专题3.1 代数式和代数式的值2021-2022学年七年级数学上册教材同步配套讲练（原卷版）

《讲亮点》2021-2022学年七年级数学上册教材同步配套讲练专题3.1代数式和代数式的值【教学目标】进一步理解字母表示数的意义，能结合具体情景给字母赋于实际意义；2、理解代数式和代数式的值的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情景中能求出代数式的值。【教学重难点】了解代数式的概念，正确列代数式及代数式的意义。【知识亮解】知识点一、代数式代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。2、单独一个数字或者字母也是代数式。3、代数式可以包含绝对值。4、注意π并不是字母，而是一个数字。亮题一、字母表示数【例1】★x与y差的平方，列代数式正确的是（）A．x﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x2﹣y2【例2】★火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别是的箱子，按图方式打包，那么打包带的长至少为（）A．4x+7y+10z B．x+2y+3z C．2x+4y+6z D．6x+8y+6z【例3】★“比a的2倍大1的数”，列式表示是（）A．2（a+1） B．2（a﹣1） C．2a+1 D．2a﹣1【例4】★走一段10km的路，步行用2xh，骑摩托车所用时间比步行所用时间的一半少1h，骑摩托车的平均速度为km/h．【例5】★“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”用字母可以表示为．【例6】★★下列图形都是由同样大小〇的按一定的规律组成的，其中第1个图形一共有4个〇，第2个图形一共有9个〇，第3个图形一共有15个〇，…则第70个图形中〇的个数为（）A．280 B．349 C．2485 D．2695知识点二、整式一、单项式1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算。二、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号。（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。三、整式1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。要点诠释：单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。分母中含有字母的式子一定不是整式。亮题二、整式【例1】★指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？，，，10，，，，，，【例2】★指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．，，，，，a-3，，，【例3】★多项式，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式?【例4】★下列说法正确的是（）A．倒数是它本身的数是1 B．绝对值最小的整数是1 C．πr2的系数为1，次数为2 D．2a3+4a2b2﹣3是四次三项式且常数项是﹣3【例5】★下列说法正确的是（）A．是单项式 B．单项式的系数是﹣1 C．2x2y的系数、次数都是2 。 D．﹣x4y是5次单项式【例6】★单项式﹣3ab2c的次数是．【例7】★★已知多项式．(1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．【例8】★把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；反之，叫做按这个字母的升幂排列。如是按的降幂排列（也是按的升幂排列），请把多项式重新排列．按降幂排列；（2）按升幂排列．知识点三、代数式的值代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值亮题三：代数式的值【例1】★无论x取什么值，代数式的值一定是正数的是（）A．（x+2）2 B．|x+2| C．x2+2 D．x2﹣2【例2】★若|x|＝1，|y|＝4，且xy＜0，则x﹣y的值等于（）A．﹣3或5 B．3或﹣5 C．﹣3或3 D．﹣5或5【例3】★如图所示，根据数值转换机的示意图，若开始输入x＝1，则最后输出的结果是．【例4】★若﹣x2+2x+1的值是3，则x2﹣2x﹣5的值是．【例5】★已知x＝2019时，代数式ax3+bx﹣2的值是0，当x＝﹣2019时，代数式ax3+bx﹣2的值等于（）A．0 B．2 C．4 D．﹣4【例6】★★如图是智多星同学用一模一样的三角形摆放的图案：（1）按照这样的规律，求出第4堆三角形的个数；（2）请帮智多星同学求出第n堆三角形的个数．【例7】★★当今，人们对健康愈加重视，跑步锻炼成了人们的首要选择，许多与运动有关的手机APP（即手机应用小程序）应运而生．小明的爸爸给自己定了减肥目标，每天跑步a公里．以目标路程为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，他记下了七天的跑步路程：日期18日19日20日21日22日23日24日路程（公里）+1.72+3.20﹣1.91﹣0.96﹣1.88+3.30+0.07（1）分别用含a的代数式表示22日及23日的跑步路程；（2）如果小明的爸爸24日跑步路程是7.07公里，求a的值；（3）在（2）的条件下，若跑步一公里消耗的热量为60千卡，请问小明的爸爸跑步七天一共消耗了多少热量？