时间数列数据研究课件

统计学天津财经大学统计系统计学天津财经大学统计系9-1第十三章时间数列数据研究第一节时间数列的分析指标第二节时间数列数据变动规律图示第三节水平型时间数列和预测第四节趋势型时间数列和预测第五节季节型时间数列和预测第六节混合型时间数列和预测第十三章时间数列数据研究第一节时间数列的分析指标2第一节时间数列的分析指标一、时间数列的概念、种类及编制原则二、时间数列的发展水平和平均发展水平三、时间数列的增长量和平均增长量四、时间数列的速度指标第一节时间数列的分析指标一、时间数列的概念、种类及编制3表13-1年份国内生产总值第三产业所占比重（％）年底总人口（万人）人均国内生产总值(元/人)居民消费水平(元)1990————114333————199121617.833.41158231879

199226638.134.31171712287

199334634.432.71185172939

199446759.431.91198503923

199558478.130.712112148542236199667884.630.112238955762641199774462.630.912362660542834199878345.232.112476163082972199982067.532.912578665513138200089468.133.412674370863397200197314.834.1127627765136092002105172.334.3128453821438182003117251.933.212922791014089表13-1年份国内生产总值第三产业所占比重（％）年底4一、时间数列的概念时间数列（timeseries）—动态数列,把同一现象在不同时间上的观察数据按时间先后顺序排列起来所形成的数列。

两个基本要素：时间t；时间t的数据（水平）yt.基期水平与报告期水平；期初水平（y0或y1）,期末水平（yn）与中间水平。时间数列是动态分析的依据。一、时间数列的概念时间数列（timeseries）—动态5时间数列的种类（一）绝对数时间数列——最基本的时间数列时期数列时点数列（二）相对数时间数列如第三产业所占比重数列（三）均值时间数列如居民消费水平数列有关的绝对数序列派生的时间数列的种类（一）绝对数时间数列——最基本的时间数列有关的6（一）绝对数时间数列又称为总量指标时间数列；是指一系列同类的总量指标数据按时间先后顺序排列而形成的序列，反映现象在各个时间上达到的绝对水平。可分为时期数列和时点数列。时期数列，如国内生产总值数列时点数列，如年末总人口数列（一）绝对数时间数列又称为总量指标时间数列；7时期数列和时点数列的特点①时期数列的各个数据为时期指标(流量)，表示现象在各段时期内的总量。时期序列的各个数据为时点指标(存量)，反映现象在各个时点上所处的状态和所达到的水平.②时期数列中各期数据具有可加性，通过加总即可得到更长一段时间内的总量。时期数列中不同时点上的数据不能相加，即它们相加的结果没有意义。③时期数列中数值大小与所属时期长短有直接的关系，时期序列中各时点数值大小与时点间隔长短没有直接的联系。④时期数列中各期数据是对每段时间内发生的数量连续登记的结果，时点序列中数据通常不可能也不必要连续登记，时期数列和时点数列的特点①时期数列的各个数据为时期指标(8时间数列的编制原则保证时间序列中各项数据的可比性，是编制时间数列的基本原则。(一)时间一致(二)总体范围一致(三)经济内容、计算口径和计算方法一致时间数列的编制原则保证时间序列中各项数据的可比性，是编制9二、时间数列的发展水平和平均发展水平描述现象在某一段时间上发展变化的水平高低及其增长变化的数量多少。包括：发展水平平均发展水平增长量平均增长量二、时间数列的发展水平和平均发展水平描述现象在某一段时间上10（一）平均发展水平平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。统计上习惯把这种不同时间上数据的平均数称为序时平均数。它将现象在不同时间上的数量差异抽象掉，从动态上说明现象在一定发展阶段的一般水平。不同性质的时间序列，其计算方法也有所不同。（一）平均发展水平平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。111.绝对数时间序列的平均发展水平（1）时期序列的平均发展水平采用简单算术平均法：【例13-1】根据表11-1的数据，计算我国1991-2003年国内生产总值的年平均水平。解：1.绝对数时间序列的平均发展水平（1）时期序列的平均发展水12（2）时点序列的平均发展水平连续时点序列——用简单算术平均法对社会经济现象而言，已知每天数据可视为连续序列。不连续时点数列计算序时平均数先求分段平均数用来代表相邻两个时点之间各个时点上的水平假定现象均匀变化，分段平均数＝相邻两点数据的简单算术平均再求全期总平均数求全期总平均数＝分段平均数的加权算术平均权数

f

＝时点间的间隔长度（2）时点序列的平均发展水平连续时点序列——用简单算术平均法13不连续时点数列计算序时平均数—图示不连续时点数列计算序时平均数—图示14不连续时点数列计算序时平均数的公式当时点间隔相等，上式简化为:“首末折半法”——不连续时点数列计算序时平均数的公式当时点间隔相等，上式简15【例13-2】某地区2004年生猪存栏数量的几个时点数据,试计算该地区全年的生猪平均存栏数量。

时

间上年12/311/314/307/3110/3112/31存栏数(万头)472441345645

间隔（天）——13332解：【例13-2】某地区2004年生猪存栏数量的几个时点数据,试16【例13-3】根据表13-1中各年年末人口数，计算1991～2003年这13年间的平均人口数。解：

由不连续时点序列计算平均发展水平的计算公式是有假定条件的。实际中，计算结果通常只是近似值。一般认为，间隔越短，计算结果就越准确。【例13-3】根据表13-1中各年年末人口数，计算1991～172.相对数(或平均数)序列的平均发展水平相对数(或平均数)zi＝yi/xi(yi和xi为总量指标)由于各个zi的对比基数xi不尽相同，所以不能将各期zi简单算术平均。正确的计算方法是：分别计算绝对数序列y和x

的平均发展水平；再由这两个平均发展水平对比来得到所求的平均发展水平，即：其实质是对各期的相对数（或平均数）加权算术平均！2.相对数(或平均数)序列的平均发展水平相对数(或平均数)18【例13-4】根据表13-1的数据，试计算1991～2003年中国人均国内生产总值的平均发展水平。解：年平均国内生产总值为69238.06亿元，平均人口数为122588.23万人，故人均国内生产总值的平均发展水平(单位：元/人)【例13-4】根据表13-1的数据，试计算1991～200319（一）增长量（增减量）＝报告期水平－基期水平说明现象在观察期内增长的绝对数量；基期不同，有逐期增长量与累计增长量之分：*逐期增长量＝报告期水平－上期水平逐期增长量说明现象逐期增长的数量。*累计增长量＝报告期水平－固定基期水平累计增长量说明一段时期内总共增长的数量。关系：累计增长量＝相应时期的逐期增长量总和.*同比增长量＝报告期水平-上年同期水平三、时间数列的增长量与平均增长量（一）增长量（增减量）＝报告期水平－基期水平三、时间数列的增20（二）平均增长量平均增长量逐期增长量的序时平均数；计算方法采用算术平均法。（二）平均增长量平均增长量21例13-5解：居民消费水平的年平均增长量为：年份199519961997199819992000200120022003居民消费水平223626412834297231383397360938184089逐期增长量

