地下水动力学电子教案

第一章地下水运动的基本概念与基本概念本章概述：掌握典型体元、非均质各向异性、非均质各向同性、均质各向异性、均质各向同性的等概念；正确区分地下水质点实际流速、空隙平均流速和渗透流速；详细叙述研究地下水运动规律所遵循的基本定律一达西定律；掌握流网的特征并及其在实际中的应用，重难介绍：掌握典型体元的概念和地下水运动基本定律；流网的应用。本章学时数：4学时（180分钟）教学内容：地下水运动的基本概念我们以前学过《水力学》，从课程名字来看他们很相似，那《地下水动力学》和《水力学》有什么异同点？1、水力学与地下水动力学异同点相同点：都是研究水的运动规律的学科。相异点：水力学是研究水在管道或渠道中的运动。地下水动力学则是研究水在岩石空隙中（孔隙、裂隙、岩溶）运动规律。2、渗流与渗流场我们把由由固体骨架和空隙两部分组成的介质，叫多孔介质。如砂层、裂隙岩体等。地下水在多孔介质中的运动，称为渗流，渗流所占据的空间就叫渗流场。我们刚才讲到地下水地下水渗流，那渗流和实际的水流又有什么区别呢?/////.■/1//////.■/1////1//////闺II4一,峻管ifi 背遍严严由水力学我们知道普通水流的流向是从总水头高的地方流向总水头低的地方，水流量的大小取决于水头差和水头损失，同样地下水水的流向也是从高水头流向低水头，流量的大小也水头差和水头损失。但是从图1-1-0b和1-1-3a可以看出，普通水流在管道中运动取决于管道大小、形状及管壁的粗糙度，而渗流运动取决于多孔介质空隙大小、形状以及其连通性。我们知道在自然界中多孔介质中固体的边界的集合形状是各种各样的，形状十分复杂，其通道是曲折的，地下水在这样复杂的介质中流动，其质点运动轨迹弯曲，通常其渗流速度缓慢，流态多为层流，水只在空隙中流动，在固体物质中无渗流发生，因此从整个渗流空间来说是不连续的，而此也其运动要素（如流速矢量）的分布变化无常，是非稳定流，但是大部分是缓变流。图1-1-3a地下水实际流动 图1-1-3b基于渗流流速的流线从微观角度研究地下水运动的难度有两个方面：A）如果从微观角度来看地下水运动（渗流）：地下水是在不同的空隙中运动的。要获得微观角度每一个空间点的水流运动参数，首先必须获得空隙的几何参数（查明每一个空隙与固体颗粒之间的边界位置等），这是十分困难的。B）从微观角度来看地下水流在空间上是不连续的。固体颗粒部分是没有水流的，因此从微观角度地下水的运动参数在空间上是不连续的，有很多地方运动参数是零。也就是说描述水流运动的物理量是非连续函数，因此基于连续函数的许多微积分方法无法应用。因此在研究地下水运动规律时，我们通常要从宏观水平上来考察。于是我们就提出了渗流的概念。现在我们为了克服上面所提到的困难和研究方便我们引用一个假想的水流来代替真实的水流（如图1-1-3b），这种假想水流是：我们不是说从实际水流运动的物理量是非连续函数吗？现在我们就假设：1、这种假想水流充满整个多孔介质的连续体；所谓的整个多孔介质它包括空隙和固体部分，不仅仅是空隙了，主要处处有空隙，处处有水流。当然为了使假设水流更加符合实际情况我们有一下2各假设：2、这种假想水流（渗流）的阻力与实际水流在空隙中所受到的阻力相同；也就是说，我们假设在这个空隙中的有一点，这一点的假想的水流和实际的水流所受的阻力是相等的。3、渗流场任意一点的水头H和流速矢量v等运动要素与实际水流在该点周围一个小范围内的平均值相等。这种假想水流便是宏观水平的地下水流，我们称之为渗流。它所占据的空间称为“渗流场”。我们刚才在假设3中提到渗流场任意一点的水头H和流速矢量v等运动要素与实际水流在该点周围一个小范围内的平均值相等。这个小范围到底是多少？，比如说在二维流中，是1平方厘米、1平方分米、1平方米等等。下面我们引入一个典型体元，有些书也叫典型单元体( RepresentativeElementaryVolume)的概念:下面我们是空隙率为例来讲解什么是典型单元体。我们在水文地质学基础中学过空隙率n的定义是：Vn=-h-V其中：Vv V中空隙中的体积那么要取多大的V才能代表典型单元体的体积呢？现在假设P点为多孔介质的内的某一点，这一点可以在落在固体颗粒上也可以在空隙中，以该点为中心，如果以P点为形心取一体积，当P点位于颗粒上时，所取的体积小于或等于颗粒的体积是我们知道空隙率n=0；当P点位于空隙中时，所取的体积小于或等于颗粒的体积是我们知道空隙率n=0，随着所取的体积V的增大，空隙率n的值因为随机划进来的颗粒或空隙体积产生明显的波动，但是随着体积V的逐渐增大波动逐渐减少，当体积V取至某一个体积时，空隙率趋于一平均值n，此时的体积V称为典型体元V0。若体积再继续增大把P点外围的非均质区(K2区)也划进来平均，此时又会产生明显的变化。因此典型单元体是有一定体积，但是不能太大，因为太大掩盖了多孔介质的非均质性。因此通过上述分析，我们可以通过利用典型体元V0来定义任意点P的空隙率n(P)，即：TOC\o"1-5"\h\z..V Vn(P)=limv^ 或n(P)=声\o"CurrentDocument"f0 0其中V0V为典型体元V0中的空隙。如果使二维面积上或线上取平均值，则称为面空隙率或线空隙率。f、A Ln(P)=-oHv- 或n(P)=―qh-\o"CurrentDocument"0 0

1.1.2渗流的运动要素1、地下水质点实际流速、空隙平均流速和渗透流速在水力学的学习中知道，由于由于水具有一定的粘滞性，在流动时水和颗粒间有阻力和粘滞力，因此从微观上看颗粒间的水的流速分布如图1-1-2a所示，并不是相等的，那怎么才能得到典型体元上的平均流速呢？单个孔隙平均流速质点流速分布曲线地下水渗透流速一^-地下水孔隙平均端速B图1-1-为质点流速分布图 图1-1-2匕单个孔隙平均流速质点流速分布曲线地下水渗透流速一^-地下水孔隙平均端速B图1-1-为质点流速分布图 图1-1-2匕地下水各种流速关系概念图设空隙中地下水水质点的流速矢量为u'。现在有2种取平均值的方法。A)将出在以P为中心的典型体元空隙部分V上取平均值，其表达式为：0vu(P)=—!—Ju'dv=—!—Ju'dvTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"V vv v0vV 0vV0v 0我们也知道在固体颗粒部分水的流速为0,因此积分的范围可以用V0来代替V0v。我们通常把这样平均的流速叫空隙平均流速，用u表示。 00VB)将u在以P为中心的整个典型体元V。(包括空隙和固体两个部分)上取平均值一一渗透流速(达西流速)，用v(p)每表示：v(P)=—Ju'dv=—Ju'dvV vV v0V0v 0V0这就是我们刚才讲到的渗流时假设的流速，因此通常把这样平均的流速叫渗透流速，用v表示。我们刚才提到了质点流速u'、空隙平均流速u和渗透流速V。这三者有什么关系呢？我们现在看某一个时刻一个多孔介质放大的流速分布示意图。地下水流速图图，红线是质点的实际流速u',蓝线为空隙平均流速u,紫色为渗透流速V。现在用空隙平均流速u和渗透流速V的相除可以得到uV—=0v-=nvV0因此空隙平均流速u和渗透流速V的的关系是v=nu我们知道在多孔介质中，互不连通的孤立孔隙对地下水的储存和运动都是没有意义的，另外研究地下水运动时，一般情况下可以忽略结合水的运动，因此也可以忽略结合水所占据的空间。因此严格意义上n应该是有效空隙度ne去掉与地下水运动没有作用的空隙(结构空隙、盲孔等)。v氏nu2、压强、水头和水力坡度在中学我们学过压强的有关概念，压强是指单位面积上所受的压力。它是一个平均的概念。通过刚才讲过我们研究地下水流动不是研究它的微观运动而是研究在一定范围的各项运动要素的平均值。因此，地下水的压强也是指典型体元宏观水平上的平均压强。用下式表示：P(P)=1—JpdVVv0vV0v与水力学一样，为了研究方便，地下水的压强的大小也用水柱的高度表示，因此宏观水平的水头H定义为H(P)=1-JHdVV v0vV0v图1-1-4a潜水含水层中的压强及水头 图1-1-4b潜水含水层中的压强及水头在水力学中我们知道总水头应表征渗流场中任意点具有的位置势能，压力势能和动能三者之和。即由于在地下水运动中，地下水孔隙平均流速很小(岩溶管道除外)因此孚相对前两2g