【例8】★★历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，其中f可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式，例如f（x）＝x2+3x﹣5，当x＝﹣1时，多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7．根据上述材料，解析下面问题：已知g（x）＝ax3+bx﹣5．（1）当a＝1，b＝2时，求g（﹣3）的值；（2）若g（2）＝7，求g（﹣2）的值．【亮点训练】训练一、字母表示数【变式1】★某商品原价为a元，因销量下滑，经营者连续两次降价，每次降价10%，后因供不应求，又一次提高20%，问现在这种商品的价格是（）A．1.08a元 B．0.88a元 C．0.972a元 D．0.968a元【变式2】★一块地有a公顷，平均每公顷产粮食m千克；另一块地有b公顷，平均每公顷产粮食n千克，则这两块地平均每公顷的粮食产量为（）A． B． C． D．【变式3】★“与5的积是m﹣3的数”用代数式可以表示为．【变式4】★某商场实行7折优惠销售，现售价为a元的商品的原价是．【变式5】★★2018秋•江苏省亭湖区校级期中）下面是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，则第10个小房子用了____颗石子．（）A．119 B．121 C．140 D．142训练二、整式【变式1】★下列代数式：，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________。【变式2】★下列说法正确的是（）A．单项式x3yz4系数是1，次数是7 B．多项式2x2+xy+3是四次三项式 C．单项式的系数是，次数是6 D．x2y+1是三次二项式【变式3】★下列说法：①﹣a一定是负数；②多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+1的项数是4；③倒数等于它本身的数是±1；④若|x|＝﹣x，则x＜0．其中正确的个数是．（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4】★多项式3x2y+2xy3﹣1是次项式．【变式5】★★观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第n个图中小圆点的个数为．【变式6】★已知多项式，(1)请你按照上述规律写出该多项式的第5项，并指出它的系数和次数；(2)这个多项式是几次几项式?【变式7】★如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.训练三、代数式的值【变式1】★按照如图所示的操作步骤，若输出的值为49，输入的数x是（）A．7 B．5 C．﹣9 D．5或﹣9【变式2】★无论x取何值，下列代数式的值始终是正数的是（）A．|x| B．x2 C．|x|﹣1 D．x2+1【变式3】★如图，是一个数值转换机．若输出的数为25，则输入的数是．【变式4】★试写出一个含有x的代数式，使得当x＝0时，代数式的值是5．这个代数式可以是．【变式5】★若﹣x2+2x+1的值是3，则x2﹣2x﹣5的值是．【变式6】★★小红在计算+（）2+（）3+…+（）2020时，拿出1张等边三角形纸片按如图所示方式进行操作．①如图1，把1个等边三角形等分成4个完全相同的等边三角形，完成第1次操作；②如图2，再把①中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形，完成第2次操作；③如图3，再把②中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形，…依次重复上述操作．可得：+（）2+（）3+…+（）2020的值最接近的数是（）A． B． C． D．1【亮点检测】1★如图是一块长为a，宽为b（a＞b）的长方形空地，空白处是两个半圆，要将阴影部分绿化，则绿化面积是（答案保留π）．2★某品牌电视机搞促销，优惠方案如图．若该电视机原价每台为a元，则售价为元．（用含a的代数式表示，答案需化简）3★单项式的系数是．4★在式子，2x+5y，0，﹣2a，﹣3x2y3，中，单项式的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个5★观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为．6★下列各组式子中：（1）x2y与﹣xy2；（2）0.5a2b与0.5a2c；（3）3b与3abc；（4）﹣0．lmn2与mn2中是同类项的有（填序号）7★（2020•连云港）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是．8★已知代数式2x2﹣4x+5的值为9，则7﹣x2+2x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．89★若，则的值为____________10★如果单项式xm+2y3与yn+4x5是同类项，那么nm＝．11★已知代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求ab的值．12★某商品降价20%以后的价格是m元，此商品降价前的价