时间序列模型的分析课件

第五章时间序列模型的分析

本章讨论时间序列的基本概念与相关模型,介绍这些模型的特点、参数估计方法和检验方法.第五章时间序列模型的分析本章讨论时间序第一节时间序列模型简介

时间系列数据(timeseriesdata)是以时间顺序排列的数据序列，是经济学研究中的一种常见数据形式。图5-1给出了一个时间序列的基本例子(不同年份的GDP与财政收入的时间序列数据)。第一节时间序列模型简介时间系列数据(t时间序列模型(timeseriesmodel)

研究和分析时间序列数据的模型称为时间序列模型，时间序列方法已成为现代计量经济学的重要内容。时间序列模型按时间序列的特性，分为不同的种类。例如根据时间序列的平稳性，可分为平稳时间序列和非平稳时间序列；而根据时间序列中变量的相关性，又可分为自回归模型、移动平均模型和自回归移动平均模型等。时间序列模型(timeseriesmodel)时间序列的基本模型

(1)模型的函数形式；(2)滞后变量的个数；(3)误差项u的相关性。

一个时间序列模型的设定中，应包括三个要素：(5-1)时间序列的基本模型(1)模型的函数形式；第二节平稳时间序列模型

当时间序列满足：(1)，即均值为常数；(2)，即方差为常数；(3)，即协方差与两个时间相距的长度有关，而与时间的具体位置无关。则称为平稳时间序列，或弱平稳序列或协方差平稳序列。当时间序列的所有统计性质都不会随时间而发生变化时，称为严格平稳。本章主要采用弱平稳定义。第二节平稳时间序列模型当时间序列时序图

时序图通常由横轴表示时间，纵轴表示时间序列值。根据时序图可以直观地了解时间序列的一些基本分布特征。图5-1是中国GDP和财政收入的时序图。由于GDP和财政收入有明显的递增趋势,所以都不是平稳时间序列。时序图时序图通常由横轴表示时间，纵轴表示时间平稳时间序列的意义传统的统计分析通常有如下的数据结构

一般,时间序列的每个只取得1个观察值时,通常这样的数据是无法进行分析的。但由于序列的平稳性则可以有效地解决这一问题。平稳时间序列的意义传统的统计分析通常有如下的数据结构例5-1

一个人的健康指标会随饮食、休息等因素而变化。若每隔一段时间(如一个月)检查一次身体，则当时间序列是平稳时，就可以根据样本数据估计健康指标的均值、方差和协方差。例5-1一个人的健康指标会随饮食、休息等因素白噪声时间序列(Whitenoisetimeseries)则称时间序列为白噪声序列，或纯随机序列。根据平稳时间序列的定义，白噪音序列是一个平稳时间序列。

如果时间序列满足如下性质：白噪声时间序列(Whitenoisetimeserie一、移动平均过程(MA)其中和为常数，而随机干扰为白噪声。(5-3)式称为一阶移动平均过程，记为MA(1)。

移动平均过程(movingaverageprocess，简称MA)是最基本的平稳时间序列模型，最简单的移动平均过程为(5-3)一、移动平均过程(MA)其中和为常数，而

由于时间序列为白噪音序列，则的均值、方差和协方差分别为MA(1)的统计性质(5-4)所以MA(1)是一个平稳时间序列，并可得相关系数(5-5)由于时间序列为白噪音序列，则的均q阶移动平均过程

q阶移动平均过程记为MA(q)(5-6)其中和为常数。同样可得q阶移动平均过程q阶移动平均过程记为MAq阶移动平均过程(5-7)即MA(q)的方差和协方差只与滞后期数q有关，从而MA(q)也是一个平稳时间序列。为了方便,今后记q阶移动平均过程(5-7)即MA(q)的方差和协方差只与无穷阶移动平均过程

q阶移动平均过程可推广到无穷阶移动平均过程,记为MA(∞),当绝对收敛(绝对可加)或平方收敛(平方可加)，即则MA(∞)仍为平稳时间序列。(5-9)无穷阶移动平均过程q阶移动平均过程可推广到二、自回归过程(AR)