项小得多，一般情况下忽略不计。因此因此在在研究地下运动时，一般不去严格区分总水头或测压水头，而通称水头，用H表示。由上面公式可以看出，水头H随着位置高度z而变，而位置高度又处决于基准面的选取，那又如何选择基准面呢？这主要要考虑我们使用方便，一般来说，隔水底板水平的含水层，其基准面要取在隔水底板处，其它情况通常以海平面为基准。水头值（H）的大小可以用水头来表示。量纲为[L],因而任意点的水头值大小可以从基准面到揭穿该点井孔的水位处的垂直距离来表示。图1-1-5水力坡度概念土在渗流场内水头值相等的点连成面（线）成为等水头（面）线。即图上的H1、H2、H3。沿着等水头面（线）的法线方向（n1、n2、n3）S水头变化最大，沿法线方向的水头变化称为水力坡度。即 123rdHJ=- dn在各向同性岩层中，流线是垂直穿过等水头面，与等水头面的法线方向重合。因而水力坡度可以表示为：rdHJ=- dss是指流线方向（也就是等水头面的法线方向）。在此条件下，水力坡度J表示水头H沿流线方向的变化率（最大变化率）。那水力坡度J在空间直角坐标系又如何来表示呢？表达为三个分量，即,那水力坡度J在空间直角坐标系又如何来表示呢？表达为三个分量，即,dH ddH ddHJ=- J=- J=-dxdydz1.2渗流基本定律一、达西实验（稳定流）在《水文地质学基础》中我们做个这个实验，下面我们来回顾一下：这个实验由法国水力工程师亨利・达西（HenryDarcy）在装有均质砂土滤料的圆柱形筒中做了大量的渗流实验（图1-2-1），于1856年发现：渗透流速与水力坡度成正比，即线性渗流定律，这是渗流基本定律，后人称之为达西定律，其形式为S1-2-1达西安里装置星S1-2-1达西安里装置星Q=KAHi-H2=KAJl式中：Q为渗透流量；A为渗流断面面积；H1、H2为1和2断面上的测压水头值；L为1和2两断面间的距离；J为水力坡度，圆筒中渗流属于均匀介质一维流动，渗流段内各点的水力坡度均相等；K为比例系数，称为砂土的渗透系数（也称水力传导系数）。达西定律的另一表达形式为v=—=KJ

A式中：U为渗流速度，又称达西速度，量纲为［LT-］。渗流速度与水力坡度成正比，所以称它为线性渗透定律，这也说明此时地下水的流动状态为层流。若将达西定律用于二维或三维的地下水运动，则水力坡度不是常量，沿流向可以变大也可以变小。刚才我们讲过，它的微分形式；v=-v=-KdHdsdH〜 是沿流线任意点的水力坡度。ds在直角坐标系可表示为d.x*Hv=-K y Sy/Hv=-K z Sz二、不稳定条件下渗流实验达西实验是在定水头稳定流条件下进行的，那么在变水头条件下的不稳定渗流是否同样满足线性渗流定律呢？下面我们用如图1-2-2这样的装置，来验证了达西线性定律同样适用于不稳定渗流。图1-2-3变水头渗流实验的图1-2-3变水头渗流实验的t~lgH图在某一时刻t时刻这一瞬间(按下暂停，按钮)，若该流动符合达西定律，则可以得到:Q(t)=K午A1/式中：H(t)是随t时刻的水头差；l为砂柱的长度；A为砂柱的横断面积；Q(t)是t时刻的流量。那么在dt时段内通过砂柱断面的体积应该是dV=Q(t)•dt=KH(-)A•dtl由水均衡可知:

dV=—AdH式中的负号表示了随着通过砂柱断面水体积（V）的增加，水头（H）值在减小dV=-AdH=KH(t)A•dtl则积分K则积分K工—dt=一ldH

HTJtKdt=~\HdHKt=lnHot=—InH——InHK0K由上式可以看出，如果不稳定渗流服从达西定律，则观测数据（t，H）在t-lgH坐标系中呈线性关系；否则呈非线性关系。反之，我们可根据实验曲线t-lgH的形态来判断渗流是否服从达西线性定律。如果这些点基本在一条直线上，表示遵循达西定律的一次实验数据。如果落在一条曲线，那表示不遵循达西定律。另外也可以通过不稳定渗流实验来求得砂样的渗透系数值。其渗透系数的大小就是这条直线的斜率。三、渗透系数在《水基》中我们就学过渗透系数的这个概念，知道渗透系数是一个极其重要的水文地质参数。它反映岩层的透水性能，是地下水计算中一个不可缺少的指标。那么渗透系数的大小取决于哪些因素呢？下面通过两个简单的理想模型，以帮助我们从本质上理解渗透系数的概念。在《水力学》中我们得到：在层流条件下，圆管中过水断面的平均流速为d2yTu-・—J32日式中：d为圆管的内直径；R为液体的粘滞动力系数，日=PV；『为液体的密度；v为液体的粘滞运动系数；y为液体的重率。①如果把空隙介质的透水性理想化，看成由一系列细小的圆管组成而保留其孔隙率不变（图1-2-4），则沿圆管方向的渗透流速为nd2yTv=nu=——•—J （1-2-10）32日②地下水在裂隙岩层中的运动，可以利用两平行板间液体的运动来对比。两平行板间的宽度可视为理想化的裂隙岩层的裂隙宽度。当液体作层流运动时，其平均流速为_b2y/u- •—J12日式中：B为两平行板的宽度。

