数学知识点及答题技巧-1第一讲函数文科

第一节初等函Q号码3224240数列，不等式，方程，导数，解析几何和几何等，是高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等数经过算或复组成是基.一地,在高试题数知识是以初函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分.0.5～.8之间.考试要求：①了解概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和yaxylogax互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概1y2sin3x1sin2xsinx1 点拔函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令tsinx,t[1,1y2t31t2t1 y2t31t2t1t[1,1 解令tsinx,t[1,1,则yf(t2t31t2t1y2t2t12t1)(t1 y0,得t1或t1y0,，得1t1 t212(12100y值t

1f(21111 f(121111f(121115y[311].

易错点①令tsinx,t[1,1，忽略了t[1,13sin1：y

sinx

的值域 2f(x)x，yf(xyf(xfyx0f(x)0，f(1)2f(x)在[2，1点拔f(xf(x)2x，由此猜想抽象函数f(x在2,1是递增函数，再用定义证明递增.：设x1x2x1，x2R，则x2x10x0,f(x)0f(x1)f(x2f(2),f(1的值就解x1x2x1，x2Rx2x10，x0fx)f(x2f[(x2x1x1f(x为增函数，xy0f(00x1y1得出f(1f(12令xy 得f(2)2f(1) f(x)在[2，1]上的值域为易错点x0f(x02：y=f(xRxyf(xy)

f(xfy)x1f(x)0

f(3)9

的值;（2）f(x)在R3f(xx2a(x0aRx点拔利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则f(xf(xf(xf(x)（f(xf(x)

ff

1）f(xf(xf（f(xf(x)

ff

1）f(xf(x)

f(xf(x)f(x的时候，可以考虑验证特殊值.解当a0时，f(x)x2为偶函数；a0f(11a,f(11

a0,1a1a,f(x)

fa0,(1a)1a,f(x)f(x)

f易错点①用定义判断奇偶性时，容易漏掉a0a0f(xf(x3：设af(xx2|xa|1(xR)f(x的奇偶性.题型四函数思想的应用4关于xx2|x|a10有四个不同的解，求a点拔1元二次方程：x2xa10(x0)x2xa10(x0).原方程有四个不同的解，等价于x2xa10(x02x2xa10(x022：x的一元二次方程，则令t

xt0，则原问题等价于t2ta103x2|x|a1yx2|x|y1x2|x|1ax2|x|1解

x2|x|a10x2xa10(x02x2xa10(x02

14(a1)x2xa10(x02x

0a

1a xx a11 14(a1)x2xa10(x02xx0a

1a xx a11 5综上所述：1a 542令txt0则原问题等价于t2ta102 14(a1)5t0a5

1a tt12tt

a1yxx2a2yx2|x|yxx2a2yx2|x|yxy4aO5a5

,解得1a 4易错点②t③

x易忽略t0

x

图11 ,（2011 ,

xf(x)=k 本节主要考查①初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问点评（1）基本方法：①熟练掌握基本初等函数的性质和图像；②初等函数利用变量代换转化为基本初等函数；③求出中间变量的范围.①分式分母不为0；②偶次的被开放数不能小于0；③对数函数的真数大于0,底数大于0且不等于gx的值域是外函数fx的定义域否是否是f(x f(x)ff(xf(xf(x习题1—4x函数f 的图象 B．关于直线y＝x对 C．关于x轴对 D．关于y轴对mx2(m3)x已知函数f(x) mx2(m3)x2x已知定义域为R的函数f 是奇函数，求a,b的值2x1定义在R上的函数yf(x)f(ab)f(a)f(b)

f(00

x0

f(x1且对任意abR：f(0)=1（2）f(x1x)22ln(1x)xf(xx2xa在区间[02上有两个根，求实数视.导数在历来高一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.5～0.8之间.2231f(xsinx33

x2tan,其中[05f(1

，求点拨x和f(xx，f(xf解∵f(xsinx2

3cos sin()

