导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

精选资料,欢迎下载精选资料,欢迎下载导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第色)步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：⑴limfX=0及limgx=0；在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)丰0；f'(X)TOC\o"1-5"\h\zliml,xagx那么lim-L=|im=|o—g(x)—g'(x)法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(D|imfx=0及limgx=0;xAC*‘(2)A>0,f(x)和g(x)在-：:,A与A,：：上可导，且g'(x)丰0;0比.T-i001-0②洛必达法则可处理一，，0宀，，“,，::-：：型。0◎在着手求极限以前，首先要检查是否满足-，-，0•::，1，：：0，0°，：：_：：型定式，0否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。◎若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f(x)=ex-1-x-ax2o⑴若a=0求f(x)的单调区间；(2)若当x_0时f(x)_0,求a的取值范围原解：(1)a=0时，f(x)=ex-1-x，f'(x)=ex-1.当(-::,0)时，f'(x)：：：0；当x(0八：：)时，f'(x)・0・故f%)在(一■-,0)单调减少，在(0「：)单调增加(II)f'(x)=ex-1-2ax由(I)知ex—「x，当且仅当x=0时等号成立•故那么lim»=lim_AloFg(x)FgAx)法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(l)limfx-::及limgx二::(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)丰0；f'(x)⑶liml，xagx那么limd=lim・=lo—g(x)Jg(x)利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之—，在解题中应注意：f'(x)_x_2ax=(1_2a)x，1从而当1-2a—0，即a时，f'(x)_0(x—0)，而f(0)=0，2于是当xAO时，f(x)K0.1xx由e1x(x=0)可得e-1-x(x=0).从而当a时，2①将上面公式中的Xia,Xis换成xT+&xt-a,X—aaX—洛必达法则也成立。故当x(0,ln2a)时，f'(x)::综合得a的取值范围为---0,而f(0)=0,于是当x(0,ln2a)时，f(x):1:0.精选资料，欢迎下载精选资料，欢迎下载lnx1(n)由。)知f(x)当x0时，f(x)_0等价于aEeX十1Inxf(x)-(■X，所以仁X2(2"xW))。x考虑函数h(x)=2lnx(一1)"2—+l(x0)，贝Qh(x)=J1HL2XXxXX2x2e0，x3原解在处理第(II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下:令gx二°—2则hx二Xex-1e(x>0),则g(x)1，hx二XgX，令hx二xe-2ex2x0由h'(x)二k(x1)-(x-1)X2知，当x=1时，h'(x)::0,h(X)递减。而h(1)=0另解：(II)当x=0时，f(x)=O,对任意实数a,均在f(x)_O；知hx在0,：；心[上为增函数，hxh0=0；知h(x)在(0,址)上为增函数,i；=0j；・gx0，g(x)在°,亠「」上为增函数。故当x(0,1)时，h(x)0,可得211h(x)0;-x1-x2当X(1,+：：)时，h(X)<0,可得一h(X)>0由洛必达法则知，lim°x「0xx「0x1Jim加lim号冷,x】02Xx】022x0x0从而当x>0,且x=1时，f(x)-(Inxk+—)x—1XInxk>0,即卩f(x)>+x—1X1故a■■2(ii)设Ovkvl.由于(k-1)X2•1)2(k-1)X2•2x•k-1的图像开口向下,且综上，知a的取值范围为i亠，1。22.(2011年全国新课标理)已知函数，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x，(i)求ab的值；2y-3=0。心=4—4(k—1)>0,对称轴x=>1-k11)时,1-k而h(1)=0,故当x(1,当宀(1,—狂)时，(k-1)(x+1)+2x>0,故h(x)>0,(n)如果当x0,且x胡时,f(x)•-lnXk，求k的取值范围。x—1X与题设矛盾。原解：(i)f'(x)二——Jx1——-Inx)b(x1)2x2由于直线x，2y-3=0的斜率为(1,1)f(1)=1,■-,且过点(1,1),故f'(1)」1即,2,>0,可得-h(x)<0,1-X2(iii)设k—1.此时x1—2x,(kj)(x1(1,+旳)时,h(x)>0,可得一一1)2x0=h(x)>0,而h(1)=0,故当1---x-2h(x)<0,与题设矛盾b=1,1—1解得a=1,b=1。综合得，k的取值范围为)-：：,0]原解在处理第)II)时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下:2xInx另解：(11)由题设可得，当x•0,x=1时，k<-1恒成立。21-x精选资料,欢迎下载精选资料,欢迎下载解：应用洛必达法则和导数2xInx令g(x)=1J(xOF则gx=2x2221InX-X21再令hx=x21Inx-x21(x0,x=1)，则hx=2lxnixxh“x=21nx•1-―,易知hx=21nx•1-丄在上为增函数，且xx故当x(0,1)时，hx：0，当x(1,+：：)时，hx0；ixsinx当xroj时，原不等式等价于、x—sinx3sinx—xcosx—2x、记f(x)，则f'(x)二x3记g(x)=3sinx-xcosx-2x,贝Ug'(x)=2cosxxsinx-2.因为g"(x)=xcosx-sinx=cosx(x—tanx),・hx在°订上为减函数，在1,=上为增函数；故hx>h1=o.hx在0,•::上为增函数Lh1=0g"'(x)--xsinx：：：0,所以g"(x)在(0,)上单调递减，且所以g'(x)在(0,—)上单调递减’且g'(x)2：g"(x)：：0•因此g(x)在(0-)上单调递减,2当x(0,1)时，hx::0，当x当x(0,1)时，gx::0，当x(1，+：：)时，hx］、0(1，+：：)时，gx0且g(x):::0,故f'(x)二业因此f(x)=T在(0,-)上单调递减.gx在0,1上为减函数，在1,：；心］;上为增函数9：：：0,x由洛必达法则有x—sinx1-cosxsinxcosx=lim=lim>3x>26x>x>0x>0x>0xlnx1+lnxi1i由洛必达法则知limg(x)=2lim匚厂仁可回二2厂十仁2\二卜仁0即当x>0时-’即有f(x)66二k兰0,即k的取值范围为(-旳，0］规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是一种值得借鉴的方,,1故时，不等式Si