里牌介质选小1生理赳脸缪®1-2-4里牌介质选小1生理赳脸缪®1-2-4我阳介质透水Q)\「上⑺图管的指断面：（联理想化的孔隙岩

层透水■介质（出两平行板的横断画；（b）理想优的舞隙岩层透水介质如果将裂隙岩体中裂隙系统，想象成一系列等宽的、平直的裂隙所组成（图1-2-5）,则沿裂隙组的交线方向的渗透流速为nB2Y,v=nu=——•—J （1-2-12）12日如果将（1-2-10）式和（1-2-12）式与线性渗透定律v=KJ进行比较，得出下列结论：⑴上述两式中，渗流速度和水力坡度都成正比关系。说明它们和达西定律的条件相同，都属于层流状态。nd2丫 nB2丫（2）渗透系数K在孔隙岩层中相当于K•-，在裂隙岩层中相当于 ・上。前面的32 日 12 日因子表示透水岩层的空隙性，后面的因子表示液体的物理性质。从而证明：渗透系数的大小不仅取决于岩石的空隙性，而且与渗透液体的物理性质有关。若以k表示纯粹由岩石空隙性所决定的渗透性能，则k称为渗透度（也称渗透率），k=—（或k= ）。它是不随液体的物理性质而J乙 JL乙变化的。显然，k的数值决定于空隙的大小（d和B）和空隙率（n），这是对上述理想化了的空隙介质而言的，至于对实际的介质，k还与空隙形状、空隙的曲折性、连通性等有关。从上式可以看出：空隙的大小（d，B）对k起主要作用（因为它们是平方关系），而空隙率起次要作用。实际资料表明：粘土的孔隙率一般为50%〜60%,但它的渗透率仅是粗砂土（孔隙率约为30%〜40%）的0.0001〜0.00001。这充分说明了上述结论的正确性。当然，这里还存在结合水几乎不参与流动的问题。(3)液体的物理性质对渗透系数的大小有直接的影响。它与Y成正比，与粘滞动力系数u成反比。可以想象，若Y=0(例如在失重的人造卫星上)，即使有水头差，液体也不会运动；在其他条件相同的情况下，Y愈大则愈易流动。但若液体粘滞性愈大，则愈不易流动，例如油不如水容易流动。对于地下水来讲，Y和口决定予水的矿化度、水温和压力等因素。其中温度对粘滞性u的影响较大。(四)线性定律的适用条件达西定律是我们水文学中这么重要的定律，那他有什么限制条件呢？①、实验证明，仅当Re<10的条件下，通过多孔介质的流体作层流运动，渗流才满足达西定律，即渗透流速口和水力坡度t,呈线性关系；当Re>10时，渗透流速和水力坡度呈现曲线关系，达西定律不再适用。②、液体要处于层流状态，也就是说液体流速要小于它的临界流速vc,对于孔隙岩层，应用前苏联学者巴甫洛夫斯基公式：v=R(0.75n+0.23)才10实际资料说明,自然界孔隙岩层中的地下水运动基本上属于层流状态。③、对于裂隙岩层，罗米捷在裂隙模型中做了大量实验，得到判别裂隙岩层流动状态的临界水力坡度Jc、裂隙宽度及裂隙相对粗糙度间关系的经验公式为：J=0.00252(1-0.96ao.4)i.5(1+6a1.5J=0.00252裂隙含水介质中一般情况下的地下水运动也是呈层流状态。仅仅在宽裂隙和溶洞发育地区可以形成局部的紊流地段。④、有些学者还研究了达西定律的下限问题。他们通过实验发现某些粘性土存在一个起始水力坡度J0。若实际水力坡度J<J0时，渗流速度和水力坡度之间不呈线性关系；只有当J>J0时,渗流才服从达西定律。线性渗流定律必须符合上面提到的条件才能成立,否则是非线性的。对于非线性定律研究也很多,但具有代表意义的是：1901年，福希海默(Forchheimer)提出在大雷诺数(Re>10)条件下，渗流速度和水力坡度之问的非线性关系式,即J=Av+Bv2式中：A和B都是系数，它们取决于流动状态，若渗流属层流，则系数B=0,J=A•V，这与线性定律(v=KJ)的表达形式一致，此时；反之，若渗流属紊流，系数A=0,J=Bv2。1912年,克拉斯诺波里斯基提出了当地下水呈紊流状态时的渗流基本定律表示形式VKJ1/2这表达式和福希海默提出的（1—2—16）式呈紊流态时的表达式一致。1.2.3各向异性岩层中地下水的运动规律一、渗流的分类--稳定流（各运动要素不随时间变化）①、按运动要素（v,p,H是否随时间变化、-非稳定流（运动要素随时间变化）层流②、按地下水质点运动状态的混杂程度 Y过渡区流态-紊流承压流③、按地下水有无自由表面： 无压流、、 承压一无压流「隔水层④、按岩层透水性以及对地下水所起作用分 含水层-透水层（弱透水层）一一维流（仅沿一个方向存在流速（图1-2-8a））⑤、按渗流速度在空间上变化的特点二维流： 二二维流（图1-2-8b1）< （沿两个平面 ,方向存在分流速）剖面二维流（图1-2-8b2）'、-三维流（三个方向均存在分流速）（图1-2-8C）（这好比我们在学校开运动会，100m跑人在一直线方向运动是一维流，400m跑人在平面上跑圈运动是二维流，400m障碍跑既在平面上跑圈，还要上下跳跃就是三维流。）平面二^祝Si-a-sta平面二^祝Si-a-sta制面』新匡12匡12Sc一盘汇⑥、按岩层渗透性随空间和方向变化特点，分均质各向同性、均质各向异性、非均各向同性、非均质各向异性。(一)、按岩土的渗透性是否随方向变化，将岩土分为各向同性和各向异性两类。各向同性：渗透系数值与渗流方向无关。或者说，同一点在不同渗流方向上的渗透系数都相等，若用渗透系数图表示，它是一个圆如图［1-2-8(a)］。因此可以认为K是一个标量。各向异性:渗透系数值随渗流方向而变化，它可用渗透系数平方根椭圆来表示［图1-2-8(b)］，在三维上来看是一个椭球体。因此可以认为K是一个矢量，通常用标量的形式来表示，其表达形式如下：因晨工］K=KKKyxyyyzIKKKI'zxzyzzJ图1-2-8各向同性(a)及各向异性(b)渗透系数图(二)、按岩土透水性在空间上是否变化分为均质岩土和非均质岩土。若空间各点同方向上渗透系数相等，称为均质岩土；否则为非均质岩土。自然界中，根据岩土结构的特点可以存在：①均质各向同性岩土，如均匀砂或砾石土；②均质各向异性岩土，如均质并发育垂直大孔隙的黄土层；③非均质各向同性岩土，如双层结构的土层；④非均质各向异性，裂隙、岩溶含水介质大多属于此类岩土二、各向异性介质中地下水流的达西定律在前面我们得到达西定律的表达形式为：

v=-K-或 v=-KgradHSs在这里我们把它进行推广，在各向同性介质中：各向异性介质中：=-K"=KJv=-KySx

SH=KJvz各向异性介质中：=-K"=KJv=-KySx

SH=KJvzKxyKyyKzyyKxzKyzKzz式中：vx、vz和vz是渗透流速矢量v分别在X、y和z方向的分量;心\和Jz分别是水力坡度矢量J在x、y、z轴向上的分量；K、K、K、…K9个系数构成的矩阵是xxxyxzzz各向异性介质渗透系数张量K的分量。三、渗透系数张量的坐标转换一个客观存在的各向异性介质，其渗透系数张量K的分量一个客观存在的各向异性介质，其渗透系数张量K的分量K、K、K、…K会xxxyxzzz随着坐标轴x、y和z的取向而变化。这正如一个确定的矢量，如流速v的三个分量vx、vz、vz会随X、y和z轴的取向而变，但张量K和矢量v又是确定的。我们知道，转动坐标轴，当某轴（例如x轴）的轴向与矢量v方向一致时，vv=v,且vz=vz=0。同样，当坐标轴转到某个合适的方向时Kxy=Kz=Kx=Kz=Kzx=Kzy=0，即渗透系数张量变换为到某个合适的方向时对角线张量，即Kxx0Kxx0、00Kyy00]0K,zz这时的X、方向称为各向异性介质渗透系数的主方向。若Kx「Kzz和这时的X、不相等，则介质属于三度各向异性介质；若Kx=Kzz丰Kzz，则属于二度各向异性介质;若K「Kzz=Kz则属于各向同性介质。显然，当坐标轴取向与各向异性介质渗透系数主方向一致时，渗透流速v的三个分量为:VXyyahVXyyahd.x=—K=—Kzz渗透主轴方向与所选x,y,z方向不一致时，须进行坐标转换。如何转换呢？以平面二维流问题为例：取Zon坐标系的坐标轴与各向异性介质主方向一致，该坐标系称局部坐标系；xoy为整体坐标系；前者对后者逆时针旋转0角（图1-2-10）。图1-2-10局部坐标系与整体坐标系图依上面讨论，对于xoy坐标系，渗流速度分量VX=jKxyJ图1-2-10局部坐标系与整体坐标系图依上面讨论，对于xoy坐标系，渗流速度分量VX=jKxyJy「JKyyj对于Zon坐标系，渗透流速分量(1-2-25)VrKjnnnn两者存在下列关系v(=vcosO+vsinOv=—vsinO+vcosO设旋转矩阵[R](1-2-26)(1-2-27)(cos0sinO'