，又 ], [ ],∴

3

易错点f(x②容易忽略1：f(xsinx33cosx2tan 2f(x)x33bx2cxd在(0上是增函数，在(02f(x)0的一个根为b.（Ⅰ）求c的值（Ⅱ）求证f(x)0还有不同于b的实根x1x2，且x1、bx2成等（Ⅲ）f(x的极大值小于16f(1的取值范围.点拨第（Ⅰ）x0，即可解出c的值；第（Ⅱ）x1,bx2成x1x22bf(x因式分解，再借助定理推出x1、bx2三者的关系；用函数的思想分析第（Ⅲ）f(1看作是关于bg(b)g(b解（Ⅰ）f(x)3x26bxcx0f(0（Ⅱ）f(x0x0或2bf(x的单调性知2b

c0b1bf(x的一个根，则(b)33b(b)2d

d2b3f(x)x33bx22b3(xb)(x22bx2b2)x22bx2b20的根的判别式4b24(2b212b20又(b)22b(b2b23b20，即bx22bx2b20f(x)0有不同于b的根x1、x2 x1x22b，x1、b、x2成等差数列（Ⅲ）x0f(0)

2b3

b2，于是2bg(bf(12b33b1,求导g(b6b232b1时g(b0g(b在(21上单调递减,g(1g(bg(2即0f(111易错 x22bx2b20（Ⅲ）f(12：fxsinxcosxx

0x2，求fx的单调区间与极值.题型三导数与不等式3f(x1x3x2axbP(0,f(03y3x2(Ⅰ)求实数abg(x)

f(x)

x1

是[2,上的增函数.求实数m点拔出a,b的值；②利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上于(小于)零”转化为不等式解f(x)x22xa及题设得f(0)

a即f(0) g(x)1x3x23x23

x1

g(x)x22x3

(xg(x是[2,g(x)0在[2,x22x3

(x

02]上恒成立,设(x1)2tmx[2，t[1,即不等式t2tm

m0yt2tm＞0yt2t

0在[1,0，t[1,)y1m＞0，yt2m在[1,

3t∵ymin

∴3m

m

又m0,故0m3m易错点有些g(x)

f(x)

x1

是[2,上的增函数g(x)0的解为[2,)3：f(xax33x1(xRx1,1f(x0成立，求实数4已知函数f(xx3ax2bxcy

f(x)的图像上存在点P，使P点处的切x轴平行，求实数a,b的关系f(xx1x3x3c的点拨本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第(Ⅰ)问中“点P的存在性问题”转化为“方程f(x)0x3f(x解

f(x)3x22axb设切点为P(xy y

f(xP处的切线的斜率k

f(x)3x22axb 由题意，知f(x3x22axb

4a212b≥

即a23bx1x3f(x)3x22axb0 ∴13 ，13 ，∴a3，b9 ∴f(x3(x1)(x3，∴f(xx1x3f(1)yf(xx3

f(3)f(x

3

9xc，

139c272727c

解得5c27易错点x轴（x轴的直线）的交点问题难以从整体把握，难以找到几4f(x|x1|+|ax1|f(1)f(1，且aR（aR,且a0g(xax3bx2cx（bR，c为正整数）A、BO在同一直线上.a，b（2）x0g(xf(x图像的下方，求正整数cff(x=0f(xf①求f(x)在a,b的最值的方求求f(a),f(b),f(x1),f(x2 的f(xf(x列f(x1,x2ff

yf(x)在点x0y0k

f(x0

yy0

f(x0)(xx0

习题1—已知f(x)x23xf(2),则f(2) 曲线y2exx31在点（0，1）处的切线方程 f(xax3bx2cxda＞0)，3fx9x0当a3y

f(xf(xf(x在(无极值点，求a已知函数f(xx33ax29a2xa3设a1f(x4f(x1x3ax2bxc，其中a0yf(xP(0,f(0y 确定bc的值yf(x在点(x1,f(x1及(x2,f(x2处的切线都过点(0,2x1x2f(x1)f(x2)若过点(0,2yf(x的三条不同切线，求a第三节函数的单调性、最值和极（最）值往往是以某个初等函数为载体出0.3～0.6题型一已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值.例1 设函数f(x)6x33(a2)x22ax.f(xx1x2x1x21，求实数a是否存在实数af(x是(上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.点拨因为是三次函数，所以只要①利用“极值点f(x)0的根”，转化为一元二次方程根的问题；f(x在(上单调f(x＞0（＜0x f(x)18x26(a2)x（1）f(x)f(x)0xx2a1,所以a9 1 由36(a2)24182a36(a24)0，得f(x)0总有两个不等的实根，f(x)不零，所以不存在实数af(xR易错点x1,x2f(x②含参变量af(x在(f(x0(01：(2011年高考江西卷理)f(xxx f(x在）上存在单调递增区间，求a当af(x在[上的最小值为f(x2已知函数f(x)x31a)x2a(a2)xb(a，bR)．f(x的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3a，b（1）