自回归模型(autoregressivemodel,简称AR)是讨论时间序列的现期与其滞后变量间相关性的模型。具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)(5-10)其中和为常数，为白噪声序列，且，即过去的序列值与干扰项无关。二、自回归过程(AR)自回归模型(autore一阶自回归模型

最简单的自回归模型为一阶自回归过程，简记为AR(1):

引进滞后算子L,即，一般。根据滞后算子，(5-11)可写为(5-11)AR模型并非都是平稳的，AR(1)平稳的充分条件是。(5-12)一阶自回归模型最简单的自回归模型为一阶自回归AR(1)的统计性质

设AR(1)满足平稳条件，即而为白噪声序列。,仅与有关AR(1)的统计性质设AR(1)满足平稳条件1均值

根据假定，由于于是1均值根据假定，由于于是2方差

根据假定，有则由此即得AR(1)的平稳条件。2方差根据假定，有则由此即得AR(1)的平3协方差

对于AR(1)，协方差有如下递推公式于是而对于AR(1)，已知得(5-14)3协方差对于AR(1)，协方差有如下递推公AR(1)模型的相关图

对于AR(1)模型,自相关系数例如，当时，则这表明对于平稳时间序列，相隔越远，则过去值对现期值得影响越小。图5-2给出了相应的自相关系数序列，称为相关图。平稳时间序列的自相关系数的衰减速度很快,而非平稳时间序列的衰减速度则较慢。(5-15)AR(1)模型的相关图对于AR(1)模型,样本估计

对于平稳时间序列,序列的均值为常数。表明这时的每个随机变量的均值都相等,即。从而成为的样本观察值,则的估计为

同样,可得协方差的估计为而自相关系数的估计为样本估计对于平稳时间序列,序列的均值为常数例

1964–1999年我国纱年产量的数据如下,试给出纱年产量的自相关图。例1964–1999年我国纱年产量的数据如样本自相关图样本自相关图二阶自回归模型

二阶自回归模型记为AR(2)假定AR(2)为平稳序列，则即(5-16)二阶自回归模型二阶自回归模型记为AR(2)假中心化模型

由于AR(2)为平稳序列时，代入(5-16)记,则得中心化AR(2)模型两边同乘后求期望，得(5-17)根据AR(p)的基本假定中心化模型由于AR(2)为平稳序列时，AR(2)的方差与协方差

对上式分别取，得由(5-18)整理得方差从而可得AR(2)的平稳条件(5-18)AR(2)的方差与协方差对上式分别取特征方程(characteristicequation)

例如，对AR(2)的中心化模型记(5-17)(5-19)于是(5-17)可改写为把(5-19)中的L作为变量并用z

表示，则称为AR(2)的特征方程。特征方程(characteristicequation)特征根判别

上述用系数判别模型的平稳性方法称为平稳域判别,另一种方法则是特征根判别。例如，AR(2)平稳的条件是特征方程的根都落在单位圆之外，即其中。对平稳的AR模型，参数估计可直接采用OLS法，估计量是无偏和一致的。特征根判别上述用系数判别模型的平稳性方例

检验AR(2)模型的平稳性。(1)由于根据平稳域判别，该模型时平稳的(2)由于特征方程的两个根分别为5和10/9=1.11，即两个根都大于1，从而根据特征根判别，该模型平稳。在实际应用中，模型参数是未知的,从而无法用上述方法判别模型的平稳性，下一节将讨论有关的统计方法。例检验AR(2)模型AR(p)模型阶数p的确定

AR(p)模型阶数p通常可由偏自相关系数来选择，也可根据赤池信息准则(Akaikeinformationcriterion,简记AIC)来选择，在假设模型的阶数为k时计算其中RSS为残差平方和。AIC准则选择AIC(k)的最小值所对应的正整数k为AR(p)模型的阶数。(5-21)AR(p)模型阶数p的确定AR(p)模型AR(2)的自相关系数方程据(5-18)则得自相关系数方程这个方程组也称为尤勒—沃克方程(yule-walkerequation),通过解该方程组，可得参数和的解。AR(2)的自相关系数方程据(5-18)则得自三、ARMA过程