、一sinOcosO,则则（1-2-27）式可表为V£V“(v)VX1y)二R一把上式代入1-2-26得vcos0+vsin0=K&(Jcos0+Jsin0)-vsin0+vcos0=K星(-Jsin0+Jcos0)解得v二(Kcos20+Ksin20)J+(K-K)cos0sin0Jv二(K一K)cos0sin0J+(Ksin20+Kcos20)Jy 兜 ⑪ 兀对比(1-2-25)式和(1-2-32)K=Kcos20+Ksin20K=(K一K)cos0sin0K=(K一K)cos0sin0K=Ksin20+Kcos20先 “" y式得(1-2-26)由此可以得出一个重要的结论，渗透系数张量分量所构成的矩阵XT xyIKKI、yx yy是一个对称矩阵。地下水通过非均质岩层突变界面的折射现象(1-2-32)我们在中学中学过，光从一种介质进入到另外一种介质中会在接交界面发生折射现象，地下水也有类似似的的现象，地下水在非均质岩层中运动，当水流通过渗透系数突变的分界面时，出现流线改变方向的现象，我们叫做地下水的折射现象。图1-3-1地下水流线折射原理概念图折射现象应满足下列的关系式：tga_Ktga2 K2（1）当K2丰K1,且a1W0时，为什么流线穿过层界面时会发生折射？折射的根本原因是为了改变渗流断面的面积，以满足渗流连续性原理。（2）当K1=K2，a1=a2说明在均质岩层中流线无折射现象。（3）当K1WK2时，若\=0°,则a1亦等于0。；若a2也等于90°。也就是说，当水流平行或垂直层界面时，流线不发生折射而仍然平行或垂直于层界面流动。因此，只有当0°<a1<90°时，才有折射现象产生。（4）在层界面上发生的流线折射并不改变地下水流动的总方向，地下水流动的方向仍然受边界条件和源汇项等的控制（上面几点结合光线折射的现象，类比进行讲解）1.4流网流网：渗流场内由一系列等水头线（面）和一系列流线（面）组成的网格。各向同性和各向异性岩层的流网特征不同，下面我们将分别叙述。各向同性岩层地下水的流网特征各向同性的岩层由于各方向的透水性（K值）均相等，所以流线（面）和等水头线（面）必定互相垂直。由它们组成的网格是一系列矩形网格。若为非均质各向同性岩层，流线通过层界面产生折射现象。一、流网的实用意义①、流网能集中反映渗流场地下水运动的水动力特征，因此对流网的分析可以了解地下水运动方向及补排关系；

图1-4-1的剖面流网表示了地下水与地表水之间的水力联系。图中aa是条分流线。在aa分流线以上，一侧的地下水先流入河槽转变为地表水，再由河槽流向另一侧，转变为地下水。然而在aa分流线以下的地下水由河流的一侧直接向河流的另一侧流动。②、定性确定水文地质条件①河流与地下水的补、排关系；②等水头线的疏密反映导水性的大小；③流线绕流时，遇弱透水层［图1-4-2(b)］④流线汇集时，遇强透水层［图1-4-2(a)］(a)强透水琏缜体(a)强透水琏缜体检-近岫流网 3)膈水磕蟆体隔版的流网图1-4一二遮犍体附近的流网③、流网的研究对水文地质计算方法的选择有重要意义;④、流网特征的分析还可以确定渗流场的边界性质；若流线和已知边界平行，说明没有水流通过该边界，为不透水边界［图1-4-3(a)］；若流线和边界相正交，该边界为等水头边界［图1-4-3(b)］；假如流线和边界斜交，则它是属于非等水头的补给或排泄边界［图1-4-3(c)］。⑷⑸.不适水边界 铮出头边界 不等水头边界图1-4-3边界附近的流阴瞥至⑤、精确的流网可用来计算渗流区的渗流速度、渗流量以及区内任意点的水力坡度(第十一章介绍）。⑥、不稳定的流场，可以分别作出不同时间的流网图，即可用来分析水文地质条件的变化，也可求得各渗流要素随时间的变化。二、绘制流网的方法绘制流网的方法很多，大体上有以下三类：①、利用野外实地观测到渗流区各已知点的水位资料结合边界条件来绘制；②、可采用物理模拟或数值模拟方法获得（这将在以后章节和后续课程中讲解）；③、有时为了分析渗流区的水文地质条件，通常根据研究区已知的补给、排泄及边界特征来绘制。三、绘制信手流网图步骤①、要确定补给区、排泄区，依此来确定地下水流向，即流线的起点和终点；②、绘制肯定的流线与等水头线根据渗流场边界性质来确定天然的流线与等水头线，如隔水边界、无入渗补给的潜水面一定是一条流线。河流、湖泊、海、井孔边界一定是一条等水头线。③、当出现两个以上排泄区时，依据概念分析渗流场内由于源汇形成的分流面。④、已经流网的性质绘制其他地方的流网。各向异性岩层地下水的流网特征在各向异性介质中，流线和等水头一般不再呈正交关系。本章小结：①、假想一种水流能充满整个多孔介质（包括空隙和固体部分）的连续体；而且这种假想水流的阻力与实际水流在空隙中所受的阻力相同；它的任意一点水头H和流速矢量V等要素与实际水流在该点周围一个小范围内（即典型体元）的平均值相等。这种假想水流便是宏观水平的地下水流，我们称之为“渗流”，它所占据的空间称“渗流场”。②、质点流速u'、空隙平均流速u和渗透流速v是三个不同的概念，其中空隙平均流速u和渗透流速v的关系是：v=nu③、沿法线方向的水头变化称为水力坡度。即dHJ=- dn在各向同性岩层中，流线是垂直穿过等水头面，与等水头面的法线方向重合。因而水力坡度可以表示为：dHJ=- ds那水力坡度J在空间直角坐标系表达为三个分量，即dH dH dHJ=- J=- J=- dx dy dz④、达西定律:dH稳定流：V=-K-ds非稳定流：t=—lnHe—-lnHK0K适用范围：层流条件下。⑤、渗透系数能反映岩层的透水性能，是地下水计算中一个不可缺少的指标。那么渗透系数的大小除了受到空隙介质的影响外还受到液体物理性质的影响。⑥、按岩土的渗透性是否随方向变化，将岩土分为各向同性和各向异性两类，按岩土透水性在空间上是否变化分为均质岩土和非均质岩士。⑦、在各项同性介质中，K是个标量，在各向异性介质中K是一个张量。⑧、地下水通过非均质岩层突变界面的折射现象，折射现象满足s=K。tga2K2⑨、流网是渗流场内由一系列等水头线（面）和一系列流线（面）组成的网格。⑩、各向同性的岩层流线（面）和等水头线（面）必定互相垂直。由它们组成的网格是一系列矩形网格；在各向异性介质中，流线和等水头一般不再呈正交关系。第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件本章概述：重点理解地下水弹性储存的含义，掌握弹性释水系数和重力给水度的概念；掌握渗流的连续性方程，潜水、承压水和越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程的推导过程；熟悉定解条件，并能够正确建立数学模型。重难介绍：了解地下水三维流动基本微分方程的基本形式以及几种简单条件下的流动微分方程本章学时数：4学时（180分钟）教学内容：2.1渗流连续性方程在上节课中，为了研究的方便，引入了“渗流”、“典型体”的概念，因此可以地下水的渗流看作是连续介质，所以流体在运动过程中是连续充满着它所据的空间。流体运动时的这种连续性，若用数学方程式来表示，那就是连续性方程。连续性方程是质量守恒定律应用于流体运动的具体表现形式。在渗流场中，各点的渗流速度的大小、方向都可能不相同。为了反映流体运动中的质量守恒，就需要建立以微分方程表达的连续性方程。为了反映含水层中地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下水三维不稳定流动的连续性方程。>>水是可压缩的；>>忽略多孔介质固体颗粒的压缩性；>>多孔介质骨架在垂直方向上是可压缩的，但水平方向不可变形；>>为了方便，取直角坐标系的x、y,z轴分别平行于各向异性岩层渗透系数的主方向。2.1.2方程建立的过程我们在各向异性含水介质中取一微小立方体（图2-1-1）,以这个微小立方体的多孔介质为均衡体，以At为均衡时段，建立其质量守恒方程，即渗流连续性方程。(1)^t时间段内，三个方向净流入均衡体的质量：①Ax方向上，水净流入均衡体的质量：在At时段内，沿x方向通过左侧x断面流入均衡体的质量为Am=(py)1 ,AyAzAt在同一At时段内，沿x方向通过右侧x+Ax断面流出均衡体的质量为Amx+AX=(p、lx+Ax,y,z,t)AyAZAA那么，在At时段内，沿x方向通过左右侧断面净流入均衡体的质量为Amx~Amx+Ax=(P、) AyAzAt-(p、)l(x+Axzt)AyAzAt'"x|…-(P"xIx+Ax•i1yAzAt②同理：Ay方向上，水净流入均衡体的质量为Am-Am =^pv) AyAzAt-(py)1 AyAzAty y+Ay y(x,y,z,t) y(x，y+A干)="v/ -(pv)| AyyAzAty(x,y,z,t) y(x，y+Ay，z，t)③同理：Az方向上，水净流入均衡体的质量为Amz—Amz+Az=(pv) AyAzAt-(pv)1 ,AyAzAt=lpv\ -(pv)l( A)AyyAzAt④那么，在At时间段内，三个方向净流入均衡体的质量为Am—(Am一Am )+(Am一Am )+(Am一Am )_{[(puJ(x,y,z,t)-3x)Ax[(pu) -(pu) ]+ y(x,y,z,t) x(x，y+Ay,z,t)Ay[(pu)| -(pu)| ]+ z-(x,y,z,t) z-(x,y,z+Az,t)-}AxAyAzAtAz(a)(2)At时间段内，均衡体内所储存地下水质量的变化Am：当地下水为不稳定流动时，AmWO,这个增量Am将表现为均衡体内所储存的地下水质量的变化，即Am—pnAxAyAz|(x,y,z,t+At)-pnAxAyAz|(x,y,z,t) (b)(3)质量守恒在连续流动条件下，依据质量守恒定律，从均衡体外部流入水的质量等于均衡体内部水的质量变化量，即a、b两式相等：[(pu)| -(pu)1 ][(pu)| -(pu)| ]{ x—(一,y,z,f) x(一—Ax,y,z,f)^ ^_(",z,t) ^~(…+―,z,t)Ax Ay[(Pu)1 -(Pu)1 ]+ z-(x,y,z,t) z(x,y,ziaz,t)}AxAyAzAtAz=pnAxAyAz| -pnAxAyAz|(x,y,z,t+At) (x,y,z,t)方程两端除以At：[(pu)| -(pu)| ][(pu) -(pu) ]{ x-(x,y,z,t) x~~(x+Ax,y,z,t)+ y—(x，y,z,t) y-(x,y+A)：,z,t)Ax Ay[(pu)1 -(pu)1 ]+ z-(x,y,z,t) z-(x,y,z+Az,t)-}AxAyAzAzpnAxAyAz|(x,y,z,t+At)-pnAxAyAz|(x,y,z,t)

