偏微分课程课件4-双曲型方程的差分方法(I)

1第三章双曲型方程定解问题

的有限差分法3.1一阶线性常系数双曲型方程3.2一阶线性常系数双曲型方程组3.3变系数双曲型方程及方程组1第三章双曲型方程定解问题

2u定义在xt平面上的一个区域内.(一)一阶线性常系数双曲型方程下面考察方程解u在定义域内直线x=at+C上的变化规律.解u在直线x=at+C上的解等于常数.2u定义在xt平面上的一个区域内.(一)一阶线性常3解u在直线x=at+C上的等于常数任意在xt平面上方程定义域内取点在此点做特征线x=at+C,那么特征线与t=0交于点--------特征线由点任意性,可知解u在直线x=at+C上的解等于常数.3解u在直线x=at+C上的等于常数任意在xt平面上方程定义4对于定解问题方程的解为见10页4对于定解问题方程的解为见10页51.迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替。51.迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代667条件稳定条件满足

7条件稳定条件满足

8条件稳定8条件稳定9绝对不稳定课堂练习证明：9绝对不稳定课堂练习证明：差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。10差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。1011迎风格式统一形式11迎风格式统一形式122Lax-Friedrichs格式122Lax-Friedrichs格式13绝对不稳定Lax-Friedrichs格式13绝对不稳定Lax-Friedrichs格式14则稳定14则稳定15Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。15Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，163.Lax-Wendroff格式（2阶精度）163.Lax-Wendroff格式（2阶精度）171718左偏心格式P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域4.Courant-Friedrichs-Lewy条件（C.F.L.条件）18左偏心格式P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖19P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域点微分方程解依赖区域差分方程的依赖区域端点构成的区间DC内,否则没有关系。即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域。

C.F.L.条件,应在19P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域20不收敛20不收敛21微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式C.F.L.条件21微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式22Lax-Wendroff格式的C.F.L条件22Lax-Wendroff格式的C.F.L条件23C.F.L.条件差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域C.F.L.条件是格式收敛的必要条件.23C.F.L.条件差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域242425不稳定，C.F.L.条件下不收敛（非充分条件）C.F.L.条件仍为25不稳定，C.F.L.条件下不收敛（非充分条件）C.F.L课堂练习1.试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的C.F.L.条件。右偏心格式C.F.L.条件课堂练习1.试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中27左偏心格式C.F.L.条件不收敛27左偏心格式C.F.L.条件不收敛285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式（两点式），285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式（两点式），292930设B,C,D处的值已知，下面来确定点P处的值u(P)30设B,C,D处的值已知，下面来确定点P处的值u(P)1.由B、C线性插值求u(Q):2.由B、D线性插值求u(Q):3.由B、C、D二次插值求u(Q):过P做特征线Lax-Wendroff格式4.由A、B、C二次插值求u(Q):Beam-Warming格式Lax-Fridriches格式1.由B、C线性插值求u(Q):过P做特征线Lax-Wend32B，C点插值32B，C点插值33B，D点插值33B，D点插值34B，C,D点插值34B，C,D点插值35Lax-Wendroff格式35Lax-Wendroff格式36A,B,C三点做抛物插值，可得Q点函数值，即Beam-Warming格式（二阶迎风格式，1976）稳定性条件：时间步长限制较宽36A,B,C三点做抛物插值，可得Q点函数值，即Beam-W376.蛙跳格式376.蛙跳格式383839详见p5339详见p534040一阶双曲方程一阶双曲方程偏微分课程课件4_双曲型方程的差分方法(I)在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，以上两种二阶格式通常会观察到由色散现象引起的数值震荡。在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，44一个好的数值方法不仅应该在真解充分光滑的区域有效的逼近真解，而且应该尽可能精确的捕捉和跟踪间断。高阶格式一般有较大的色散（相位误差）因此会在解间断附近产生数值震荡；低阶格式则有较大的耗散（振幅衰减）；两者对间断解得逼近精度都不高。解光滑处尽量使用高阶格式（保证差分格式在解光滑处有较高的局部截断误差）；解间断的地方尽量使用低阶迎风格式，以保证差分格式在解的间断有足够的数值黏性，从而避免在间断处产生过度的数值震荡；如何切换或结合高阶和低阶格式以保证格式整体的实际逼近精度和稳定性绝不是一件简单的工作。44一个好的数值方法不仅应该在真解充分光滑的区域解光滑处尽量45作业P802.直接证明求解的Lax-Wendroff格式是二阶精度的格式。45作业P80465.考虑初值问题试用迎风格式,LF格式，LW格式计算上述问题，取计算到t=0.5,1.465.考虑初值问题试用迎风格式,LF格式，LW格式计算上述47第三章双曲型方程定解问题