具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)(5-23)其中。显然，当q=0时，ARMA(p,q)模型成为AR(p)模型，而当p=0时，ARMA(p,q)模型就成为MA(q)模型。所以,ARMA模型同时包括自回归模型和移动平均模型，而AR(p)模型和MA(q)模型实际上是ARMA(p,

q)的特例。三、ARMA过程具有如下结构的模型称为自回ARMA(p,q)模型的平稳条件

由于q阶移动平均过程是平稳的，从而ARMA(p,q)的平稳性完全由自回归部分的平稳性所决定，于是ARMA(p,q)模型的平稳条件是的根都落在单位圆之外。ARMA(p,q)模型的平稳条件由于qARMA(p,q)模型的均值

设ARMA(p,q)模型满足平稳条件，则均值即于是(5-23)可转换为(5-24)ARMA(p,q)模型的均值设ARMAARMA(p,q)模型的协方差

(5-24)两边同乘得根据AR(p)模型的基本假定于是得(5-25)ARMA(p,q)模型的协方差(5-2过度参数化

对给定的样本数据，可能会有多个可以选择的模型。在实际工作中，应尽可能采用较简单的模型，即避免过度参数化。例如，对于ARMA(3,3)模型，若自回归项和移动平均项有相同的特征根，则删去后就可以减少模型的参数，ARMA(3,3)则简化为ARMA(2,2)，避免了模型过度参数化。过度参数化对给定的样本数据，可能会有多个可以例

1950-1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例的数据如下例1950-1998年北京市城乡居民定期储蓄所占1时序图

时序图表明北京市城乡居民定期储蓄占储蓄存款余额的比例比较稳定,大致在80%左右。1时序图时序图表明北京市城乡居民定期储蓄占2自相关图

序列的自相关系数递减速度很快,在延迟8项后自相关系数在零附近摆动,可以认为该序列是平稳的。2自相关图序列的自相关系数递减速度很快,3模型识别

由于认为该序列是平稳的,从而可拟合ARMA模型。又由于自相关系数递减过程相当连续,可认为不截尾(拖尾),应选AR模型。先选AR(1)、AR(2)和AR(3),通过比较后,再确定阶数。3模型识别由于认为该序列是平稳的,从而可拟合AR(1)模型AR(1)模型AR(2)模型AR(2)模型AR(3)模型AR(3)模型4选择合适模型由于从而可选择AR(2),但由于AR(2)中的系数不显著,最后选择AR(1)模型,得4选择合适模型由于从而可选择AR(2),但由于第三节非平稳时间序列模型当时间序列不满足弱平稳条件，即不是弱平稳序列，则称为非平稳时间序列。平稳时间序列的均值和方差为常数，但许多常用的经济时间序列不具有平稳性，而是持续增大或减小。图5-3给出了商品零售价格指数序列和GDP序列。商品零售价格指数序列基本保持平稳，但GDP序列持续上升。这表明仅采用平稳时间序列模型来研究和分析经济时间序列数据是不够的，还需要研究非平稳时间序列。第三节非平稳时间序列模型当时间序列趋势平稳模型与单位根过程对非平稳序列，一般采用如下两种方法进行处理1、趋势平稳(trend-stationary)模型这种方法是引入一个非随机的时间趋势项，例如于是均值不再是常数，但去掉趋势项，模型则为平稳序列。2、单位根过程(unitrootprocess)这种方法是采用单位根过程由于(5-27)的特征方程根为1(称为单位根)，从而(5-27)是非平稳序列(5-26)(5-27)趋势平稳模型与单位根过程对非平稳序列，一般采随机游动过程(randomwalkprocess)在经济学研究中，单位根过程是一种最常见的非平稳过程。而随机游动过程是一种典型的非平稳序列模型