At并取Ax-0,Ay-0,Az-0和At-0，则有H(pu)a(pu)d(pu) 3/A…、一[ x—1 -1 「]AxAyAz=—(pnAxAyAz) 2-1-1axay& at式2-1-1即为渗流的连续性方程。它用数学的形式表达了渗流区内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律，又称为质量守恒方程。2.1.3小结连续性方程是研究地下水运动的基本方程。即使有时不直接采用式2-1-1,但建立有关关系式时，也必须应用能反映质量守恒原理的另一种形式的连续性方程来代替。包含vx、vy、vz和P、n、Az等变量的地下水活动连续性方程只是建立地下水运动基本微分方程的基础之一。为建立以水头H为因变量的地下水运动的基本微分方程，要引入渗流基本定律，将vx、vy、vz转化为以水头H为变量的关系式。至于要解决P、n、Az与水头或水压P的关系时，要涉及水和多孔介质的压缩性问题。2.2水及多孔介质的压缩方程地下水的压缩方程在等温条件下，水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有dp=-—dV (2-2-3)PV式中：p—水压；V一水的体积；P一水的体积弹性压缩(或膨胀系数)，为正值，单位为1/MPa,P的倒数为体积弹性模量E；E和P值随其温度而变化，但变化不大，一般可视为常数。因为：PV二m恒量其中：P—水的密度。所以：d(pV)=pd(V)+Vd(p)=0所以：dp=-pdV=pPdp(2-2-6)式2-2-6表征P与p的关系。对式2-2-3进行积分-pJpdP=P0V=Ve-伙p-p0)0IdV!v得：(2-2-4)同理可得：p=pe伙p-p0)(2-2-4')将2-2-4、4中的指数项用马克劳林公式展开P(P—P)上P2(P—P)2P3(P—P)3,]V=V11 0-H 0 0—H—I0 1! 2! 3!P(P—P),P2(P-PX P3(P—P)3,]p=p11H 0—H 0 1 0—H 10 1! 2! 3!当压强变化不大时， P(P-值陋小，上两式可近似取前两项，得到水的压缩状态方程:V=V0[1-P(P-P0)]p=p0[1+p(P-P0)](2-2-5)(2-2-5’)式2-2-5、5表征V与p、P与p的关系。多孔介质（岩土）的压缩方程假定多孔介质变形符合虎克定律，于是有/， 1dVdo= —ir （2-2-7）aVb式中：。’一作用在岩土骨架上的有效应力；Vb—岩土的体积；a一岩土的体积弹性模量（或膨胀系数）。依0=0'+夕，有d。'=-dp，将其代入2-3-7,得7 1dVdp=---b （2-2-8）aVb而dV=d（V+V）=dV+dV=dV所以，式2-3-8可转化为b sv sv v, 1dedp=--—— （2-2-9）a1+e式中：e=V/V，为岩土的空隙比（无因次）。ve2.2.3小结建立水和多孔介质的压缩状态方程的目的，是为了解决P、n、&三者与水头H或水压p的关系，为下一步建立地下水运动的基本微分方程奠定了基础。2.3承压水运动的基本微分方程前述建立的渗流连续方程、水与多孔介质的压缩方程、达西定律，为建立以水头为因变量的渗流基本微分方程作了必要的准备。2.3.1方程推导从渗流的连续性方程2-1-1为基础，推导承压水非稳定运动的基本微分方程。（1）式2-1-1的右端改写由于承压含水层的侧向受到限制，可假设N、△¥为常量，仅考虑垂直方向上的压缩。于是只有水的密度P、孔隙度n和单元体高度△%三个量随压力变化。Ax=常量

・•.式2-1-1的右端可改写为a 一(pnAxAyAz)=atAz AzAz Az-^=AzfVVVSAz•--是多孔介质均衡体中固体部分的厚度。1+e根据前述假定，固体颗粒部分不可压缩，即多孔介质单元体中的固体厚度不随时间变化。Az也就是说，虽然△%和e虽然随时间都可发生变化，但^一不发生变化。1+e这样，式2-1-1的右端可进一步改写为dtAz、AA串e)AxAy=3e

p \-eat3PAxAyAdt(2-3-1)把式2-2-6、9代入式2-3-1得a ah(2-3-2)—(pnAxAyAz)=AxAyAzPY(a+n0) (2-3-2)at at(2)式2-1-1的左端改写把式1-2-24u=—K 3Hxxxaxahyyayahzza代入式2-1-1左端得a(pu)a(pu)a(pu)——x-+ +axAxAyAz

=1(pK

SxI(2-3-3)xxxxSx)Spv=1(pK

SxI(2-3-3)xxxxSx)Spv SH—K Sx xxSxxxSx)由于一般条件下Spv SH—K Sx xxSxS(<<p—KxxSx)同理]xxSx)xxSx)yySypSyKzzSz)蓝｝

yyoy)¥1

zzSz)(2-3-4-1)(2-3-4-2)(2-3-4-3)把式2-3-4代式2-3-3中S(pu)S(pu)S(pu)

+ +K吗xxSK吗xxSx)IyySy)IzzSz)AxAyAz(3)式2-1-1的改写把上式和式2-3-2S SH一(pnAxAyAz)-AxAyAzPY(a+nP)_St St代入式2-1-1S(S(pu)S(pu)S(pu)SxSzS/_，，，、]AxAyAz--(pnAxAyAz)St黑1xxSx)+A|K

