（渝皖琼）2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 5.1 平行关系的判定学案 北师大版2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE14学必求其心得，业必贵于专精5．1平行关系的判定学习目标1。理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2。会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用。3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．知识点一直线与平面平行的判定定理思考如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内）和平面α有何位置关系？答案平行．梳理判定定理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（a⊈α,bα，a∥b)）⇒a∥α知识点二平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案不一定．思考2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗?答案平行．梳理判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α,b∥α）)⇒α∥β1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α。（×)2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(×）3．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．（×）4．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行．（√）类型一直线与平面平行的判定问题命题角度1以锥体为背景证明线面平行例1如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且eq\f（AM，SM）＝eq\f(DN,NB）.求证：MN∥平面SBC。考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明连接AN并延长交BC于点P，连接SP.因为AD∥BC，所以eq\f(DN,NB）＝eq\f(AN，NP),又因为eq\f（AM,SM)＝eq\f(DN,NB），所以eq\f（AM,SM)＝eq\f（AN，NP)，所以MN∥SP，又MN⊈平面SBC,SP平面SBC,所以MN∥平面SBC.引申探究本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.证明连接AC,由平行四边形的性质可知，AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA,AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC平面SBC，MN⊈平面SBC，所以MN∥平面SBC.反思与感悟利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找"是证题的关键,其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理．跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E,连接AE，BE，MN。则EM∶MA＝1∶2,EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB。又AB平面ABD,MN⊈平面ABD，所以MN∥平面ABD,同理，AB平面ABC，MN⊈平面ABC，所以MN∥平面ABC.命题角度2以柱体为背景证明线面平行例2在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解存在．证明如下:如图，取线段AB的中点为M，连接A1M，MC，A1C，AC1,设O为A1C，AC1的交点．由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC,△ACC1的中位线，所以MD∥AC且MD＝eq\f(1,2）AC，OE∥AC且OE＝eq\f(1,2)AC，因此MD∥OE且MD＝OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊈平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC。即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时,常利用取中点去寻找平行线．跟踪训练2如图所示,已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明（1)∵BC1⊈平面AB1D1，AD1平面AB1D1,BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.(2）∵点F为BD的中点,∴F为AC的中点,又∵点E为D1C的中点,∴EF∥AD1，∵EF⊈平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1。类型二平面与平面平行的判定例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E,F，G，H分別是AB，AC,A1B1，A1C1的中点，求证：(1）B,C，H，G四点共面；(2）平面EFA1∥平面BCHG。考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明证明(1）因为G，H分别是A1B1,A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B,C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点,所以EF∥BC。因为EF⊈平面BCHG，BC平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB,A1G＝EB,所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB。因为A1E⊈平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法（1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练3如图所示，已知A为平面BCD外一点，M，N，G分别是△ABC，△ABD,△BCD的重心．求证：平面MNG∥平面ACD.考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明证明如图,设BM,BN，BG分别交AC，AD，CD于点P，F,H，连接PF,PH。由三角形重心的性质,得eq\f（BM，MP)＝eq\f（BN,NF）＝eq\f(BG，GH）＝2，∴MG∥PH,又PH平面ACD，MG⊈平面ACD，∴MG∥平面ACD.同理可证MN∥平面ACD，又MN∩MG＝M，MN平面MNG，MG平面MNG，∴平面MNG∥平面ACD。1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′,平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(）A．有且只有一个 B．有无数多个C．至多一个 D．不存在考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案A解析在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b,则b′是唯一的，因为a∩b′＝A，所以a与b′确定一个平面并且只有一个平面．3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是(）A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案A解析如图，∵EG∥E1G1,EG⊈平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E,同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E,H1E，EG平面EGH1，∴平面E1FG1∥EGH1。4．经过平面α外两点,作与α平行的平面，则这样的平面可以作(）A．1个或2个 B．0个或1个C．1个 D．0个考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案B解析①当经过两点的直线与平面α平行时,可作出一个平面β，使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交,不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．5.如图,四棱锥P－ABCD中,AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB。考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定证明连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点,∴BE⊥AD，又CD⊥AD，∴在四边形ABCD中,BE∥CD.又CD⊈平面FEB，BE平面FEB，∴CD∥平面FEB.在△APD中，EF∥PD,同理可得PD∥平面FEB。又CD∩PD＝D，∴平面PCD∥平面FEB。1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行,先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行的一般思路:线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．一、选择题1．能保证直线a与平面α平行的条件是(）A．bα，a∥bB．bα,c∥α,a∥b，a∥cC．bα,A,B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⃘α,bα，a∥b考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析由线面平行的判定定理可知，D正确．2．如果两直线a∥b且a∥α，则b与α的位置关系是(）A．相交 B．b∥αC．bα D．b∥α或bα考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析由a∥b且a∥α知,b与α平行或bα.3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示,则BC与α的位置关系是（)A．平行 B．相交C．异面 D．BCα考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案A解析在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE。因为BC⊈α，DEα，所以BC∥α。4．若六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（)A．1对B．2对C．3对D．4对考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案D解析由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（)A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案B解析易证EF∥平面BCD.由AE∶EB＝AF∶FD知，EF∥BD，且EF＝eq\f（1,5)BD。又因为H,G分别为BC，CD的中点，所以HG∥BD，且HG＝eq\f(1,2)BD。综上可知，EF∥HG，EF≠HG,所以四边形EFGH是梯形,且EF∥平面BCD.6．如图,下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是（）考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN,所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP。故选C。7．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为（)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行,若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．8．已知直线l，m,平面α，β,下列说法正确的是（）A．l∥β，lα⇒α∥βB．l∥β，m∥β，lα，mα⇒α∥βC．l∥m，lα,mβ⇒α∥βD．l∥β,m∥β，lα，mα，l∩m＝M⇒α∥β考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案D解析如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB∥CD，则AB∥平面DC1,AB平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F,可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；AD∥B1C1,AD平面AC，B1C1平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．二、填空题9．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个推断:①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案①②⇒③（或①③⇒②）解析若m∥n，m∥α,则n∥α，同样，若m∥n，n∥α，则m∥α。10．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE,∴MN∥DE.又MN⊈平面ADE，DE平面ADE,∴MN∥平面ADE.11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面ADNE;②CN∥平面ABFE；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个说法中正确的是________．考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图．则易知四个说法都是正确的．12。如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F,G，H分别是棱CC1，C1D1,D1D,CD的中点，N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时,有MN∥平面B1BDD1.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1,HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D,∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意一点M与N连接，都有MN∥平面B1BDD1.三、解答题13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB，A1D1的中点分别为M,N，求证：MN∥平面B1D1DB.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定证明如图,取BD的中点O，连接MO，D1O，则OM∥AD且OM＝eq\f（1，2）AD，∵ND1＝eq\f（1,2）A