405193138166259212209271累计增长量

4055987369021161137315821853根据下表数据，计算我国居民消费水平的增长量和平均增长量。例13-5解：居民消费水平的年平均增长量为：年份1995122四、时间数列的速度指标（一）发展速度＝报告期水平／基期水平说明现象在观察期内发展变化的相对程度；有环比发展速度与定基发展速度之分环比发展速度＝报告期水平／上期水平反映现象逐期发展变动的程度，也可称为逐期发展速度。定基发展速度＝报告期水平／固定基期水平反映现象在较长一段时间内总的发展变动程度，也称为发展总速度。

四、时间数列的速度指标（一）发展速度＝报告期水平／基期水平23二者关系：定基发展速度＝相应时期的环比发展速度之积。相邻两定基发展速度之商＝相应的环比发展速度。为了消除季节变动因素的影响，可计算：二者关系：24（二）增长速度（增长率）增长速度（增减速度）——增长量与基期水平之比，说明现象增长变化的相对程度；基期不同，分环比增长速度与定基增长速度环比增长速度＝逐期增长量／上期水平＝环比发展速度－１定基增长速度＝累计增长量／固定基期水平＝定基发展速度－１（二）增长速度（增长率）增长速度（增减速度）——增长量与基期25二者关系：定基增长速度（总增长速度）不等于相应各环比增长速度之和（积）。几种速度指标之间的相互关系如下所示：环比增长速度环比发展速度定基增长速度定基发展速度乘/除二者关系：环比增长速度环比发展速度定基增长速度定基发展速度乘26为了消除季节变动因素的影响，也常常计算：为了消除季节变动因素的影响，也常常计算：27速度的表现形式和文字表述速度指标的表现形式：一般为%、倍数，也有用‰、番数等等。翻m番，则有：报告期水平=基期水平×2m速度的文字表述：发展速度—相当于、发展为、增长到、减少到、下降为…报告期水平增长为基期水平的…%；以基期水平为100%，报告期水平增长为…%.增长速度—提高（了）、减少（了）、下降（了）…

报告期水平比基期水平增长（了）的…%；

以基期水平为100%，报告期水平增长（了）…%。速度的表现形式和文字表述速度指标的表现形式：一般为%、倍数28（三）平均发展速度和平均增长速度平均增长速度——表示逐期增长变动的平均程度，即各期环比增长速度的一般水平，但不能对各环比增长速度直接平均。因为算术平均法或几何平均法都不符合增长速度这种现象的性质。正确的计算方法：平均增长速度＝平均发展速度—1平均增长速度为正（负）值，表明平均说来现象在考察期内逐期递增（减）。（三）平均发展速度和平均增长速度平均增长速度——表示逐期29平均发展速度的计算方法1.几何平均法计算平均发展速度（水平法）以

xi

表示环比发展速度，根据环比发展速度与总速度的关系，计算平均发展速度可该采用几何平均法：三个计算公式实质上是一致的。可根据所掌握的数据来选择。ｎ＝环比发展速度个数＝时间序列水平项数－1平均发展速度的计算方法1.几何平均法计算平均发展速度（水30【例13-6】根据表13-4的数据，计算中国1991～2003年居民消费水平的平均发展速度和平均增长速度。解：平均发展速度可根据三种资料来计算：平均增长速度＝107.84％-100％＝7.84％即1991～2003年间，我国居民消费水平平均每年递增7.84%.【例13-6】根据表13-4的数据，计算中国1991～20031用所求平均发展速度代表各环比发展速度，推算的最末一期的水平与实际相等推算的总速度（最末一期的定基速度）也与实际相等。几何平均法计算平均发展速度着眼于最末一期的水平，故称为“水平法”。如果关心现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。几何平均法较为简单直观，既便于各种速度之间的推算，也便于预测未来某期的水平，因此有着广泛的应用。几何平均法的特点用所求平均发展速度代表各环比发展速度，几何平均法的特点32平均发展速度的应用根据平均速度预测现象经过一段时间以后可能达到的水平。例如，若我国居民消费水平继续按上面所求出的平均速度递增，则可预测到2010年，居民消费水平可达:y2010＝y2003×(平均发展速度)7＝4089×1.07847=6935.48(元)平均发展速度的应用根据平均速度预测现象经过一段时间以后可33利用平均发展速度的原理，还可在年度增长率zy与月增长率zm（季增长率zs

）之间进行换算。它们的关系可表示为：例如，某地区居民消费总额2003年9月为200亿元，2005年5为260亿元。则居民民消费总额的月平均增长率和年平均增长率分别为：利用平均发展速度的原理，还可在年度增长率zy与月增长率zm342.方程式法计算平均发展速度各期实际水平的总和为：以平均发展速度作为各环比发展速度的代表值，用它来推算各期水平，并能使所推算的各期水平总和与实际相等，则有：将各期水平yi用期初水平与各期环比发展速度xi的乘积来表示，则上式可变成为：解上述方程，其正根＝平均发展速度。2.方程式法计算平均发展速度各期实际水平的总和为：以平均发35方程式法计算平均发展速度的特点方程式法计算结果取决于考察期内各期实际水平的累计总和，所以计算平均发展速度的方程式法又称为“累计法”。

以所求平均发展速度代替各期环比发展速度，推算的考察期内各期水平的累计总和与实际相等。着眼于考察全期的累计水平时，就适合用方程式法来计算平均发展速度。例，采用方程式法计算居民消费水平的平均发展速度：方程式法计算平均发展速度的特点方程式法计算结果取决于考察期内36（四）水平分析与速度分析的结合与应用1.正确选择基期首先要根据研究目的，正确选择基期。基期的选择一般要避开异常时期。2.注意数据的同质性不容许有0和负数，否则就不适宜计算速度，而只能直接用绝对数进行水平分析。如果现象在某各阶段内的发展非常不平衡，大起大落，就会降低甚至丧失平均速度以及平均发展水平和平均增长量的代表性和意义。3.将总平均速度与分段平均速度及环比速度结合分析4.将速度与水平结合起来分析既要考虑速度的快慢，也要考虑实际水平的高低把相对速度与绝对水平结合，可计算增长1%的绝对量。（四）水平分析与速度分析的结合与应用1.正确选择基期37增长1%的绝对量是用来补充说明增长速度的.一般只对环比增长速度计算，其计算公式为：例

