI方法就是一种“矛盾转移法”。如果我们的思维不仅仅局限在数学中的话，我们可以把RMI方法拓展到其它学科的。例如，语言是一种概念映射（物与符号之间的映射）一一没有概念映射，我们是不会有哲学、物理等等这些学科的。2、基本程序的补充作为研究的出发点，我们必须对所要解决的问题做出明确的表述。打个比喻来说吧，如果我们不知道要去哪，那么我们怎么能决定是步行还是乘汽