小学奥数26数的进制

小学奥数26数的进制小学奥数26数的进制小学奥数26数的进制小学奥数26数的进制编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:2.8数的进制2.8.1相关概念同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制即“满10进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留惦一下，在我们日常生活中，不仅使用十进制还使用其他许多进制呢！你信不信？我举一些例子。

两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……。怎么样？实际上还可以发现更多的这样的例子。

随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧？可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。

1、什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制是11；4写成二进制数便是100，那么5呢？应该是101。

同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表：表1十进制二进制十进制二进制12345678110111001011101111000910111213141516100110101011110011011110111110000二进制的优缺点二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下表中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。表20与1白与黑虚与实负与正点与划小与大１１０１●●○●－－…－＋＋－＋――·－○○о○当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数和在二进制中要比在十进制中位数多得多。2.8.2二进制转十进制为了叙述的方便，我们约定：用（）2表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（）10表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。步骤：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。例1将（10110）2改成十进制数在表1中可以看到：二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律；二进制数100000应该表示十进制数32，…。那么我们写下一个二进制数10110，则应表示它含有一个16，一个4与一个2，也就是（10110）2＝1×16＋0×8＋1×4＋1×2＋0×1=（22）10例2将（101101）2改成十进制数。（101101）2=1×32+0×16+1×8+1×4+0×2+1×1=（45）102.8.3十进制转二进制271……1235271……1235……1217……128……024……022……01……1例如要将（71）10写成二进制数，参见右式。我们将71除以2，余数1相应写在右边（如果除尽，余数则写0）；再将商35除以2，余数1相应写在右边；再将这步的商17除以2，重复上述过程，直到商等于1为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即（71）10＝（1000111）2例2：把十进制数38改写成二进制数。238……238……0数“满二进219……1一219……1为止，把29……29……1制数，24……01024……01011……122……0即：38（10）=100110（2）2.8.4二进制的四则运算二进制四则运算和十进制四则运算原理相同，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。二进制运算口诀则更为简单。2.8.4.1加法二进制加法，在同一数位上只有四种情况：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10。只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完成加法运算。例1二进制加法（1）10110＋1101；（2）1110＋101011。解加法算式和十进制加法一样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满二向上一位进一。10110＋1101＝1000111110＋101011＝111001通过计算不难验证，二进制加法也满足“交换律”，如101＋1101＝1101＋101＝10010。多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下一个加数相加。例2二进制加法（1）101＋1101＋1110；（2）101＋（1101＋1110）。解（1）101＋1101＋1110（2）101＋（1101＋1110）＝10010＋1110＝101＋11011＝100000；＝100000从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。2.8.4.2减法二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，“借一当二”。例3二进制减法（1）11010－11110；（2）10001－1011。解（1）110101－11110＝10111；（2）10001－1011＝110。例4二进制加减混合运算（1）110101＋1101－11111；（2）101101－11011＋11011。解（1）110101＋1101－11111＝1000010－11111＝100011（2）101101－11011＋11011＝10011＋11011＝101101。2.8.4.3乘法二进制只有两个数码0和1，乘法口诀只有以下几条：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1概括成口诀：零零得零，一零得零，一一得一。二进制乘法算式和十进制写法也一样。例5二进制乘法（1）1001×101；（2）11001×1010。解（1）1011×101＝110111；（2）11001×1010＝11111010。例6二进制运算（1）101×1101；（2）1101×101；（3）（101＋11）×1010；（4）101×1010＋11×1010。解（1）（2）101×1101＝1000001；1101×101＝1000001；（3）（101＋11）×1010＝1010000；（4）101×1010＋11×1010＝1010000从例6的计算结果可以看出，二进制乘法满足“交换律”；乘法对加法也满足“分配律”。对这一结论，大家还可以进行多次验证。2.8.4.4除法除法是乘法的逆运算，二进制除法和十进制除法也一样，而且更简单，每一位商数不是0，就是1。例7二进制除法（1）10100010÷1001；（2）10010011÷111。解（1）（2）1010