销售额(万元)增长率(%)增长1%的绝对量(万元)

甲企业乙企业甲企业乙企业甲企业乙企业20041400120——

—

—

200516801802050141.2增长1%的绝对量是用来补充说明增长速度的.例销售额(万元)38第二节时间数列数据变动规律图示

一、时间数列资料的图示我们可以在直角坐标系里用散点图或线图来描绘时间数列。根据坐标轴尺度设计方法的不同，又可分为算术尺度图和半对数尺度图。二、水平型、季节型、趋势型、混和型时间数列的图形1．水平型水平型时间数列中只包含现象的不规则变动。2．季节型季节型时间数列中包含了现象的季节变动和不规则变动。第二节时间数列数据变动规律图示一、时间数列资料的图393．趋势型如果时间数列大体上存在着一种递增或递减的趋势，这样的时间数列称作趋势型数列。趋势型时间数列中包含了现象的长期趋势和不规则变动。4．混和型如果时间数列围绕着某种趋势发生周期长度相等的循环往复变动，这样的时间数列称作混和型时间数列。混和型时间数列中包含了现象的长期趋势、季节变动和不规则变动。识别时间数列类型的最基本方法是绘制动态散点图或折线图，观察资料的变动特征，同时结合实际情况作出判断。3．趋势型40第三节水平型时间数列和预测

一、时间数列的数据结构时间数列x1，x2，…，xN中，第t期数据xt（t=1，2，…，N）的数据结构为xt＝t＋t式中，t为常数，t为随机项，假定E(t)=0。于是，t为第t期的期望水平（平均水平）。二、水平型时间数列在数据结构式中，如果时间数列各期的t相等，即1＝2＝…＝N

，称这样的时间数列为水平型时间数列，

称作数列的“水平”，数列的各项观察值围绕上下波动。第三节水平型时间数列和预测一、时间数列的数据结构41三、移动平均修匀和预测

1．适用的对象：适用于1，2，…，N有缓慢变化的水平型时间数列。2．修匀的意图：尽可能把数列观察值由于受偶然因素影响发生的波动“修整”掉，从而近似显示出t的轨迹。3．修匀的思路是：(1)用简单算术平均的手段抵销数列中由偶然因素影响引起的波动；(2)参加平均的数据项数不宜太多，因为在较长的一段时间内的各项t可能会出现不同的水平；(3)随时间的推移，应陆续引入新的观察值，以便使平均数中反映数列“水平”可能会发生变化的信息（为使平均的项数保持不变，在引入新观察值的同时，应当相应地删掉老的早期观察值）。

三、移动平均修匀和预测425．移动平均数的概念：在时间数列中由远及近逐项移动计算一系列算术平均数。6．预测：把数列中最近的一个移动平均数作为未来1期的预测值。移动平均数预测的公式为7．简单移动平均预测法：上面的方法中用简单算术平均计算移动平均数，因此叫作简单移动平均预测法。8．加权移动平均预测法：在预测时可以给近期的数值以较大的权数，给远期的数值以较小的权数，经过这样改进的移动平均预测法叫作加权移动平均预测法。5．移动平均数的概念：在时间数列中由远及近逐项移动计算一系43四、指数平滑平均修匀和预测

1．概念：一次指数平滑预测法：把第ｔ期计算的一次指数平滑平均数作为第t＋1期的预测值。为适当选定的小于1的正数，称作平滑常数。2．第ｔ期的指数平滑平均数记作St，计算公式为：

St=xt＋(1–)St–1

式中，xt是第ｔ期的实际观察值。3．第ｔ＋1期的预测值记作，计算公式为：=xt＋(1–)

在运用上述公式时要假定一个数字作初始值。四、指数平滑平均修匀和预测1．概念：一次指数平444．指数平滑预测法和移动平均预测法相比较，主要的优点是：第一，指数平滑预测值在实质上是数列全部各期数据的平均数，而移动平均预测值则只是最近的Ｎ期数值的平均数。第二，指数平滑法对近期和远期资料分别给了由大到小不同的权数，而简单移动平均法是把各期资料等同看待。第三，指数平滑法把需要贮存的数据量压缩到最少。4．指数平滑预测法和移动平均预测法相比较，主要的优点是：45平滑系数α的选择α的选择是指数平滑法的关键，一般可从以下几个方面来考虑：(1)如果认为时间序列中随机波动成份较大，为了尽可能消除随机波动的影响，可选择较小的α；反之，若认为随机波动成份较小，为了及时跟踪现象的变化，突出最新数据的信息，可选择较大的α。(2)如果现象趋势的变化很平缓，可选择较小的α；如果现象趋势的变化比较剧烈，例如呈阶梯式特征，应选择较大的α。(3)通过大小不同的α值进行试算，使得预测误差最小的α值就是最合适的平滑系数。平滑系数α的选择α的选择是指数平滑法的关键，一般可从以下几个46第四节趋势型时间数列和预测

一、趋势型时间数列的种类二、p次指数平滑预测法三、数学模型拟合法第四节趋势型时间数列和预测一、趋势型时间数列的种类47一、趋势型时间数列的种类常见的有下列一些型式：直线抛物线指数曲线修正指数曲线罗吉斯曲线龚珀兹曲线等等一、趋势型时间数列的种类常见的有下列一些型式：48二、二次指数平滑的预测模型二次指数平滑E(2)是对第一次指数平滑值序列E(1)再计算指数平滑值，即：当现象有明显上升或下降趋势时，指数平滑值E(1)

与趋势值之间存在明显的滞后偏差，E(2)与E(1)之间也存在着同样的滞后偏差。根据三者之间滞后偏差的数量关系，可得出线性趋势模型中参数估计值at

和bt的，并由此得到相应的线性趋势预测模型。二、二次指数平滑的预测模型二次指数平滑E(2)是对第一次指49【例13-7】根据表13-5的数据，利用指数平滑法进行预测.解：取α=0.45，两次平滑的初始值都取为y1。参数估计值为：年份销售量一次指数平滑值E(1)二次指数平滑值E(2)atbt预测值935454.0054.00

945052.2053.1951.21-0.81

955252.1152.7051.52-0.4950.40966758.8155.4562.172.7551.03978269.2561.6676.836.2164.92987069.5965.2373.943.5783.04998978.3271.1285.525.8977.51008882.6876.3289.035.2091.42018483.2779.4587.103.1394.23029889.9084.1595.654.7090.22039190.3986.9693.832.81100.350410697.4291.67103.174.7196.642005年和2006年的销售量预测值为：【例13-7】根据表13-5的数据，利用指数平滑法进行预测.50利用二次指数平滑建立的线性趋势预测模型及其参数估计值的计算公式为：（K=1,2,…）