f(x)0f(x)3x22(1a)xa(a2f(x在原点处的切线斜率是3则a(a23，所以a3，或a1（2）f(x0x

a f(x在(1,1 1a1，1a2

或 1a1，5a或 或即 a 或a

a

解得 3

a

a

a

所以a的取值范围是5，11 2 法二：f(x)3x22(1a)xa(a2,fx)0必有一根在(-1,1)上f1f10,即(54aa21a20,解得5af1)=0，则a1a1,f(10（舍去，当a1时，经检验符合题意；fx)0有两个不同的根在(-1,1)f'(-1) 故

解得：1a 或 a 所以，a的取值范围5，11 2 易错点：f(x)0出错；②第（2）问的解法一，不易分析.；③第（2）问的解法二，分类讨2：将（2）中改为“f(x在区间（1，1）上有两个极值点”，或改为“f(x在区间（1，1）上没有极值点”，如何求a的取值范围？题型三函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题例 设函数f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1为f(x)的极值点求a和bf(xg(x)2x3x2f(xg(x3点拔此题是由指数函数与多项式函数等组合的函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数f(xg(xF(x)f(xg(xF(xF(x0解（1）因为f(xex1(2xx23ax22bxxex1(x2x(3ax2bx2x1f(xf(2f(106a2b 因此33a2b0解方程组得a ，b （2）因为a1b1f(x)x(x2)(ex11)3f(x0x12x20x31(01)（3）由（1）f(x)x2ex11x3x2F(x)f(xg(x)x2ex1x3x2ex1x)3h(x)ex1x，则h(x)ex11h(x)0x1x，1h(x)h(1)0；x1，h(x)h(1)0．x(，，恒有h(x)0x20F(x)f(xg(x)≥0，x(，，恒有f(x)g(x．易错点①求导数时，(x2ex1)3：将第（3）g(x2x3x2f(xg(x3（1）（2）（3）（4）（1）xf(xx

习题1—(0x(x

f(b)

f(c，则ab

f(x)与g(xx0f(xg(x)min{f(x),g(x)},若f(x)3x,g(x) 已知函数f(xx33ax23x设a2f(xf(x在区间(2,3)上不单调，求a的取值范围已知函数f(x) x，g(x)alnx,aRyf(xyg(xa设函数h(x)f(xg(xh(x))存在最小值时，求其最小值(a)（III）对（2）中的(a，证明：当a(0时，(a)f(x)(x1)2blnx，其中b当b1f(x2b0f(x3n，不等式ln(n1lnn

第四节函数的综合应函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主（1）了解概念，理解函数的概念；（2）（3）题型一例1某学校要召开学生，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示x的最大整数）可以表示为().y[x

y[x

y[x4

D.[y[x点拨解x=56，y=5,C、Dx=57，y=6A

x10m(0

,当0

时,x3m3m

,当6时,x3m3m1x

1

f(x)|x1|,f(x)x26x gxf1x),f1xf2x) f(x),f(x)f( 若方程g(xa有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是 点拨f1(xf2(xgx，根据图象得出a的取值范围.解f1(xf2(xgx图象如图所示，a的取值范围是3a4.（2）f1(xf2(xgx2,x变式与引申1f(xx2bxcx0,f(4f(0),f(22,则关于xf(x2,x解的个数为（A B C D变式与引申2：设函数yf(x)由方程x|x|y|y|1确定，下列结论正确的是 （１）f(x)是R上的单调递减函数；[来 （２）xRf(xx0（３）对于任意aRxf(xa都有解；题型二函数的性质与图象2已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x，且在区间[0,2f(x)=m(m>0)在区间[8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则x1x2x3x4 点拨f(x4f(xf(x0,2]f 因为定义在R上的奇函数，满f(x4)f(x)

f(x4f(x)，所以函数图象关于直线x2对称且

f(00，由f(x4f(xf(x8f(x8f(x在区间[0,2]上f(x在区间[2,0f(x)=m(m>0)在区间[8,8上有四个不同的根x1x2x3x4,不妨设x1x2x3x4由对称性知x1x212x3x44所以x1x2x3x41248．易错点f(x变式与引申3：函数 的图像大致是（2x 4：Pf(xlog(xab|a1,01,1;b1,0,1平面上点的集合Q{(x,y)|x

