晶体中电子的平均速度和加速度 金属半导体和绝缘体杨

§5.8晶体中电子运动的速度和加速度—电子的准经典运动Page1一、准经典近似，电子的平均速度

晶体中电子的能带理论：在具有晶体的平衡对称性的电势能中，电子的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量本征值就是能带。

为了计算晶体的电性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子态－－这是非常困难的。

原因：外加的电势能qV(r)可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平衡对称性。

解决办法：准经典近似－－把电子运动当作经典粒子来处理。固体中的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。Page2

1、电子平均速度由量子力学，电子的速度算符为由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符p不对易波函数并非是速度算符的本征函数表明处于状态的电子没有确定的速度，只能计算其平均速度Page3

将算符作用到薛定谔方程的两端，分别得到：

将梯度算符作用到布洛赫函数：Page4

上式两边相等，得到

上式整理得方程左边方程右边H中不显含k

上式乘以并对晶体积分，积分结果等式右边为零：根据算符的厄米性质厄米算符的定义：Page6所以等式左边也为零：与（1）式比较，得到电子的平均速度：Page72、能量和速度的关系由（5）式，可知，电子的平均速度公与能量和状态（k）有关，由于速度是波矢的奇函数：

在能带的底部和顶部，斜率dE/dk=0，所以在带顶和带底电子的速度为零。Page8这种情况和自由粒子速度总是随能量增加而单调增加是显然不同的。

在能带中处，速度的数值最大，如图拐点C。CPage9因能量与波矢由色散关系相联系，能量E变化意味着电子波矢k改变，故二、电子在外场作用下的加速度，有效质量当对一维电子施加外场时，电子受到外场力的作用。单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量：K的变化率正比于电子所受的外力，并有相同的方向，具有牛顿第二定律的形式。但f是外力。Page10令（8）式化为上式表明在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为的自由粒子的运动—次准经典运动。为有效质量。因此称Page11在三维维情况况下，，晶体体中电电子的的有效效质量量是二二阶张张量，，其分分量为为由于有效质质量是是张量量，所以以电子子的加加速度度一般般与外外力方方向不不一致致。这这是因因为除除了外外力作作用外外，电电子还还受到到晶格格周期期场的的作用用，这这个作作用由由有效效质量量所概概括。。有效质质量取取决于于电子子的状状态，，因为为不同同的状状态能能带的的曲率率不同同。一般而而言，，对于于宽能能带，，E（（k））随k的变变化较较大，，有效效质量量小，，而对对于窄窄能带带，有有较质质量较较大。。紧束缚缚观点点：原原子外外层电电子波波函数数交叠叠较多多，能能带较较宽，，有较较质量量较小小，而而内层层电子子波函函数交交叠甚甚少，，能带带较窄窄，有有较质质量较较大，，定域域性更更强一一些。。Page12以简立立方为为例，，计算算紧束束缚近近似下下电子子的有有效质质量：：紧束缚近近似下，，简立方方的s态态电子的的能量为为：其它交叉叉项的倒倒数全为为零。在能带底底处：Page13在能带顶顶处：在能带：上面讨论论表明：：在带底及及带顶,m*=常数,与自由粒粒子在实实空间中中的运动动相似.随着E的增大（（见第一一布里渊渊区的约约化能带带图）,能带展宽越越大,也越大,m*就越小.此时电子子越容易易加速,共有化运运动的特特征越明明显。晶体中电电子的有有效质量量不同于于自由电电子的质质量，是是因为计计入了周周期场的的影响，，而这种种影响主主要通过过布拉格格反射的的形式在在电子和和晶格之之间交换换动量：：有效质量量大于零零的情况况，电子子从外力力场Ｆ获获得的动动量多于于电子交交给晶格格的动量量有效质量量小于零零的情况况，电子子从外场场中得到到的动量量比它交交给晶格格的动量量少。有效质量量趋于无无穷时，，电子从从外场中中获得的的能量全全部交给给晶格，，这时，，电子的的平均加加速度这这零。§5.11金属、半半导体和和绝缘体体Page15一、满带带不导电电首先讨论论没有外外加电场场的情形形。考虑一维维布拉菲菲格子中中与原子子1s能能级相对对应的能能带。能带理论论的一大大贡献即即成功地地解释了了固体为为何会具具有极不不相同的的导电本本领，有有的表现现为导体体，有的的表现为为绝缘体体和半导导体。