二次指数平滑预测模型是以最近一期的一、二次指数平滑值来估计线性趋势预测模型的参数，因此，其参数估计值是根据数据的最新变化而不断修正的。此预测方法适宜对现象进行短中期预测。利用二次指数平滑建立的线性趋势预测模型及其参数估计值的计算公51三、数学模型拟合法1．什么是数学模型拟合法根据xt在若干个时间数值上的观察值，建立f(t)的估计式，叫作为时间数列拟合数学模型。2．用最小平方法建立直线模型模型表达式为

三、数学模型拟合法1．什么是数学模型拟合法52写出上式中和的计算公式a为趋势线的截距，表示t=0时的趋势值。b为趋势线的斜率，表示当时间t每变动一个单位，趋势值的平均变动量。写出上式中和的计算公式a为趋势线的截距53【例13-8】

解：根据最小二乘法拟合的趋势方程为：=46.10606+4.84266t年份t观测值y1993154199425019953521996467199758219986701999789200088820019842002109820031191200412106——根据趋势方程可计算各期趋势值及残差——根据趋势方程也可进行外推预测趋势值残差50.953.0555.79-5.7960.63-8.6365.481.5270.3211.6875.16-5.1680.009.0084.853.1589.69-5.6994.533.4799.38-8.38104.221.78200513

109.06200614

113.90【例13-8】解：根据最小二乘法拟合的趋势方程为：年份t观543.非线性趋势方程——(1)K次曲线当现象的K级增长量大体接近一常数时，可拟合K次曲线趋势方程。二级增长量（二次差）—对逐期增长量序列再求逐期增长量三级增长量（三次差）—对二级增长量序列再求逐期增长量…以次类推，可计算时间序列的K级增长量。K次曲线趋势方程：3.非线性趋势方程——(1)K次曲线当现象的K级增55二次曲线和三次曲线实际中最常用的是二次曲线和三次曲线:二次曲线和三次曲线实际中最常用的是二次曲线和三次曲线:56（2）指数曲线当现象的逐期发展速度或增长速度大体相同时，即现象大致按几何级数递增或递减时，其长期趋势可拟合为指数曲线方程:a

相当于时间序列长期趋势的初始值，b

相当于平均发展速度。若b>1，呈递增趋势，b<1，时间序列呈递减趋势.估计参数a和b，可通过对数变换来线性化。或：（2）指数曲线当现象的逐期发展速度或增长速度大体相同时，即现57【例13-9】1989～2003年中国海关出口商品总额的数据如表13-9所示，试测定其长期趋势。解：从折线图可见，出口总额呈现不断上升的趋势，其长期趋势可用二次曲线来拟合。决定系数：R2=0.9576【例13-9】1989～2003年中国海关出口商品总额的数据58【例13-10】——指数趋势也可用指数曲线来拟合长期趋势：或决定系数：R2=0.9833从R2看，指数曲线的拟合效果更好。【例13-10】——指数趋势也可用指数曲线来拟合长期趋势：或59（3）其它非线性趋势曲线用来拟合现象非线性趋势的曲线还有修正指数曲线、龚泊兹曲线和逻辑斯蒂曲线等等。修正指数曲线的方程形式为：(0<b<1)数学特征：变量值的一次差的环比比率相等。直观的曲线特征:现象初期增长迅速、随后增长率逐渐下降直至最终以常数K为增长的极限。可用三点法或三和法来估计模型中的三个参数.（3）其它非线性趋势曲线用来拟合现象非线性趋势的曲线还有修正60龚泊兹曲线（Compertzcurve）龚泊兹曲线的方程形式为：(K>0)数学特征：变量值的对数一次差的环比比率相等。直观的趋势特征：初期增长缓慢、随后逐渐加快，达到一定程度后增长率又逐渐下降,直至接近一条水平线Y=K。取对数,可转化为修正指数曲线.龚泊兹曲线（Compertzcurve）龚泊兹曲线的方程61逻辑斯蒂曲线（Logisticcurve）逻辑斯蒂曲线的方程形式为：数学特征：变量值倒数的一次差的环比比率相等。所适合的场合与龚泊兹曲线的适合场合比较类似。(K>0,a>0,1≠b>0)逻辑斯蒂曲线（Logisticcurve）逻辑斯蒂曲线的62第五节季节型时间数列和预测

季节变动的测定方法季节变动的预测第五节季节型时间数列和预测季节变动的测定方法63一、季节变动的测定方法测定季节变动的意义掌握现象的季节变动规律，为决策和预测提供重要依据;从原序列中剔除季节变动的影响，更好地分析其他因素。季节变动的测定乘法模型中，季节变动的测定和分离都通过季节指数实现.按是否消除长期趋势影响来分，测定方法可分为两大类：至少要有三个以上季节周期的数据。一、季节变动的测定方法测定季节变动的意义64二、季节变动模型的编制基本原理是：假定时间序列呈水平趋势，通过对多年同期的数据进行简单算术平均，以消除不规则变动，再将各季节水平（同期平均数）与水平趋势值对比，即可得到季节指数。一般步骤：1.计算同期平均数

（i=1,2,…,L）即将不同年份同一季节的多个数据进行简单算术平均。其目的是消除不规则变动的影响。一般要先将各年同一季节的数据对齐排列.2.计算全部数据的总平均数用以代表消除了季节变动和不规则变动之后的全年平均水平，亦即整个时间序列的水平趋势值。3.计算季节指数（也称为季节比率)Si.二、季节变动模型的编制基本原理是：假定时间序列呈水平趋势，通65季节指数Si>100％，表示现象在第i期处于旺季，即第i期水平高于全年平均水平；Si<100％，表示第i期是个淡季，即该季节的水平低于全年平均水平。在一个完整的季节周期中，季节指数的总和等于季节周期的时间项数，或季节指数的均值等于1。或否则就要进行调整（即归一化处理）。调整方法是用各项季节指数除以全部季节指数的均值（或将所求的各项季节指数都乘以一个调整系数即可）。季节指数Si>100％，表示现象在第i期处于旺季，即第66季节指数图【例13-11】某企业生产的一种学生学习用复读机的销售量数据如表13-10所示，试用同期平均法计算各月的季节指数。

