高数复习-微分方程参考答案

1(1)xy22yy3x0 （2）x3yxy3ycos2(3)dyx2y20 （4）y4yyy （4 2、下列方程的类

(1)12yxdx1x2dy0（可分离变量线性微分方程y2（2）xyy y2(3)x21y2xy4x2（一阶非齐次线性微分方程（4）y2y3y0；（二阶常系数齐次线性微分方程（5）y3y4y3

（(1)yy2y0【解1）对应的特征方程

r2r20r2r10r2,r 2）yce2xc （2）4y4yy【解1）对应的特征方程

4r24r102r120r

x2）微分方程的通解为yc1c2xe2xy2y4y0【解1）对应的特征方程

r22r40

2

4162

3i1,32）yexccosxcsinxexccos3x3

sin （4）y2y0【解1）对应的特征方程为r22r0rr20r2r 2）yce2x （5）y2y【解1）对应的特征方程

r220r22

2i,0,22）微分方程的通解为ye0xccos2xc 2xccos2xc 2 4y*ypxyqxyfxyy y1

与y1线性无关，则方程ypxyqxyfx的通解

cycyy* （b）cyc

1 2 1 2(c)cyycyy* （d）cy

c

25

2(1)y3y3x1）r23r0r0r2）y3y3x1y3y3x1e0xpmx3x1m10为特征方程单根，故取ky

xexxQxe0xxaxm1（2）y10y25ym1【解：1）对应的特征根：r210r250 m2）y10y25y6e5xpx6m05kmy

xex

xe5xm0(3)yy6yxexm01）r2r60r3rmm12）yy6yxexpxxm11非特征方程根，故取kmm1y

xexx0Qxexaxbex（4）y5y4yx21ex1）r25r40r1rm2）y5y4yx21expxx21m21mkm2m2

yxk

xex

xexxax2bxcex1、求微分方程xy2xdxyyx2dy0的通y【解xy2xdxyyx2dy0xy21dxy1x2dy0为可分离变量的微分方y 1

dy

1

dx

1

dy

1 1ln1y21ln1x21lnc1y21x2 2、求微分方程2x2yx2y2 1y【解：1）2x2yx2y2

2x

1y

tyxt t

代

2xtx

1

t2x

t1 2

2t

dtdxx dt

dxlnx

clnx

clnx

2xt

t

1x

x3、求微分方程xyyex满足 e的特x【解：1）xy x

pxdx

p

1dx

1

qxe dxc exdxc lnx

1

x dxcx

xdxc

c 3）

x1e

11

cec0，yxxx4y2yx11）y2y0特征方程为r22r0r0r2Yce0xce2x

c 2）y2yx1x1e0xm10ky

xexxQxe0xxaxbax2m1yax2bx,y2axb,y2a代入y2yxm12a4ax2bx14a1,2a2b1a1,b1 y1x21 y2yx1yYy

ce2x1x215y2y3y2ex1）y2y3y0

2）y2y3y2exm01ky

xex

xexm0yaex,yaex,yaex代入y2y3ym0aex2aex3aex2exa2yaex12y2y3y2exyYycexce3x1 6y3y2y11）y3y2y0

x02yx02的特 r23r20r1r2Ycexc 2）y3y2y11e0xm00不是特征方程根，故取ky

xex

xe0xm0ya,y0,y0y3y2ym0002a1a2y2y2y3y