其中为白噪声序列。(5-28)是随机游动的基本模型，而(5-27)则是一种扩展。(5-28)随机游动过程(randomwalkprocess)趋势平稳模型与单位根过程的主要区别(1)在单位根过程中，都对存在影响。而对趋势平稳模型，只影响。(2)对趋势平稳模型，去掉趋势项后模型为平稳序列。记即差分后的模型是平稳过程，从而单位根过程也称为差分平稳过程。称为的一阶差分。对于单位根过程(5-29)趋势平稳模型与单位根过程的主要区别(1)在单一、非平稳时间序列简介对于非平稳序列，例如随机游动序列，经典回归分析方法不再适用。假定和是两个互不相关的随机游动序列，即为了方便，设。则若采用线性回归模型不妨设，于是(5-30)(5-31)一、非平稳时间序列简介对于非平稳序列，例如随机误差项的方差根据(5-31)，误差项的方差即误差项方差与t有关，会随t的增加而无限增大。由于存在异方差，相应的t检验和F检验不再适用。这种具有单位根过程的非平稳序列时的回归分析，也称为伪回归(spuriousregression)。误差项的方差根据(5-31)，误差项的方差即例5-3设和是互不相关的随机游动过程(图5-4)，采用(5-30)的线性回归模型，有T检验显著，即认为。而这与与不相关矛盾。图5-5表明误差项很可能是非平稳的，而这时的t统计量不再服从t分布。例5-3说明和虽然不相关，但伪回归却得到了相反的结果。因此，在时间序列分析时，应重视伪回归问题。例5-3设和是时间序列的单积性如果时间序列，经过i次差分才成为平稳时间序列,称为i阶单积序列，记为I(i)，简记为。从而平稳时间序列可称为0阶单积序列，记为。例5-3中的时间序列和都只需一次差分就可以成为平稳时间序列，从而都是一阶单积序列，记为。若ARMA(p,q)过程为i阶单积序列，记为ARIMA(p,i,q)。若时间序列是和的线性组合，即~设,,且则。~~~时间序列的单积性如果时间序列，二、单位根时间序列的检验在计量经济学中，最常见的非平稳序列就是单位根过程。因此，最常见的非平稳序列检验就是单位根检验。有一些很平稳的序列，可以通过时间序列图做出判断，但对复杂的时间序列，则应采用统计检验方法做出判断。二、单位根时间序列的检验在计量经济学中，最常三种模型考虑如下的三种模型(5-33)是一个简单的随机游动模型，(5-34)则带有移动量(截距)a,而(5-35)还带有趋势项。(5-33)(5-34)(5-35)三种模型考虑如下的三种模型(5-33)是一个迪基—富勒(Dickey-Fuller)检验(简称DF检验)对(5-33)、(5-34)和(5-35)，若，则存在单位根。因而，是否存在单位根可归结为检验：对模型(5-33)、(5-34)和(5-35)，先采用OLS求得，检验统计量(一般称统计量)，查DF检验的t分布表得临界值（三个模型的临界值是不同的）当，接受，认为序列存在单位根；当，拒绝，认为序列不存在单位根。迪基—富勒(Dickey-Fuller)检验(简称DF检验)φ检验对如下的原假设其中为限制条件的个数，n是样本量，而k表示非限制模型中的系数个数，于是n-k为非限制模型的自由度。查DF检验的分布表可得临界值(三个模型的临界值是不同的)。检验统计量分别为和。且(5-36)φ检验对如下的原假设其中为限制条件的拓展迪基—富勒检验(简记ADF检验)DF检验设定的三种模型都是一阶自回归序列，而对于多阶自回归序列，则需对模型进行整理转化。考虑p阶自回归模型(5-37)可转化为如下拓展模型对(5-38)可采用DF检验。也可对模型增加截距项或趋势项。ADF检验统计量，并采用DF检验的临界值。(5-38)拓展迪基—富勒检验(简记ADF检验)DF检验设例利用1970至1991年期间美国的GDP数据说明DF检验。例利用1970至1991年期间美国的1带有移动量的随机游动模型1带有移动量的随机游动模型带有移动量随机游动模型的DF检验查DF统计量分布表得由于从而接受,认为GDP序列存在单位根。带有移动量随机游动模型的DF检验查DF统计量分布表得由于从而2带有移动量和线性时间趋势量的随机游动模型2带有移动量和线性时间趋势量的随机游动模型带有移动量和线性时间趋势量随机游动模型的DF检验查DF统计量分布表得由于从而接受,仍认为GDP序列存在单位根。带有移动量和线性时间趋势量随机游动模型的DF检验查DF统计量第四节向量自回归模型把自回归模型拓展到向量，称为向量自回归模型(vectorautoregressionmodel,简称VAR模型)。向量自回归模型非常适合于研究各种变量之间的关系,基本形式为(5-42)其中为向量，即包含n个变量，。(5-42)常称为VAR模型的标准形式，可认为是结构模型的简约型。本节假定(5-42)中都是平稳序列，分别讨论VAR模型的识别、估计和检验以及一些重要的应用。~第四节向量自回归模型把自回归模型拓展到向量