JanFebMarAprMayJunJulyAugSepOctNovDec20015153452425183780120562829200246484023232132741015025272003416347222123308613951332920045355502131203590112603137同月平均47.7554.7545.522.52520.533.582.511854.2529.2530.5季节指数(%)101.6116.596.847.953.243.671.3175.5251.1115.462.264.9100平均

47同期平均法简单，易理解，但只适用于呈水平趋势的序列。当现象呈现出明显上升（下降）趋势时，总会高估（低估）年末季节指数，相应地低估（高估）年初季节指数。季节指数图【例13-11】某企业生产的一种学生学习用复读机的67第六节混和型时间数列和预测时间序列的构成与分解混和型时间数列的预测第六节混和型时间数列和预测时间序列的构成与分解68一、时间序列的构成与分解（一）时间序列的构成因素按照影响的性质和作用形式，将时间序列的众多影响因素归结为以下四种：长期趋势(Trend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环变动(CyclicalVariation)不规则变动(IrregularVariations)一、时间序列的构成与分解（一）时间序列的构成因素691.长期趋势(Trend)长期趋势是指现象在相当长一段时间内沿某一方向持续发展变化的一种态势或规律性。它是时间序列中最基本的构成因素；由影响时间序列的基本因素作用形成；长期趋势有不同多种不同的类型按变化方向不同来分，有上升趋势、下降趋势和水平趋势三类。按变化的形态来分，长期趋势可分为线性趋势和非线性趋势两类。1.长期趋势(Trend)长期趋势是指现702.季节变动

(SeasonalFluctuation)季节变动——泛指现象在一年内所呈现的较有规律的周期性起伏波动。周期长度可以是一年，也可以小于一年；例如，农产品的生产、销售和储存通常都有淡季和旺季之分，以一年为一个周期；例如，超市的营业额和顾客人数的变动常常以七天为一个周期，每个周末是高峰期。引起季节变动的原因既可能是自然条件（如一年四季的更替），也可能是法规制度和风俗习惯等（如节假日）。2.季节变动(SeasonalFluctuation)713.循环变动(CyclicalFluctuation)循环变动指在较长时间内（通常为若干年）呈现出涨落相间、峰谷交替的周期性波动。例如，出生人数以20～25年为一个周期，太阳黑子数目大约11年为一个周期。太阳黑子数目的变化3.循环变动(CyclicalFluctuation)循72循环变动与长期趋势的异同都是需要长期观察才能显现的规律性；但长期趋势是沿着单一方向的持续变动，而循环变动是具有循环特征的波动，通常围绕长期趋势上下起伏。循环变动与季节变动的异同都是属于周期性波动，但对循环波动的识别和分析更为困难循环变动周期至少在一年以上，周期长短很不固定；波动形态和波幅等规律性也都不是很规则；引起循环变动的原因通常也不那么直观明显。循环变动与长期趋势的异同734.不规则变动(IrregularVariation)不规则变动（又称为剩余变动）——是没有规律可寻的变动，它是从时间序列分离了长期趋势、季节变动和循环变动之后剩余的因素。可细分为随机扰动和异常变动两种类型。随机扰动是短暂的、不可预期的和不可重复出现的众多细小因素综合作用的结果。表现为以随机方式使现象呈现出方向不定、时大时小的起落变动，但从较长观察时间内的总和或平均来看，一定程度上可以相互抵消。异常变动则是指一些具有偶然性突发性的重大事件如战争、社会动乱和自然灾害等引起的变动，其单个因素的影响较大，不可能相互抵消，在时间序列分析中往往需要对这种变动进行特殊处理。后面所讲的不规则变动一般仅指随机扰动。4.不规则变动(IrregularVariation)不74（二）时间序列因素分解的模型按照四种构成因素相互作用的方式不同，可以将上述关系设定为不同的合成模型，实际中最常用的有乘法模型和加法模型。若以Y表示序列的数值，T表示趋势值，S表示季节变动值，C表示循环变动值，I表示不规则变动值，下标t表示时间（t=1,2,…n）.（二）时间序列因素分解的模型按照四种构成因素相互作用的方式不75加法模型：假定四种因素的影响是相互独立的。每种因素的数值均与Y的计量单位和表现形式相同.如绝对数序列中各种因素的数值都为绝对量。季节变动和循环变动的数值有正有负，在它们各自的一个周期范围内，正负数值相互抵消，因而总和或平均数为零；不规则变动的数值也是有正有负，但只有从长时间来看其总和或平均数才趋于零。对各因素的分离采用减法。如，（Yt

–St）表示从序列中剔除季节变动的影响。加法模型：假定四种因素的影响是相互独立的。76乘法模型假定四种因素的影响作用大小是有联系的，只有趋势值与Y的计量单位和表现形式相同（一般为绝对量）；其余各种因素的数值均表现为以趋势值为基准的一种相对变化率，通常以百分数表示。各个时间上的季节变动和循环变动数值在100％上下波动，在它们各自的一个周期范围内，其平均值为100％；不规则变动值也是在100％上下波动，但只有从长时间来看其平均值才趋于100％。对各因素的分离则采用除法。例如，（Yt/St）表示从时间序列中剔除季节变动的影响乘法模型假定四种因素的影响作用大小是有联系的，77二、移动平均趋势剔除法趋势剔除法的基本原理：首先测定出各期趋势值，然后从原序列中消除趋势成份，最后再通过平均的方法消除不规则变动，从而测定出季节变动程度。最常用的趋势剔除法是移动平均趋势剔除法.采用移动平均法测定长期趋势，剔除趋势后再计算季节指数。实质上，此方法也适用于包含循环变动的场合。二、移动平均趋势剔除法趋势剔除法的基本原理：首先测定出各期趋78移动平均趋势剔除法的步骤1.计算移动平均值(M)。对原序列计算平均项数等于季节周期L的中心化移动平均值。旨在可消除原序列中的季节变动S和不规则变动I。若序列不包含循环变动即Y=T·S·I，则M=T。假定时间序列也包含循环变动即Y=T·S·C·I，则M＝T·C，可称之为趋势-循环值。2.剔除原序列中的趋势成份（或趋势-循环成份）。Y/M，得到只含季节变动和不规则变动的比率序列，即：或移动平均趋势剔除法的步骤1.计算移动平均值(M)。或79移动平均趋势剔除法的步骤3.消除不规则变动I。将各年同期（同月或同季）的比率（S·I）进行简单算术平均，可消除不规则变动I，从而可得到季节指数S。4.调整季节指数。对所求季节指数进行归一化处理。移动平均趋势剔除法的步骤3.消除不规则变动I。80【例9-14】年份季度销售额Y第一年1292903108414第二年13521123130424第三年14021083126428第四年14821393179433第五年15621523192435四项移均—