单位体积晶体中，其中一个波矢为的电子对电流密度的贡献为能带中所所有电子子对电流流的贡献献为零。。Page16波矢为kx和-kx的电子对对电流的的贡献成成对抵消消这是因为为因而总电电流为零零。Page17现在设加上指向左方的外电场则每个电子子均受到到一电场场力，使使其波矢矢在经历历Δt时间间后的增增加量可可计算如如下：有外加电电场的情情形Page18于是所有电子均右移使电子在k空间的分布如右图。満带不导导电的解解释：能量具有有倒格子子的周期期性，图中位于于π/a右方Δk范围内内的状态态（现在在是被电电子占有有的状态态），完完全等价价于－π/a左方Δk范围内内的状态态（现在在是空态态），因因此两图图的电子子分布是是完全等等价的。。Page19一个电子子的代表表点越过过位于π/a的布里渊渊区的边边界－－－相当于于又从位位于－π/a的边界进进入同一一布里渊渊区。有电场后后，満带带中电子子的状态态随时发发生变化化，但整整体上的的分布始始终没有有变化，，仍保持持对称分分布。所有电子子对电流流的贡献献依然与与无外电电场时一一样地成成对相消消，即当当有外电电场时，，満带也也不导电电。Page20二、不满满能带无外场时时，不满满能带电电子的分分布是对对称的，，总电流流为零，，当施加加外电场场经时间间Δt后后波矢变变化Δk，破坏了了电子在在倒空间间的对称称分布，，电子速速度不再再能全部部成对抵抵消，如如图。因因而能产产生电流流。即不满满的的带带能能导导电电。Page21（a）无无外外电电场场（b））有有外外电电场场不满满带带电电子子在在k空间间的的分分布布Page22三、、价价带带填填充充程程度度决决定定导导电电性性－－－－导导体体、、绝绝缘缘体体与与半半导导体体原子子结结合合成成晶晶体体后后，，原原子子的的能能级级转转化化为为相相应应的的能能带带。。由由于于原原子子内内层层电电子子能能级级是是充充满满的的，，所所以以相相应应内内层层能能带带也也是是满满带带，，是是不不导导电电的的。。晶体体是是否否导导电电取取决决于于与与价价电电子子能能级级对对应应的的价价带带是是否否被被电电子子充充满满。如果果价价带带是是满满带带，，这这种种晶晶体体就就是是绝绝缘缘体体或或半半导导体体，，否否则则就就是是导导体体。。由于于每每个个能能带带可可容容纳纳2N个个电电子子，，N是是晶晶体体原原胞胞数数目目，，因因此此：：价带带是是否否被被电电子子填填満満取取决决于于每每个个原原胞胞所所含含的的价价电电子子数数目目，，以以及及能能带带是是否否交交叠叠。Page23对Li,Na,K等等碱金金属属,每原原子子含含一一个个价价电电子子、体心心立方方布拉拉菲晶晶格、、每个个原胞胞只有有一个个价电电子，，整个个晶体体中的的价电电子只只能填填満半半个价价带，，它们们是导导体；；例如：：对于于Na金属属：每每个原原子11个个电子子，电电子组组态为为：N个原原子组组成晶晶体时时，3s能能级过过渡成成能带带，能能带中中有N个状状态，，可以以容纳纳2N个电电子。。但钠钠只有有N个个3s电子子，因因此能能带是是半満満的，，在电电场作作用下下，可可以产产生电电流。。Page24Ba、、Mg、Zn等等二价价元素素，虽然每每个原原胞有有偶数数个电电子,由于晶晶体结结构的的特点点，各各方向向上带带宽不不等的的能带带产生生重迭迭,形形成一一个更更宽的的能带带，它它可包包含几几个布布里渊渊区，，因而而可填填充比比2N更多多的电电子，，结果果使能能带不不完全全充满满，因因而也也是导体体。例如，，金属属Mg：孤立原原子有有2个个3s电子子，晶晶体中中的3s能能带可可容纳纳2N个电电子，，能带带应该该是満満的，，按照照上述述原则则，镁镁应该该是绝绝缘体体。但实验验指出出，镁镁及其其它碱碱土族族晶体体都是是金属属，为为什么么？这是由由于它它的3s能能带和和较高高的能能带有有交迭迭的现现象。。