SyI豹yySy);S(K+ IKSzI豹zzSz)cSH-AxAyAzpy(a+np)_

St上式两端同除以P^x4y^z,得SH)S”一+—KSyIyySy)+ekIzzSz)SH-Y(a+np)St而从=y（a+nP），则式2-3-5可表示为sah\a

+ah\a

+axJdyyyah)a—十—dyJaz'KIzz(2-3-7)式2-3-7是各向异性承压含水层中地下水三维不稳定流的基本微分方程。它表示在达西流条件下，单位体积、单位时间的水均衡关系。2.3.2us的物理意义为了讨论水头降低时含水层释出水的特征，我们取单位体积的含水层（面积为1m2、厚度为1m），考察当水头下降△HHm时释放水量。此时有效应力增加了 A0'=丫凶=71 1dV由式2-2-8dp=b可知，相应的含水层的体积变化aV-dV=a.V-dp=a-1-y=ay 2-3-8可见，7a的物理意义是:当水头下降一个单位时，由于空隙介质受压缩（厚度变薄,空隙率变小），从单位体积空隙介质中所释放出的水量.同时，水压变化ap=-yAH=-71dV由式2-2-3p=--v可知，相应的水的体积变化dV=--•V・dp=--•n・（-7）=n-7可见，n-7表示单位空隙介质体积中，当水头下降一个单位时，由于水的膨胀释放出来的水量（体积）.2-3-9那么二者之和为2-3-9-dVb+dV=ay+n-7=7(a+n-)综上所述，us表示：当水头下降一个单位时，从单位体积空隙介质中释放的水量（体积），其量纲为L-i。S2.3.3讨论对于解析方法求解式2-3-7,是非常难以求解的，因而往往引入均质含水层的条件，并忽略含水介质在压缩过程所引起介质渗透性的变化，于是式2-3-7可写为a2h^ a2h a a2h ah(2-3-10)K +K +K =|i——(2-3-10)xxax2 yyay2 zzaz2 sat

对于水平方向渗透系数为各向同性，而垂向与水平向间为各向异性，KXX=Kyy'K那么式2-3-10可改写为KrrKrr（2-3-11）对于轴对称流动问题，采用柱坐标系更方便，式2-3-11可改写为Krr+K aHKrr+K aH—hzzaz2（2-3-12）对于等厚度的承压含水层，若属于平面二维流，则a2hKzz右二0那么，式2-3-10可改写为那么，式2-3-10可改写为aa2h2a2hK +K — hxx aX yy ay（2-3-13）若记T=KM，若记T=KM，T=KM和H=HMyyyy那么式2-3-13可改写为TXX+TXX+Tyy（2-3-16）同样

方程或记VTa—同样

方程或记VTa——ue 1 -ar2rar）（2-3-17）（2-3-18）由式2-3-12可得极坐标系下均质、等厚、各向同性承压含水层轴对称流的基本微分（2-3-19） ah如果我们研究的是稳定流，即2-―0则U：at 1 1

ar2rar考虑源汇项：由式2-3-12可得柱坐标系下均质、水平与垂向各向异性、轴对称流的基本微分方程Krr+Krr+K 巴H+£-hrraz2 s（2-3-21）由式2-3-13可得直角坐标系下均质、等厚、各向异性平面二维流的基本微分方程0a2h 2a2h ahK +K +e=h——%%a%2 yyay2 sat

(2-3-22)T32(2-3-22)T32H+T-2H+W=h•3x2 yy3y2(2-3-23)由式2-3-17可得柱坐标系下的均质、等厚、各向同性承压含水层轴对称流的基本微分方程(2-3-24)若x、y、z轴与各向异性主方向不一致，则方程2-3-7改为33.xC 333.xC 3H 0 3H 3H 3H)K——+K——+K——

、xx3x xy3y xz3z)3y0 3H 3^ 3H)+K——+K——yy3y yz3z)0 3H 3^ 3H)(2-3-25)+K——+K——(2-3-25)zy3y zz3z/2.4潜水运动的基本微分方程潜水之上的包气带不仅与潜水之间存在垂直交换，而且参与水平流动。而对于流动的潜水，潜水面不是水平的，因此，等水头面不是铅直面（图2-4-1），潜水流属于三维流或剖面二维流。这使得潜水的流动问题复杂化，以至严格求解变得十分困难。港水面AH图2-4-1潜水流中的水头分布图港水面AH图2-4-1潜水流中的水头分布图Dupuit假定对于潜水面上无垂直补给、排泄的剖面二维稳定流（图2-4-1）,潜水面是流面，因此潜水面上任意一点的渗流速度3Hu=-K =一Ksin0x 3s

由于坡角。很小，裘布依建议期 来俏郴。这个代替意味着：相当于假设潜水面比较平缓，等势面是铅直的，水流基本平行，忽略了渗透流速的垂直分量，即H(x,y,z,t)可近似代替H(x,y,t)。这样一来,在铅直剖面上各点的水头就变成相等的了。因此,同一铅直剖面上各点的水力坡度和渗透系数都是相等的。这称为Dupuit假定。此时，渗流被视为基本上是水平的，于是/H2-4-1u=—K 2-4-1x dx对于剖面二维流问题，单宽流q=u(q=u(H-W)x1=-K(H-g)d.x隔水底板水平，基准面取在隔水底板处，则2-4-2q=-Kh数x ax2-4-2Dupuit假定是当无垂向补排的稳定流条件且当潜水面坡度很小时的条件下提出的。当潜水存在垂向补排或潜水呈不稳定流时，即使潜水面坡度很小，能否引出Dupuit假定而将等水头面近似视为铅垂面？则要视条件具体分析。图2-4-2潜水剖面二维流均衡要素图图2-4-2潜水剖面二维流均衡要素图2.4.2Boussinesq微分方程(1)假定条件*研究的潜水面满足裘布依假定；*水和土骨架不可压缩；*潜水层隔水底板水平；*潜水面上存在水量的垂向交换。(w—潜水面处单位水平面积、单位时间内的入渗量，L/m。蒸发为负，入渗为正。)(2)剖面二维流Boussinesq方程的建立

根据图2-4-2,从质量守恒定律出发建立Boussinesq方程。研究对象:均衡体x和x+^x之间的宽度为1个单位的含水层柱体(图2-4-2)。①^x时段内，外部流入均衡体的水量x的断面流入量为q(t)At；x+^x的断面流入量为q(at)At；顶面的补给量为W^x^t。那么，At时段内，外部流入均衡体的水量为:av=qat—q AtWWAAt②Ax时段内，均衡体内部的水量变化量AV'=(h\ —h\)-Ax-1-r(x,t+At) (x,t) d③根究质量守恒，建立方程根据质量守恒定律，AV'=AV,即qAt—q| AtWW,AxAt=(h| 一h|)-Ax-1-p方程两端同除以AxAt,得q —q (hi —h|)-r(xt) (xwAxt).+W=—―(x,twAt) (x,t) d_x At令Ax-0,At-0,则得均衡体的水均衡方程0h依据假定条件,并引用式0h依据假定条件,并引用式2-4-2"-Kh疝，则式2-4-3可改写为2-4-3式2-4-3即为布西涅斯克方程。由于该方程在推导中引入了Dupuit假定，使得剖面二维流问题得以降阶，用水平一维流动来近似刻画；而且潜水流复杂的上边界入渗问题可以用W直接在微分方程中表示，从而大大简化了它的求解.⑶剖面二维流Boussinesq方程的线性化Boussinesq方程是非线性的，一般情况下它的求解十分困难，因此常采用近似方法使其线性化。第一种方法将上述方程左端第一项括号中的h用平均值h代替并视作常量，则式2-4-3m可改写为2-4-41 1第二种线性化方法是，在方程两端均乘以h,并令中=2h2。把式中=-h2代入式2-4-3，再以平均值h代替方程左段端的h,即m