60.2561.7567.2572.7575.2576.5075.5074.5075.5077.5085.2598.5099.75101.75105.00108.25108.75—中心化四季移动平均值（M）——61.0064.5070.0074.0075.8876.0075.0075.0076.5081.3891.8899.13100.75103.38106.63108.50——趋势-循环剔除值（Y/M）——1.77050.21710.50001.51351.71330.31580.53331.44001.64710.34410.52241.40231.77670.31920.52521.4009——【例9-14】年份季度销售额Y第一年129290310881表13-4季节指数的计算表

1234总和一——1.77050.2171

二0.50001.51351.71330.3158

三0.53331.44001.64710.3441

四0.52241.40231.77670.3192

五0.52521.4009——

合计2.08105.75676.90761.1962

平均0.52021.43921.72690.29903.9854季节指数(%)0.52221.44451.73320.30014.0000表13-4季节指数的计算表1234总和一——1.770582统计学天津财经大学统计系统计学天津财经大学统计系9-83第十三章时间数列数据研究第一节时间数列的分析指标第二节时间数列数据变动规律图示第三节水平型时间数列和预测第四节趋势型时间数列和预测第五节季节型时间数列和预测第六节混合型时间数列和预测第十三章时间数列数据研究第一节时间数列的分析指标84第一节时间数列的分析指标一、时间数列的概念、种类及编制原则二、时间数列的发展水平和平均发展水平三、时间数列的增长量和平均增长量四、时间数列的速度指标第一节时间数列的分析指标一、时间数列的概念、种类及编制85表13-1年份国内生产总值第三产业所占比重（％）年底总人口（万人）人均国内生产总值(元/人)居民消费水平(元)1990————114333————199121617.833.41158231879

199226638.134.31171712287

199334634.432.71185172939

199446759.431.91198503923

199558478.130.712112148542236199667884.630.112238955762641199774462.630.912362660542834199878345.232.112476163082972199982067.532.912578665513138200089468.133.412674370863397200197314.834.1127627765136092002105172.334.3128453821438182003117251.933.212922791014089表13-1年份国内生产总值第三产业所占比重（％）年底86一、时间数列的概念时间数列（timeseries）—动态数列,把同一现象在不同时间上的观察数据按时间先后顺序排列起来所形成的数列。

两个基本要素：时间t；时间t的数据（水平）yt.基期水平与报告期水平；期初水平（y0或y1）,期末水平（yn）与中间水平。时间数列是动态分析的依据。一、时间数列的概念时间数列（timeseries）—动态87时间数列的种类（一）绝对数时间数列——最基本的时间数列时期数列时点数列（二）相对数时间数列如第三产业所占比重数列（三）均值时间数列如居民消费水平数列有关的绝对数序列派生的时间数列的种类（一）绝对数时间数列——最基本的时间数列有关的88（一）绝对数时间数列又称为总量指标时间数列；是指一系列同类的总量指标数据按时间先后顺序排列而形成的序列，反映现象在各个时间上达到的绝对水平。可分为时期数列和时点数列。时期数列，如国内生产总值数列时点数列，如年末总人口数列（一）绝对数时间数列又称为总量指标时间数列；89时期数列和时点数列的特点①时期数列的各个数据为时期指标(流量)，表示现象在各段时期内的总量。时期序列的各个数据为时点指标(存量)，反映现象在各个时点上所处的状态和所达到的水平.②时期数列中各期数据具有可加性，通过加总即可得到更长一段时间内的总量。时期数列中不同时点上的数据不能相加，即它们相加的结果没有意义。③时期数列中数值大小与所属时期长短有直接的关系，时期序列中各时点数值大小与时点间隔长短没有直接的联系。④时期数列中各期数据是对每段时间内发生的数量连续登记的结果，时点序列中数据通常不可能也不必要连续登记，时期数列和时点数列的特点①时期数列的各个数据为时期指标(90时间数列的编制原则保证时间序列中各项数据的可比性，是编制时间数列的基本原则。(一)时间一致(二)总体范围一致(三)经济内容、计算口径和计算方法一致时间数列的编制原则保证时间序列中各项数据的可比性，是编制91二、时间数列的发展水平和平均发展水平描述现象在某一段时间上发展变化的水平高低及其增长变化的数量多少。包括：发展水平平均发展水平增长量平均增长量二、时间数列的发展水平和平均发展水平描述现象在某一段时间上92（一）平均发展水平平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。统计上习惯把这种不同时间上数据的平均数称为序时平均数。它将现象在不同时间上的数量差异抽象掉，从动态上说明现象在一定发展阶段的一般水平。不同性质的时间序列，其计算方法也有所不同。（一）平均发展水平平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。931.绝对数时间序列的平均发展水平（1）时期序列的平均发展水平采用简单算术平均法：【例13-1】根据表11-1的数据，计算我国1991-2003年国内生产总值的年平均水平。解：1.绝对数时间序列的平均发展水平（1）时期序列的平均发展水94（2）时点序列的平均发展水平连续时点序列——用简单算术平均法对社会经济现象而言，已知每天数据可视为连续序列。不连续时点数列计算序时平均数先求分段平均数用来代表相邻两个时点之间各个时点上的水平假定现象均匀变化，分段平均数＝相邻两点数据的简单算术平均再求全期总平均数求全期总平均数＝分段平均数的加权算术平均权数

f

＝时点间的间隔长度（2）时点序列的平均发展水平连续时点序列——用简单算术平均法95不连续时点数列计算序时平均数—图示不连续时点数列计算序时平均数—图示96不连续时点数列计算序时平均数的公式当时点间隔相等，上式简化为:“首末折半法”——不连续时点数列计算序时平均数的公式当时点间隔相等，上式简97【例13-2】某地区2004年生猪存栏数量的几个时点数据,试计算该地区全年的生猪平均存栏数量。

时

间上年12/311/314/307/3110/3112/31存栏数(万头)472441345645

间隔（天）——13332解：【例13-2】某地区2004年生猪存栏数量的几个时点数据,试98【例13-3】根据表13-1中各年年末人口数，计算1991～2003年这13年间的平均人口数。解：

由不连续时点序列计算平均发展水平的计算公式是有假定条件的。实际中，计算结果通常只是近似值。一般认为，间隔越短，计算结果就越准确。【例13-3】根据表13-1中各年年末人口数，计算1991～992.相对数(或平均数)序列的平均发展水平相对数(或平均数)zi＝yi/xi(yi和xi为总量指标)由于各个zi的对比基数xi不尽相同，所以不能将各期zi简单算术平均。正确的计算方法是：分别计算绝对数序列y和x