例5-4

设双变量自回归模型

(5-43)(5-44)其中和为白噪声且不相关。(5-43)和(5-44)往往建立在经济学理论的基础上，常称为结构型。通过变换，可将结构型转换为简约型。记则(5-43)和(5-44)可联合表示为从而简约型为(5-45)(5-46)其中。例5-4设双变量自一、向量自回归模型的识别与估计根据模型识别方法，例5-4的模型不可识别，从而不能由简约型参数估计值给出结构型参数的估计值。若，则(5-47)和(5-48)成为递归模型。即(5-48)只包含一个内生变量，其余都是前定变量，而(5-47)包含两个内生变量，其中为前一个方程的内生变量。这种递归模型的内生变量之间并不相互影响，而只是单向影响。例如(5-47)和(5-48)表明影响，而不影响。(5-47)(5-48)一、向量自回归模型的识别与估计根据模型识别方递归模型的参数估计根据递归模型(5-47)、(5-48),得简约型模型(5-49)(5-50)其中即(5-50)中系数与(5-48)完全相同。对于递归模型,各方程可分别采用OLS估计。递归模型的参数估计根据递归模型(5-47)、似乎不相关回归模型(简称SUR模型)对简约型模型(5-49)和(5-50),记由于和不相关,得(5-51)即协方差矩阵因而,每个方程的误差项都不相关,但不同方程之间的误差项相关,这种模型称为似乎不相关回归模型(seeminglyunrelatedregressionmodel),即SUR模型。似乎不相关回归模型(简称SUR模型)对简约型SUR模型的参数估计对SUR模型,有两种参数估计方法。(1)广义最小二乘估计(GLS估计):当协方差矩阵末知时,则需要先估计协方差,即采用可行广义最小二乘估计(FGLS估计)。(2)最大似然估计(ML估计):由于VAR模型存在滞后变量,在采用ML估计时,似然函数是在以前的p个观察值(相当于解释变量观察值)条件下,其余观察值(相当于被解释变量观察值)的条件似然函数。GLS估计和ML估计都是一致和有效的估计。SUR模型的参数估计对SUR模型,有两种二、向量自回归模型的检验

(1)滞后期长度的确定在VAR模型中,一个重要的问题是滞后期长度的确定,即确定应包含多少个滞后变量。通常可采用对数似然比检验。二、向量自回归模型的检验

(1)滞后期长度的确定例例如对季度数据取8个滞后变量取12个滞后变量

LR检验统计量其中和分别是取8个滞后变量和12个滞后变量时的误差协方差矩阵的估计,T是时间序列长度(即样本数据的个数)。由于LR渐近于分布,自由度为限制的系数个数。从而(5-53)时拒绝,否则就接受。LR检验统计量的另一形式为(5-54)其中C是非限制模型中的系数个数。例例如对季度数据其中AIC信息准则和SBC准则在实际应用中,除LR检验外,常用的还有AIC信息准则(Akaikeinformationcriterion)和SBC准则(SchwartsBayesiancriterion)(5-55)(5-56)其中是误差协方差矩阵的估计,N为模型中的系数总数。AIC和SBC准则要求值越小越好,即应选择AIC和SBC较小的模型。AIC信息准则和SBC准则在实际应用中,Granger因果检验(Grangercausalitytest)在经济变量中有一些变量显著相关,但这些变量不一定有意义。判断一个变量的变化是否是另一个变量变化的原因,是经济计量学中的常见问题。Granger提出了一个判断因果关系的检验,称为Granger因果检验。如果用预测的预测方差,与同时用和预测的预测方差相同,则称变量对没有Granger因果关系。Granger因果检验(Grangercausality例对模型(5-49)和(5-50),如果,则可以称对没有Granger因果关系,即滞后变量对的预测没有帮助。因而,Granger因果检验可转化为系数的显著性检验。一般,对(5-57)(5-58)对的Granger因果检验可归结为检验统计量其中为成立时的残差平方和,而是模型(5-57)下的残差平方和,当时拒绝。例对模型(5-49)和(5-第五章时间序列模型的分析