,0,,1;,0,,1;则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象经过Q中两个点的函数的个数 A B C D题型三4f(x)x|x1|mg(x)ln当m1y

f(x在[0mp(x)f(xg(xp(x有零点，求m（2）零点转化为方程mlnxx|x1|有解，用导数求出该函数的值域得出m的取值范围.解（1）x[0,1f(xx(1xm＝x2xm(x1)2m x2f(x)maxm4x1mf(xx(x1m＝x2xmx1)2m1y

f(x在(1mf

f(m)m2,由m2m1,得m2m10,又m1,解得m1 ∴当m12

2f2

m2,当1m12

242时,f

2 2m14（2）p(xf(xg(x)x|x1|lnxm0有解，得mlnxx|x1|h(xlnxx|x1|x(0,1]h(x)x2xln所以函数h(xx(0,1]上是增函数，h(xh(10

h'(x)2x112x2

10 2x2x (x1)(2xx(1,h(x

xlnx,因为h(x)2x 1 0 所以函数h(xx(1,上是减函数，所以h(xh(10所以方程mlnxx|x1|有解时m0p(x有零点时m的取值范围是(,0易错点（1）去绝对值和对求值大小进行讨论时考虑不周造成的错误（2）零点问题不能转化成方程有变式与引申5：函数f(x)lnx12的零点所在的大致区间是 x B.(1, C.(2, D.3,x6：f(x)x2xg(x)xlnxh(x)xx则x1,x2,x3的大小关系是 )[来源:

1

,

,x3x1x2

x2x1

x1x3

x3x2题型四5f(xx33ax(xRxym0对任意的mRyf(x的切线，求ag(x|f(x|x[1,1g(xF(a)点拨（1）yf(xf(x的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率（2）g(xg(x在[0,1解（1）f(x3x23a3axym=0mRy当且仅当13aa13（2）g(x|f(x||x33ax|在[1,1上为偶函数,故只求在[0,1①当a0f(x0f(x在[0,1f(0)0,∴g(x)|f(x)|f(x),∴F(a)f(1)13a

f(x)的切线②当a0时f(x3x23a3(x

a)(x

a).a若 1,即a1时,f(x)0,f(x)在[0,1]上单调递减,且f(0)0,所以在[0,1]上f(x)0,所以ag(x|f(x|f(xf(x在[0,1F(af(13aa若当0 1,即0a1时，g(x)|f(x)|在a

a]上单调递减，在

1f(113a0,即1a1时g(x|f(x|f(x在3

a]上单调递增，在

F(a)f(a)2aa2f(113a0,即0a13（ⅰ）当f

af(113a即0a14

F(a)f(1)13a（ⅱ）当f

af(113a1a1时F(af

a)2aa13a(a1F(a

4a(1a1)4易错点变式与引申7：已知f(xax33x26ax11g(x3x26x12，和直线m:ykx9f(10求a是否存在k的值，使直线my

f(xyg(x的切线；如果存在，求出k（4）点评（1）数形结合函数的性质是高考考查的重点内容．解决一些函数单调性和奇偶性，对称性等要从（2）（4）习题1—1.已知[xxg(x)xxf(xlnx2 g(x0)等于 B. C. D.2f(x)

x

f

4)的值为 f(x1)1,x f(x)lnx2x2bxcx=1处的切线与直线3x7y20已知函数f(xx2a1)xlg|a2|(aR,a若f(xg(x)和一个偶函数h(x)g(x)和h(xPf(x在区间[(a1)2Q：g(x如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围5（2011年高考卷。文）已知函数f(x)(xk)exf(xf(x在区间[0,1]上的最小值第五节函数的综合应函数、导数、不等式等这三部分或它们的综合,在每年高考试题中都有大量出现,综合性都比较强,，点.特别今后,高考的应用题不一定是概率题,那么函数作为解决生活实际问题的重要方法,其应用题出现考试要求能结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的题型一函数与不等式(xx例1f(xx4

xx

f(x)1x的取值范围为（(,2]