实际际上，，价电电子并并未填填满3s能能带，，有一一部分分电子子占有有了能能量较较高的的带，，因此此，仍仍有电电子在在不满满的带带，使使晶体体具有有金属属的性性质。。Page25对C,Si,Ge等,半导体体。具有FCC点阵阵的复复式晶晶格，，价电电子的的组态态是一个ns和和三个个np态，，每个个初基基元胞胞中有有两个个原子子，八八个价价电子子。电子态态之间间有强强烈的的交迭迭，产产生为为禁带带隔开开的二二个能能带每每个带带有4N个个能级级。从能带带结构构和电电子填填充情情况看看，半半导体体和绝绝缘体体相似似。半导体体禁带较较窄，，热激激发使使満带带和空空带都都成为为导带带。热热激发发的电电子数数目随随温度度按指指数规规律变变化。。Page26Page27四、空空穴对于半半导体体，由由于热热激发发，使使得満満带顶顶部的的电子子跃迁迁到空空带，，使原原来的的満带带和空空带都都成为为导带带。为为了描描述这这种近近満带带的导导电功功能，，人们们引入入“空空穴”的概概念。。半导体体的近近満带带中未未被电电子占占据的的量子子态称称为空空穴。若近満満带中中某k态未被电电子占占据，，在有有电场场时会会有电电流产产生－－－空穴导导电设此电电流为为当有电电子再再填満満这个个k态态时，，此带带恢复复成満満带，，总电电流变为为零Page28即上式说说明，，空穴对对电流流的贡贡献如如同速速度为为而带正电的电荷荷对导导电的贡献献。満带顶顶电子子的平均均加速速度因为令则平均速度外电场Page29也是空空穴的的加速速度，，所以以说明明：由于正电荷e的粒子。空穴等价于一个具有正质量Page30能带理理论的的主要要结论论：Page31Page32能带理理论的的主要要成就就：Page33能带理理论的的局限限性：：Page34能带理理论的的局限限性：：Page35能带理理论的的局限限性：：Page36能带理理论的的局限限性：：Page37空穴（（hole）与与空位位（vacancy）的的区别别空穴空位k(状态)空间的一种状态空缺,是存在这一空缺的整个能带的描述,同其它电子一样,在真实空间的位置不确定真实空间中格点(原子实)的空缺在k空间的运动方向与其它电子相同（K空间的状态变化）在真实空间以跳跃的方式运动,(实际上是其它原子实的跳跃运动,而非其它原子实或晶格的总体运动)总带正电荷不总带正电荷(可正可负)Page38例1：晶格常数为a的一维晶体体中，电子的的波函数为f是某一函数，，求电子在以以上状态中的的波矢。解：由此得（1）根据布布洛赫定理，，在一维周期期势场中运动动的电子的波波函数满足于是Page39因此得若只取布里渊渊区内的值，，即则有令得因此所以有在布里渊区内内的值为Page40Page41Page42Page43Page44Page45Page46Page47Page48Page49Page50Page51Page52Page53Page54Page55当布拉格反射条条件，受到晶晶格的全反射射。反射波与与入射波的干干涉形成驻波波（相加或相相减构成两个个不同的驻波波）。时，波长正好满足Page56本章要点1、能带理论论的基本近似似和结论能带理论的基基本近似：能能带理论是建建立在单电子子近似和周期期场假定基础础是的晶体电电子理论。能带理论的普普遍结论：（1）布洛赫赫定理晶体电子的波波函数具有形式，k是描描述电子状态态的量子数，，称为电子波波矢。（2）能带晶体电子的能能量只能取某某些与k有关关的允许值E（k），这这些能带允许许值形成一个个个能量准连连续区－－－－能带En(k)。Page57本章要点不同的的量子子数n代表不不同的能带，，不同能带之之间存在着能能隙。（3）布洛赫赫波和能带的的性质即能量在k空空间具有对称称性，能量和和波函数都是是k的周期函函数，在倒格格空间具有倒倒子的周期性性，即相差