本章讨论时间序列的基本概念与相关模型,介绍这些模型的特点、参数估计方法和检验方法.第五章时间序列模型的分析本章讨论时间序第一节时间序列模型简介

时间系列数据(timeseriesdata)是以时间顺序排列的数据序列，是经济学研究中的一种常见数据形式。图5-1给出了一个时间序列的基本例子(不同年份的GDP与财政收入的时间序列数据)。第一节时间序列模型简介时间系列数据(t时间序列模型(timeseriesmodel)

研究和分析时间序列数据的模型称为时间序列模型，时间序列方法已成为现代计量经济学的重要内容。时间序列模型按时间序列的特性，分为不同的种类。例如根据时间序列的平稳性，可分为平稳时间序列和非平稳时间序列；而根据时间序列中变量的相关性，又可分为自回归模型、移动平均模型和自回归移动平均模型等。时间序列模型(timeseriesmodel)时间序列的基本模型

(1)模型的函数形式；(2)滞后变量的个数；(3)误差项u的相关性。

一个时间序列模型的设定中，应包括三个要素：(5-1)时间序列的基本模型(1)模型的函数形式；第二节平稳时间序列模型

当时间序列满足：(1)，即均值为常数；(2)，即方差为常数；(3)，即协方差与两个时间相距的长度有关，而与时间的具体位置无关。则称为平稳时间序列，或弱平稳序列或协方差平稳序列。当时间序列的所有统计性质都不会随时间而发生变化时，称为严格平稳。本章主要采用弱平稳定义。第二节平稳时间序列模型当时间序列时序图

时序图通常由横轴表示时间，纵轴表示时间序列值。根据时序图可以直观地了解时间序列的一些基本分布特征。图5-1是中国GDP和财政收入的时序图。由于GDP和财政收入有明显的递增趋势,所以都不是平稳时间序列。时序图时序图通常由横轴表示时间，纵轴表示时间平稳时间序列的意义传统的统计分析通常有如下的数据结构

一般,时间序列的每个只取得1个观察值时,通常这样的数据是无法进行分析的。但由于序列的平稳性则可以有效地解决这一问题。平稳时间序列的意义传统的统计分析通常有如下的数据结构例5-1

一个人的健康指标会随饮食、休息等因素而变化。若每隔一段时间(如一个月)检查一次身体，则当时间序列是平稳时，就可以根据样本数据估计健康指标的均值、方差和协方差。例5-1一个人的健康指标会随饮食、休息等因素白噪声时间序列(Whitenoisetimeseries)则称时间序列为白噪声序列，或纯随机序列。根据平稳时间序列的定义，白噪音序列是一个平稳时间序列。

如果时间序列满足如下性质：白噪声时间序列(Whitenoisetimeserie一、移动平均过程(MA)其中和为常数，而随机干扰为白噪声。(5-3)式称为一阶移动平均过程，记为MA(1)。

移动平均过程(movingaverageprocess，简称MA)是最基本的平稳时间序列模型，最简单的移动平均过程为(5-3)一、移动平均过程(MA)其中和为常数，而