(4)三维流的Boussinesq方程+—Kh——+(4)三维流的Boussinesq方程+—Kh——+W=dy相应第一种和第二种线性化后的方程“ah'aa“5"TT,Kh+ht—K—+W=Hmay[aa(加,+h———I+Wh=Hmay(ayahdatap2-4-62-4-72-4-82-4-9(5)Boussinesq方程的不同形式对于均质含水层，且无垂向入渗补给和蒸发排泄的情况，式2-4-9可变为Kh—ax(axdyKh—ax(axdy)ap—h—

dat对于潜水含水层也可引入T—KhmKh

a———H

d那么式2-4-10可改写为ap

at2-4-102-4-112-4-122-4-13对于轴对称潜水流问题，宜采用极坐标系系，于是式2-4-10、13可改写为Khm'a2PaKhm'a2Pa(嬴ap—h—

dat+rapI-ap2-4-142-4-15(6)潜水运动的一般形式的偏微分方程推导Boussinesq方程时，我们采用了Dupuit假设，忽略了弹性存储项，取的小土体又是一个包括整个含水层厚度的在内的土柱，与推导承压水非稳定运动方程时取的无限小的均衡单元体不同。因此，应用Boussinesq方程得到的H(x,y,t)只代表该点整个含水层厚度上的平均水头的近似值，不能用它计算同一垂直剖面上不同点的水头变化。对于某些无压渗流问题是不适用的，应采用不用Dupuit假设的一般形式的方程：

a+ Iya+ IyKIyy+ekIzzaz)对无压渗流来说，它的弹性释水与潜水面的下降而疏干的水量相比是微不足道的，因此认为u=0。2.5地下水运动微分方程的定解条件2.5.1概述渗流的基本微分方程是根据地下水质量守恒原理和渗流基本定律而得。显然，仅仅根据基本微分方程是不能刻画某地区地下水流动特殊规律的，还必须补充补充研究区的范围、外部环境（研究区以外）对研究区地下水流动的影响——边界条件；对于地下水不稳定流动稳定问题，还涉及研究区地下水的初始状态——初始条件。2.5.2边界条件概述边界条件是刻画渗流研究区0边界上的水力特征，或者说是刻画研究区以外对研究区边界的水力作用。如果渗流研究区包含整个地下水系统，那么边界条件表达的正是地下水系统以外在边界上的作用于地下水的关系。对于具体问题的研究，研究范围的确定是个十分复杂和重要的问题。给定水头边界条件（第一类边界）边界上水头动态变化已知的称为第一类边界条件。对于二维和三维流可分别表示为：H=H（x,y,t） （x,y）gBbi 1 1H=H（x,y,z,t） （x,y,z）gBbi 1 1其中：B1是研究区0上的第一类边界；H^B1上的已知水头函数。对于稳定流问题，H1与t无关。这类边界最常见的是渗流区与地表水体（如河、湖、海等）的分界线（面），斗就取地表水体的水位。其它，如定降深抽水井（放水井）的井壁，实际上可视为地下水与井水的分界面，往往取井水位为其第一类边界条件。另外，解析发法中，常常假定含水层水平方向无限延伸，这时取无限远处的水头保持不变，这也是第一类边界条件。当边界上水头不随时间改变时，称为定水头边界。给定流量边界条件（第二类边界）边界单宽流量q（平面二维流问题），或渗流速度v（三维流和剖面二维流问题）已知者

称为第二类边界条件。对于平面二维和三维流（或剖面二维流）可分别表示为(x,J)eBSHSHK Sn(X,J,z)eB2其中：B2是研究区0上的第二类边界；H、n分别是水头和边界的外法线方向;SH而是水力坡度在边界法线方向上的分量;q、v分别是流入研究区的单宽流量和渗流速度，流入时取正值，当q=0或v=0时，称为隔水边界混合边界条件（第三类边界）若某段边界B上H和里的线性组合已知，即3SnSH——+aH=pSn式中a和0为上述边界的已知函数，这种类型的边界条件称为第三类边界条件或混合边界条件。2.5.3初始条件描述所研究问题初始时刻（t=0）研究区0内各点的水头分布情况，称为初始条件。H（x,j,z,t）|=H（x,j,z） （x，J，z）eD工0 0或H（x,j,z）=H（x,j,z） （x，J，z）eDt=0 0计算中的初始时刻可以任意取定，只要那个时刻的水头分布已知。这个时刻如何选取，主要视待解决的问题而定，同时考虑资料的占有情况和计算方便等因素。例如研究抽水试验的动态可取开泵时为初始时刻，开泵前，渗流场水头分布即为初始条件。2.6地下水运动微分方程的数学模型及其解法数学模型有两类，即随机模型和确定性模型。如果数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型称为随机模型；如果数学模型中各变量之间有严格确定的关系，则称为确定性模型。本书主要讨论确定性模型。

2.6.1解析法利用数学分析方法求解数学问题可以得到一个利用连续函数表达其解的方法。这个函数表达式——解析解或精确解反映了含水层参数及边界条件等对水头的时空分布的影响。因此，可以直接或通过数学分析方法来揭示各因素与水头H的时空分布的内在联系。解析解的主要优点：解析解是个连续函数就是说其解可以给出任何空间点和时间点的水头值，因而可以通过数学分析方法给定任意时空点的水力坡度J、渗流速度v和任意断面的流量Q等运动要素；而且解析解是精确的。解析解的主要缺点：有很大的局限性，能够求解的问题一般都比较简单，只适用于含水层几何形状规则、方程简单、边界条件单一的情况；而对于复杂的问题一般找不到它的解析解，不得不应用别的方法去求解它的近似解。2.6.2数值法数值法与解析法不同，其解不是一个连续的函数，而是按要求事先设计好的时空分布离散点上的数值解。这些数值解不能直接给出含水层参数边界条件等对水头分布的时空分布的函数关系，只能从数值分布特征去寻找规律。另外，数值解本身是一个近似解。然而数值法的最大优点在于，不受水文地质条件的限制，可用于自然界各种复杂的条件。一般来讲，只要地下水运动机理清楚了的问题，都可用数值法求解。数值解法的运算量一般很大，因而需要借助电子计算机来实现。2.6.3物理模拟法由于已知控制地下水运动的基本微分方程是抛物线或椭圆方程，这一数学物理方程在其他物理现象中也出现过。因此，如果研究对象的几何形状、参数分布与边界条件是相似的，则可以采用一种物理现象来研究另一种物理对象，这就是物理模型。借助某种物理模型来研究渗流的方法称为物理模拟方法。本章小结1、渗流连续性方程a(pu)a(pua(pu)a(pu)-[ + ax ay+ z-]AxAyAz=一(pnAxAyAz)az at2、地下水的压缩方程—h多孔介质的压缩:V=V[1年(P—P)]牙K粤—h多孔介质的压缩:V=V[1年(P—P)]牙K粤W-P让］皿身xI小）mdati1de

dp= a1+e承压水运动的基本微分方程ah)a〃——+—K+—k单位弹性给水系数us当水头下降一个单位时，从单位体积空隙介质中释放的水量（体积），其量纲为L-。6、潜水运动的基本微分方程1）、Dupuit假定同一铅直剖面上各点的水力坡度和渗透系数都是相等的。q