(,2]

x xx解析：由f(x)1，则(x1)21或4 x 解该不等式组得，a [0,10].选2已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(ba+2b值范围A(22,

B[22,

C(3,

D[3,点拨：注意a的取值范围，利用均值不等式求解.f(x)=|lgx|f(af(b),0ab知0a1b,lgalgb,aba2ba2 yx2的单调性可知，当0x1时，函数单调递减，a2ba23 2意底数在（0，1）2a2ba22a最小值为22(a2)x1,xa变式与引申1f(xloga

f(x在(ax为 2f(x)ax2bxcxf(x2x的解集为(1,3f(x6a0f(xf(x的最大值为正数，求实数a的取值范围．题型二函数与数列3y

f(x)(xR)满足f(xf(1x)12（1）f

1)和f2

1)fn

n)(nN*)n（2）若数列{a}满足af(0f1f2fn1f(1，求列数)

1若数列{bnanbn4Snb1b2b2b3b3b4bnbn1k2kSnbn点拨（2）注意到011n12n2 1，及f(x)f(1x)1，构成对进行运算（3） 出b，将b 1

S n

n1

n1

1）

x ，则f2

)f(1 )

f() 令x

1，则fn

1)f(1n

1)n

1，即f2

1)fn

n ) n（2）∵an

f(0)f()f()f

)f nn1 n ∴an

f(1)f1

)fnn1

)f()f

n（1

f()fn

n)2∴①+②，得2a(n1)2.an 4（3）∵

n1,ab1,b

,∴

b

bbb

b n

n

1

2 3

n 11n1n (1 11n1n (11)(11)(11) 11n n) 12

n

2(n

2kSb kn n

n

kn2(1k)n2(n1)(n2)由条件，可知当kn21k)n20f(n)kn21k)n2k＞0kn21k)n20k=0f（n）=－n－2＜0k＜0n

(1k)1

11 ∴f（n）在[1,f（1）＜0，即可满足kn21k)n203f(1k1k20得k

又k02综上知，k≤0，不等式2kSnbn易错点没有发现011n12n2 1，可以结合f(x)f(1x)1，进行逆序求和； Sb

bbb

b

kn21k)n20 1

2 3

n3：f(xR上的函数,对于任意的实数a,bf(abaf(bbf(af(21.f1)f(2n)(nN*2变式与引申4：一企业生产的某产品在不做电视的前提下，每天销售量为b件.与电视每天的量n（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.①试写出该产品每天的销售量S（件）关于电视每天的量n（次）的函数②要使该产品每天的销售量比不做电视时的销售量至少增加90%，则每天电视的量至少需多少次？题型三4x1x(xx)是函数f(xax3bx2a2x(a0的两个极值点2 若|x1||x2|

2,求bx1xx2,且x2a,函数g(xf(xa(xx1)，求证：|g(x)

1a(3a2)2(x(xx)24x 1|x||x||xx

，再用导数求b的最大（3）将不等式问题转化为求函数的最 f(x)3ax22bxa2(a（1）x11x22f(xf(1)0,f(2 a

a

b9f(x)6x39x2（2）∵x1、x2是f(x)是两个极值点，f(x1)f(x212∴x、x是方程3ax22bxa204b2+12a3，∴△>0a0bR12x

xxa,∵a0,∴xx0 1 1|x1||x2||x1x2由|

||

| 249b2249

3a2(6a)

0a

h(a)3a2(6a),则=∴b的最大值是4证法一：∵x1、x2f(x)0f(x)3a(xx1)(xx2)，|g(x)|3a|xx1xx2,xx10,g

3a[(x

3

x2a,,|g(x)|3a(a11)21 证法二：∵x1、x2f(x)0f(x)3a(xx1)(xx2)

a,

1

3

∵xxx,gxa)(x(|| x 1)3(x1(x3a 3a34

a213

a(3a易错点本题讨论、计算较多，不都容易出错，对问题的转化能力要求较高5：fx1x31ax2a1x1在区间1,4上是减函数，在区间6, 函数，求实数a6：fxlnx1ax2