由于时间序列为白噪音序列，则的均值、方差和协方差分别为MA(1)的统计性质(5-4)所以MA(1)是一个平稳时间序列，并可得相关系数(5-5)由于时间序列为白噪音序列，则的均q阶移动平均过程

q阶移动平均过程记为MA(q)(5-6)其中和为常数。同样可得q阶移动平均过程q阶移动平均过程记为MAq阶移动平均过程(5-7)即MA(q)的方差和协方差只与滞后期数q有关，从而MA(q)也是一个平稳时间序列。为了方便,今后记q阶移动平均过程(5-7)即MA(q)的方差和协方差只与无穷阶移动平均过程

q阶移动平均过程可推广到无穷阶移动平均过程,记为MA(∞),当绝对收敛(绝对可加)或平方收敛(平方可加)，即则MA(∞)仍为平稳时间序列。(5-9)无穷阶移动平均过程q阶移动平均过程可推广到二、自回归过程(AR)

自回归模型(autoregressivemodel,简称AR)是讨论时间序列的现期与其滞后变量间相关性的模型。具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)(5-10)其中和为常数，为白噪声序列，且，即过去的序列值与干扰项无关。二、自回归过程(AR)自回归模型(autore一阶自回归模型

最简单的自回归模型为一阶自回归过程，简记为AR(1):

引进滞后算子L,即，一般。根据滞后算子，(5-11)可写为(5-11)AR模型并非都是平稳的，AR(1)平稳的充分条件是。(5-12)一阶自回归模型最简单的自回归模型为一阶自回归AR(1)的统计性质

设AR(1)满足平稳条件，即而为白噪声序列。,仅与有关AR(1)的统计性质设AR(1)满足平稳条件1均值

根据假定，由于于是1均值根据假定，由于于是2方差

根据假定，有则由此即得AR(1)的平稳条件。2方差根据假定，有则由此即得AR(1)的平3协方差

对于AR(1)，协方差有如下递推公式于是而对于AR(1)，已知得(5-14)3协方差对于AR(1)，协方差有如下递推公AR(1)模型的相关图

对于AR(1)模型,自相关系数例如，当时，则这表明对于平稳时间序列，相隔越远，则过去值对现期值得影响越小。图5-2给出了相应的自相关系数序列，称为相关图。平稳时间序列的自相关系数的衰减速度很快,而非平稳时间序列的衰减速度则较慢。(5-15)AR(1)模型的相关图对于AR(1)模型,样本估计

对于平稳时间序列,序列的均值为常数。表明这时的每个随机变量的均值都相等,即。从而成为的样本观察值,则的估计为

同样,可得协方差的估计为而自相关系数的估计为样本估计对于平稳时间序列,序列的均值为常数例

1964–1999年我国纱年产量的数据如下,试给出纱年产量的自相关图。例1964–1999年我国纱年产量的数据如样本自相关图样本自相关图二阶自回归模型

二阶自回归模型记为AR(2)假定AR(2)为平稳序列，则即(5-16)二阶自回归模型二阶自回归模型记为AR(2)假中心化模型

由于AR(2)为平稳序列时，代入(5-16)记,则得中心化AR(2)模型两边同乘后求期望，得(5-17)根据AR(p)的基本假定中心化模型由于AR(2)为平稳序列时，AR(2)的方差与协方差

对上式分别取，得由(5-18)整理得方差从而可得AR(2)的平稳条件(5-18)AR(2)的方差与协方差对上式分别取特征方程(characteristicequation)

例如，对AR(2)的中心化模型记(5-17)(5-19)于是(5-17)可改写为把(5-19)中的L作为变量并用z

表示，则称为AR(2)的特征方程。特征方程(characteristicequation)特征根判别

上述用系数判别模型的平稳性方法称为平稳域判别,另一种方法则是特征根判别。例如，AR(2)平稳的条件是特征方程的根都落在单位圆之外，即其中。对平稳的AR模型，参数估计可直接采用OLS法，估计量是无偏和一致的。特征根判别上述用系数判别模型的平稳性方例

检验AR(2)模型的平稳性。(1)由于根据平稳域判别，该模型时平稳的(2)由于特征方程的两个根分别为5和10/9=1.11，即两个根都大于1，从而根据特征根判别，该模型平稳。在实际应用中，模型参数是未知的,从而无法用上述方法判别模型的平稳性，下一节将讨论有关的统计方法。例检验AR(2)模型AR(p)模型阶数p的确定