x2）、Boussinesq微分方程一K里axahah=—Khax线性化后:dat二维:再以平均值h代替方程左端的h,即+W=日%

dat三维：再以平均值h代替方程左端的h，即:ahmafah)一K——+ah7、定解条件1）、定水头边界条件（第一类边界）二维：H|=H1（x,y,t） （x,y）eB^三维：H|=H1（x,y,z,t） （x,y,z）eB1B12）、定流量边界条件（第二类边界）_HH 、一二维：T为=q1（x,y,t） （X,y）eB2B2__dH _三维：K~n~=v2（X,y,z,t） （X,y,z）eB2B23）、混合边界条件（第三类边界）若某段边界B3上H和胃的线性组合已知，即3 cnah——+aH=pan式中a和0为上述边界的已知函数，这种类型的边界条件称为第三类边界条件或混合边界条件。4）、初始条件描述所研究问题初始时刻（t=0）研究区0内各点的水头分布情况，称为初始条件。H（x,y,z,t）=H（x,y,z） （x，y，z）eD't=o 0或H（x,y,z） =H（x,y,z） （x，y，z）eDt=0 08、地下水运动研究方法1）、解析法2）、数值法3）、物理模拟法第三章地下水向河渠的稳定运动本章概述：深入理解裘布依假定的实质；掌握运用达西定律和水流连续性原理推导流量方程和水头线方程的基本方法。掌握以下条件的流网特征、流量方程和水头线方程，并能灵活运用些解析公式解决实际计算问题：承压水向河渠的一维稳定运动，无入渗隔水底板水平时潜水向河渠的二维稳定运动，均匀稳定入渗条件下潜水向河渠二维稳定运动。掌握处理层状非均质问题的分段法和等效厚度法。重难介绍：掌握无入渗潜水含水层中隔水底板水平时地下水向河渠二维稳定运动；均匀稳定入渗的潜水向河渠二维稳定运动；灵活运用分段法和等效厚度法求解非均质问题。本章学时数：4学时（180分钟）教学内容:均质含水层中地下水向河渠的运动承压含水层中地下水向河渠一维稳定运动 -o o图3-1-1承压水一维稳定该水文地质概念模型特点：隔水顶底板水平，含水层等厚，渗流宽度B=常数。选取坐标和基准面，已知：H1,H2,B,M,K.求：Q=?水头分布。据达西公式：Q=KJA,因为Q,K,A均为常数；则J必常数，水头线为直线.j=HzHL、一.,,、 H—H流量公式Q=K———2BML因B=C，故定义单宽流量q[L2/T],m2/dq=Q=KM-2B L—H—HH—HJ=-1 2-=-1 L xH , H-H・•・水头线方程为H=H-HiH2xiL对于这类一维流问题，可直接应用达西公式求解。无入渗潜水含水层中地下水向河渠二维稳定运动条件：均质各向同性潜水含水层，无入渗、无蒸发，稳定流动，隔水底板水平。流场特征：水力坡度沿流向增大；属于剖面二维流动。流面和等水头面（或过水断面）均为曲面（3-1-2）。图3-1-2隔水底板水平的二维潜水运动图3-1-3中，H与H+AH两过水断面间的流线长度不等（AsrAsJ，故J2<J1O可见，同一过水断面上和同一铅垂面上水力坡度（J）都不同。这给解析解带来了困难。////////////////////////图3-1-3水力坡度沿过水断面的变化ah-引入裘布依假定：忽略垂向分流速（即令一六0），将铅垂面视为等水头面，把二维（x,z）az流问题降为一维流（X）处理。引进裘布依微分方程（2-4-2）q=-Khdhdx（3-1-9）式中 为断面的水力坡度，它沿流向是变量。对（3-1-9）式分离变量，由已知潜水位的断面1到已知潜水位的断面2定积分，得

J1―dx=-Jh2hdh

0KJ1―dx=-Jh2hdh

0K h1依条件K=C（常数），且无入渗、无蒸发，稳定流动，故各断面单宽流量相等q=C（常数），则—Jldx=-Jh2hdhK0(*)h1积分后得流量方程为K=2h2-h22)2-h2)d"S"q=K-a——21h+h=K——2h-h112(3-1-10)Jx—Jx—dx=-Jh2hdh0Kh1以（3-1-10）式q代入上式得到水头线方程为， ， xh=、:h;-(h;-h2)-(3-1-11)式中，只有h和x为变量。给定一个x值，就可得到一个相应的h值。该方程就是所讨论条件下的潜水含水层水头线或潜水面方程（也称浸润曲线）。潜水含水层水头线方程的特点：（1）是以z轴为对称轴的抛物线（上半支的一部分）。（2）与渗透系数K值的大小无关。

上述（3-1-10）式和（3-1-11）式是基于裘布依微分方程和水均衡原理直接通过定积分获得的解。也可以由布西涅斯克微分方程（2-4-3）及其定解条件构成的数学模型获得同样的解（参考教材）。3.1.3均匀稳定入渗的潜水向河渠二维稳定运动潜水含水层的渗入补给或蒸发排泄条通常用入渗强度刻画。入渗强度（W）是指单位水平面积、单位时间内入渗补给地下水的水量，量纲为［L3/L2/T］，即［L/T］。水文地质概念模型（图3-1-7）:两条水位不变的平行河渠完全地切割均质的潜水含水层，含水层隔水底板水平；入渗强度在空间上分布均匀，在时间上稳定，即W=C（常数）。取渗流宽度B=1的河间地块作为研究对象，概化为稳定入渗剖面二维稳定流。流网特征：因入渗补给，渗流区可能存在地下分水岭。通过分水岭作分流线，左侧排向河1,右侧l排向河2。从流线特征可知，它属出、z方向均有分流速的剖面二维流动。1.流量方程推导从流网图可以看出通过各铅垂断面的流量不等，q⑵手C可以用水均衡方法建立流量方程。取坐标系：河l边界为垂向h轴，向上为正；沿水平隔水底板为x轴，向右为正，规定向右的流量为正（与x轴向一致）；向左的流量为负。规定有入渗补给W>0；蒸发排泄W<0。首先，建立断面1至任意断面首先，建立断面1至任意断面x间的水均衡方程，图3-1-8所示。图3-1-8河间地段潜水流动剖面图若x断面取在地下分水岭的左侧（x<a,a是地下分水岭处的x坐标），则有这时，q1<0,q<0,即(3-1-22)-q1=-q+Wx(3-1-22)得q=q1+Wx若%断面取在地下分水岭的右侧(x>a)，则有这时，%<0和q>0,即若%断面取在地下分水岭的右侧(x>a)，则有这时，%<0和q>0,即q+q1|=卬%-q1+q=Wx同样可得(3-1-22)式。说明，只要按上述规定各均衡要素的正负号，不管%断面取在何处，均衡方程的形式都是(3-1-22)式。若引入裘布依假定(实际上,此条件下并非处处满足裘布依假定),即dhq=-Kh——d%代入(3-1-22)式,有-Khd%=4]+Wx所以得数学模型dh-Kh——=qdxh=hh=hx=l21+Wx左边界右边界分离变量后，由断面1至断面x求定积分，即，h1hdh=JxWxdx

oK1 q Wx2—(h2-h2)=—xx+ 2 iK K2(*)当x=l时，h=h2,则上式可改写为1(h2-h2)=ql+W.巴2i2kk2可得断面l的单宽流量方程q1h2-h2Wl=K 2-———21 2(3-1-23)将此式代入3-1-22)式，可得任意断面x的单宽流量方程h2-h2-h2=K 221-%Wx(3-1-24)若x=l，则q=q?。，将此关系代入上式得断面2的单宽流量方程W1+一W1+一2(3-1-25)2.河l断面流量(q1)方程讨论h2-h2(1)当W=0时，(3-1-23)式变成q=K1 2乙1/该式就是无入渗补给潜水剖面二维稳定流动的(3-1-10)式，此时河间地段无分水岭。当h1>h2时，q1>0，水向右侧河2流动；反之，当h<h2时,q1<0,水向左侧河l流动。(2)当W>0,且％=h2时，由(3-1-23)式得q=-Wl，即断面1的水向左侧流动；由(3-1-25)12 1 2式得q=w^，断面2的水向右侧流动。这说明河间地段存在分水岭，并处于地段的中心,22Wl向两侧河流的排泄量相等，各为补给量之半(亏)。h2-h2⑶当W>0且A户h,时，则(3-1-23)式右端的第一项K1 2>0.，此时存在三种情况：①TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2 21h2-h2W1当K1 2<—,q]<0,地下水向河l排泄，说明河间地段存在分水岭乙1/ 乙h2-h2W1②K1 2<时,q1=0,说明分水岭刚好在河l断面处；乙1/ 乙W (h2-h2)③当KW1>二一/时，地下水向由左向右流，河l补给地下水，即不存在分水岭。\o"CurrentDocument"2 21从流网图3-1-7可以看出，有入渗条件下不能处处满足裘布依假定。如在地下分水岭处铅垂面十分接近流面或者就是流面，当然就不可能将其假定为等水头面。另外，在地下水排入河流的河床壁面上，在河水位之上存在“出渗面”，这里的等水头面往往比较弯曲(这一点将在第四章加以分析)，也不能满足裘布依假定。研究表明，只有