的有限差分法3.1一阶线性常系数双曲型方程3.2一阶线性常系数双曲型方程组3.3变系数双曲型方程及方程组1第三章双曲型方程定解问题

48u定义在xt平面上的一个区域内.(一)一阶线性常系数双曲型方程下面考察方程解u在定义域内直线x=at+C上的变化规律.解u在直线x=at+C上的解等于常数.2u定义在xt平面上的一个区域内.(一)一阶线性常49解u在直线x=at+C上的等于常数任意在xt平面上方程定义域内取点在此点做特征线x=at+C,那么特征线与t=0交于点--------特征线由点任意性,可知解u在直线x=at+C上的解等于常数.3解u在直线x=at+C上的等于常数任意在xt平面上方程定义50对于定解问题方程的解为见10页4对于定解问题方程的解为见10页511.迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替。51.迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代52653条件稳定条件满足

7条件稳定条件满足

54条件稳定8条件稳定55绝对不稳定课堂练习证明：9绝对不稳定课堂练习证明：差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。56差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。1057迎风格式统一形式11迎风格式统一形式582Lax-Friedrichs格式122Lax-Friedrichs格式59绝对不稳定Lax-Friedrichs格式13绝对不稳定Lax-Friedrichs格式60则稳定14则稳定61Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。15Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，623.Lax-Wendroff格式（2阶精度）163.Lax-Wendroff格式（2阶精度）631764左偏心格式P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域4.Courant-Friedrichs-Lewy条件（C.F.L.条件）18左偏心格式P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖65P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域点微分方程解依赖区域差分方程的依赖区域端点构成的区间DC内,否则没有关系。即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域。

C.F.L.条件,应在19P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域66不收敛20不收敛67微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式C.F.L.条件21微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式68Lax-Wendroff格式的C.F.L条件22Lax-Wendroff格式的C.F.L条件69C.F.L.条件差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域C.F.L.条件是格式收敛的必要条件.23C.F.L.条件差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域702471不稳定，C.F.L.条件下不收敛（非充分条件）C.F.L.条件仍为25不稳定，C.F.L.条件下不收敛（非充分条件）C.F.L课堂练习1.试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的C.F.L.条件。右偏心格式C.F.L.条件课堂练习1.试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中73左偏心格式C.F.L.条件不收敛27左偏心格式C.F.L.条件不收敛745.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式（两点式），285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式（两点式），752976设B,C,D处的值已知，下面来确定点P处的值u(P)30设B,C,D处的值已知，下面来确定点P处的值u(P)1.由B、C线性插值求u(Q):2.由B、D线性插值求u(Q):3.由B、C、D二次插值求u(Q):过P做特征线Lax-Wendroff格式4.由A、B、C二次插值求u(Q):Beam-Warming格式Lax-Fridriches格式1.由B、C线性插值求u(Q):过P做特征线Lax-Wend78B，C点插值32B，C点插值79B，D点插值33B，D点插值80B，C,D点插值34B，C,D点插值81Lax-Wendroff格式35Lax-Wendroff格式82A,B,C三点做抛物插值，可得Q点函数值，即Beam-Warming格式（二阶迎风格式，1976）稳定性条件：时间步长限制较宽36A,B,C三点做抛物插值，可得Q点函数值，即Beam-W836.蛙跳格式376.蛙跳格式843885详见p5339详见p538640一阶双曲方程一阶双曲方程偏微分课程课件4_双曲型方程的差分方法(I)在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，以上两种二阶格式通常会观察到由色散现象引起的数值震荡。在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，90一个好的数值方法不仅应该在真解充分光滑的区域有效的逼近真解，而且应该尽可能精确的捕捉和跟踪间断。高阶格式一般有较大的色散（相位误差）因此会在解间断附近产生数值震荡；低阶格式则有较大的耗散（振幅衰减）；两者对间断解得逼近精度都不高。解光滑处尽量使用高阶格式（保证差分格式在解光滑处有较高的局部截断误差）；解