的平均发展水平；再由这两个平均发展水平对比来得到所求的平均发展水平，即：其实质是对各期的相对数（或平均数）加权算术平均！2.相对数(或平均数)序列的平均发展水平相对数(或平均数)100【例13-4】根据表13-1的数据，试计算1991～2003年中国人均国内生产总值的平均发展水平。解：年平均国内生产总值为69238.06亿元，平均人口数为122588.23万人，故人均国内生产总值的平均发展水平(单位：元/人)【例13-4】根据表13-1的数据，试计算1991～2003101（一）增长量（增减量）＝报告期水平－基期水平说明现象在观察期内增长的绝对数量；基期不同，有逐期增长量与累计增长量之分：*逐期增长量＝报告期水平－上期水平逐期增长量说明现象逐期增长的数量。*累计增长量＝报告期水平－固定基期水平累计增长量说明一段时期内总共增长的数量。关系：累计增长量＝相应时期的逐期增长量总和.*同比增长量＝报告期水平-上年同期水平三、时间数列的增长量与平均增长量（一）增长量（增减量）＝报告期水平－基期水平三、时间数列的增102（二）平均增长量平均增长量逐期增长量的序时平均数；计算方法采用算术平均法。（二）平均增长量平均增长量103例13-5解：居民消费水平的年平均增长量为：年份199519961997199819992000200120022003居民消费水平223626412834297231383397360938184089逐期增长量

405193138166259212209271累计增长量

4055987369021161137315821853根据下表数据，计算我国居民消费水平的增长量和平均增长量。例13-5解：居民消费水平的年平均增长量为：年份19951104四、时间数列的速度指标（一）发展速度＝报告期水平／基期水平说明现象在观察期内发展变化的相对程度；有环比发展速度与定基发展速度之分环比发展速度＝报告期水平／上期水平反映现象逐期发展变动的程度，也可称为逐期发展速度。定基发展速度＝报告期水平／固定基期水平反映现象在较长一段时间内总的发展变动程度，也称为发展总速度。

四、时间数列的速度指标（一）发展速度＝报告期水平／基期水平105二者关系：定基发展速度＝相应时期的环比发展速度之积。相邻两定基发展速度之商＝相应的环比发展速度。为了消除季节变动因素的影响，可计算：二者关系：106（二）增长速度（增长率）增长速度（增减速度）——增长量与基期水平之比，说明现象增长变化的相对程度；基期不同，分环比增长速度与定基增长速度环比增长速度＝逐期增长量／上期水平＝环比发展速度－１定基增长速度＝累计增长量／固定基期水平＝定基发展速度－１（二）增长速度（增长率）增长速度（增减速度）——增长量与基期107二者关系：定基增长速度（总增长速度）不等于相应各环比增长速度之和（积）。几种速度指标之间的相互关系如下所示：环比增长速度环比发展速度定基增长速度定基发展速度乘/除二者关系：环比增长速度环比发展速度定基增长速度定基发展速度乘108为了消除季节变动因素的影响，也常常计算：为了消除季节变动因素的影响，也常常计算：109速度的表现形式和文字表述速度指标的表现形式：一般为%、倍数，也有用‰、番数等等。翻m番，则有：报告期水平=基期水平×2m速度的文字表述：发展速度—相当于、发展为、增长到、减少到、下降为…报告期水平增长为基期水平的…%；以基期水平为100%，报告期水平增长为…%.增长速度—提高（了）、减少（了）、下降（了）…

报告期水平比基期水平增长（了）的…%；

以基期水平为100%，报告期水平增长（了）…%。速度的表现形式和文字表述速度指标的表现形式：一般为%、倍数110（三）平均发展速度和平均增长速度平均增长速度——表示逐期增长变动的平均程度，即各期环比增长速度的一般水平，但不能对各环比增长速度直接平均。因为算术平均法或几何平均法都不符合增长速度这种现象的性质。正确的计算方法：平均增长速度＝平均发展速度—1平均增长速度为正（负）值，表明平均说来现象在考察期内逐期递增（减）。（三）平均发展速度和平均增长速度平均增长速度——表示逐期111平均发展速度的计算方法1.几何平均法计算平均发展速度（水平法）以

xi

表示环比发展速度，根据环比发展速度与总速度的关系，计算平均发展速度可该采用几何平均法：三个计算公式实质上是一致的。可根据所掌握的数据来选择。ｎ＝环比发展速度个数＝时间序列水平项数－1平均发展速度的计算方法1.几何平均法计算平均发展速度（水112【例13-6】根据表13-4的数据，计算中国1991～2003年居民消费水平的平均发展速度和平均增长速度。解：平均发展速度可根据三种资料来计算：平均增长速度＝107.84％-100％＝7.84％即1991～2003年间，我国居民消费水平平均每年递增7.84%.【例13-6】根据表13-4的数据，计算中国1991～200113用所求平均发展速度代表各环比发展速度，推算的最末一期的水平与实际相等推算的总速度（最末一期的定基速度）也与实际相等。几何平均法计算平均发展速度着眼于最末一期的水平，故称为“水平法”。如果关心现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。几何平均法较为简单直观，既便于各种速度之间的推算，也便于预测未来某期的水平，因此有着广泛的应用。几何平均法的特点用所求平均发展速度代表各环比发展速度，几何平均法的特点114平均发展速度的应用根据平均速度预测现象经过一段时间以后可能达到的水平。例如，若我国居民消费水平继续按上面所求出的平均速度递增，则可预测到2010年，居民消费水平可达:y2010＝y2003×(平均发展速度)7＝4089×1.07847=6935.48(元)平均发展速度的应用根据平均速度预测现象经过一段时间以后可115利用平均发展速度的原理，还可在年度增长率zy与月增长率zm（季增长率zs

）之间进行换算。它们的关系可表示为：例如，某地区居民消费总额2003年9月为200亿元，2005年5为260亿元。则居民民消费总额的月平均增长率和年平均增长率分别为：利用平均发展速度的原理，还可在年度增长率zy与月增长率zm1162.方程式法计算平均发展速度各期实际水平的总和为：以平均发展速度作为各环比发展速度的代表值，用它来推算各期水平，并能使所推算的各期水平总和与实际相等，则有：将各期水平yi用期初水平与各期环比发展速度xi的乘积来表示，则上式可变成为：解上述方程，其正根＝平均发展速度。2.方程式法计算平均发展速度各期实际水平的总和为：以平均发117方程式法计算平均发展速度的特点方程式法计算结果取决于考察期内各期实际水平的累计总和，所以计算平均发展速度的方程式法又称为“累计法”。

以所求平均发展速度代替各期环比发展速度，推算的考察期内各期水平的累计总和与实际相等。着眼于考察全期的累计水平时，就适合用方程式法来计算平均发展速度。例，采用方程式法计算居民消费水平的平均发展速度：方程式法计算平均发展速度的特点方程式法计算结果取决于考察期内118（四）水平分析与速度分析的结合与应用1.正确选择基期首先要根据研究目的，正确选择基期。基期的选择一般要避开异常时期。2.注意数据的同质性不容许有0和负数，否则就不适宜计算速度，而只能直接用绝对数进行水平分析。如果现象在某各阶段内的发展非常不平衡，大起大落，就会降低甚至丧失平均速度以及平均发展水平和平均增长量的代表性和意义。3.将总平均速度与分段平均速度及环比速度结合分析4.将速度与水平结合起来分析既要考虑速度的快慢，也要考虑实际水平的高低把相对速度与绝对水平结合，可计算增长1%的绝对量。（四）水平分析与速度分析的结合与应用1.正确选择基期119增长1%的绝对量是用来补充说明增长速度的.一般只对环比增长速度计算，其计算公式为：例

销售额(万元)增长率(%)增长1%的绝对量(万元)

甲企业乙企业甲企业乙企业甲企业乙企业20041400120——

—

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200516801802050141.2增长1%的绝对量是用来补充说明增长速度的.例销售额(万元)120第二节时间数列数据变动规律图示

一、时间数列资料的图示我们可以在直角坐标系里用散点图或线图来描绘时间数列。根据坐标轴尺度设计方法的不同，又可分为算术尺度图和半对数尺度图。二、水平型、季节型、趋势型、混和型时间数列的图形1．水平型水平型时间数列中只包含现象的不规则变动。2．季节型季节型时间数列中包含了现象的季节变动和不规则变动。第二节时间数列数据变动规律图示一、时间数列资料的图1213．趋势型如果时间数列大体上存在着一种递增或递减的趋势，这样的时间数列称作趋势型数列。趋势型时间数列中包含了现象的长期趋势和不规则变动。4．混和型如果时间数列围绕着某种趋势发生周期长度相等的循环往复变动，这样的时间数列称作混和型时间数列。混和型时间数列中包含了现象的长期趋势、季节变动和不规则变动。识别时间数列类型的最基本方法是绘制动态散点图或折线图，观察资料的变动特征，同时结合实际情况作出判断。3．趋势型122第三节水平型时间数列和预测

一、时间数列的数据结构时间数列x1，x2，…，xN中，第t期数据xt（t=1，2，…，N）的数据结构为xt＝t＋t式中，t为常数，t为随机项，假定E(t)=0。于是，t为第t期的期望水平（平均水平）。二、水平型时间数列在数据结构式中，如果时间数列各期的t相等，即1＝2＝…＝N

，称这样的时间数列为水平型时间数列，

称作数列的“水平”，数列的各项观察值围绕上下波动。第三节水平型时间数列和预测一、时间数列的数据结构123三、移动平均修匀和预测

1．适用的对象：适用于1，2，…，N有缓慢变化的水平型时间数列。2．修匀的意图：尽可能把数列观察值由于受偶然因素影响发生的波动“修整”掉，从而近似显示出t的轨迹。3．修匀的思路是：(1)用简单算术平均的手段抵销数列中由偶然因素影响引起的波动；(2)参加平均的数据项数不宜太多，因为在较长的一段时间内的各项t可能会出现不同的水平；(3)随时间的推移，应陆续引入新的观察值，以便使平均数中反映数列“水平”可能会发生变化的信息（为使平均的项数保持不变，在引入新观察值的同时，应当相应地删掉老的早期观察值）。

三、移动平均修匀和预测1245．移动平均数的概念：在时间数列中由远及近逐项移动计算一系列算术平均数。6．预测：把数列中最近的一个移动平均数作为未来1期的预测值。移动平均数预测的公式为7．简单移动平均预测法：上面的方法中用简单算术平均计算移动平均数，因此叫作简单移动平均预测法。8．加权移动平均预测法：在预测时可以给近期的数值以较大的权数，给远期的数值以较小的权数，经过这样改进的移动平均预测法叫作加权移动平均预测法。5．移动平均数的概念：在时间数列中由远及近逐项移动计算一系125四、指数平滑平均修匀和预测

1．概念：一次指数平滑预测法：把第ｔ期计算的一次指数平滑平均数作为第t＋1期的预测值。为适当选定的小于1的正数，称作平滑常数。2．第ｔ期的指数平滑平均数记作St，计算公式为：

St=xt＋(1–)St–1

式中，xt是第ｔ期的实际观察值。3．第ｔ＋1期的预测值记作，计算公式为：=xt＋(1–)

在运用上述公式时要假定一个数字作初始值。四、指数平滑平均修匀和预测1．概念：一次指数平1264．指数平滑预测法和移动平均预测法相比较，主要的优点是：第一，指数平滑预测值在实质上是数列全部各期数据的平均数，而移动平均预测值则只是最近的Ｎ期数值的平均数。第二，指数平滑法对近期和远期资料分别给了由大到小不同的权数，而简单移动平均法是把各期资料等同看待。第三，指数平滑法把需要贮存的数据量压缩到最少。4．指数平滑预测法和移动平均预测法相比较，主要的优点是：127平滑系数α的选择α的选择是指数平滑法的关键，一般可从以下几个方面来考虑：(1)如果认为时间序列中随机波动成份较大，为了尽可能消除随机波动的影响，可选择较小的α；反之，若认为随机波动成份较小，为了及时跟踪现象的变化，突出最新数据的信息，可选择较大的α。(2)如果现象趋势的变化很平缓，可选择较小的α；如果现象趋势的变化比较剧烈，例如呈阶梯式特征，应选择较大的α。(3)通过大小不同的α值进行试算，使得预测误差最小的α值就是最合适的平滑系数。平滑系数α的选择α的选择是指数平滑法的关键，一般可从以下几个128第四节趋势型时间数列和预测

一、趋势型时间数列的种类二、p次指数平滑预测法三、数学模型拟合法第四节趋势型时间数列和预测一、趋势型时间数列的种类129一、趋势型时间数列的种类常见的有下列一些型式：直线抛物线指数曲线修正指数曲线罗吉斯曲线龚珀兹曲线等等一、趋势型时间数列的种类常见的有下列一些型式：130二、二次指数平滑的预测模型二次指数平滑E(2)是对第一次指数平滑值序列E(1)再计算指数平滑值，即：当现象有明显上升或下降趋势时，指数平滑值E(1)

与趋势值之间存在明显的滞后偏差，E(2)与