AR(p)模型阶数p通常可由偏自相关系数来选择，也可根据赤池信息准则(Akaikeinformationcriterion,简记AIC)来选择，在假设模型的阶数为k时计算其中RSS为残差平方和。AIC准则选择AIC(k)的最小值所对应的正整数k为AR(p)模型的阶数。(5-21)AR(p)模型阶数p的确定AR(p)模型AR(2)的自相关系数方程据(5-18)则得自相关系数方程这个方程组也称为尤勒—沃克方程(yule-walkerequation),通过解该方程组，可得参数和的解。AR(2)的自相关系数方程据(5-18)则得自三、ARMA过程

具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)(5-23)其中。显然，当q=0时，ARMA(p,q)模型成为AR(p)模型，而当p=0时，ARMA(p,q)模型就成为MA(q)模型。所以,ARMA模型同时包括自回归模型和移动平均模型，而AR(p)模型和MA(q)模型实际上是ARMA(p,

q)的特例。三、ARMA过程具有如下结构的模型称为自回ARMA(p,q)模型的平稳条件

由于q阶移动平均过程是平稳的，从而ARMA(p,q)的平稳性完全由自回归部分的平稳性所决定，于是ARMA(p,q)模型的平稳条件是的根都落在单位圆之外。ARMA(p,q)模型的平稳条件由于qARMA(p,q)模型的均值

设ARMA(p,q)模型满足平稳条件，则均值即于是(5-23)可转换为(5-24)ARMA(p,q)模型的均值设ARMAARMA(p,q)模型的协方差

(5-24)两边同乘得根据AR(p)模型的基本假定于是得(5-25)ARMA(p,q)模型的协方差(5-2过度参数化

对给定的样本数据，可能会有多个可以选择的模型。在实际工作中，应尽可能采用较简单的模型，即避免过度参数化。例如，对于ARMA(3,3)模型，若自回归项和移动平均项有相同的特征根，则删去后就可以减少模型的参数，ARMA(3,3)则简化为ARMA(2,2)，避免了模型过度参数化。过度参数化对给定的样本数据，可能会有多个可以例

1950-1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例的数据如下例1950-1998年北京市城乡居民定期储蓄所占1时序图

时序图表明北京市城乡居民定期储蓄占储蓄存款余额的比例比较稳定,大致在80%左右。1时序图时序图表明北京市城乡居民定期储蓄占2自相关图

序列的自相关系数递减速度很快,在延迟8项后自相关系数在零附近摆动,可以认为该序列是平稳的。2自相关图序列的自相关系数递减速度很快,3模型识别

由于认为该序列是平稳的,从而可拟合ARMA模型。又由于自相关系数递减过程相当连续,可认为不截尾(拖尾),应选AR模型。先选AR(1)、AR(2)和AR(3),通过比较后,再确定阶数。3模型识别由于认为该序列是平稳的,从而可拟合AR(1)模型AR(1)模型AR(2)模型AR(2)模型AR(3)模型AR(3)模型4选择合适模型由于从而可选择AR(2),但由于AR(2)中的系数不显著,最后选择AR(1)模型,得4选择合适模型由于从而可选择AR(2),但由于第三节非平稳时间序列模型当时间序列不满足弱平稳条件，即不是弱平稳序列，则称为非平稳时间序列。平稳时间序列的均值和方差为常数，但许多常用的经济时间序列不具有平稳性，而是持续增大或减小。图5-3给出了商品零售价格指数序列和GDP序列。商品零售价格指数序列基本保持平稳，但GDP序列持续上升。这表明仅采用平稳时间序列模型来研究和分析经济时间序列数据是不够的，还需要研究非平稳时间序列。第三节非平稳时间序列模型当时间序列趋势平稳模型与单位根过程对非平稳序列，一般采用如下两种方法进行处理1、趋势平稳(trend-stationary)模型这种方法是引入一个非随机的时间趋势项，例如于是均值不再是常数，但去掉趋势项，模型则为平稳序列。2、单位根过程(unitrootprocess)这种方法是采用单位根过程由于(5-27)的特征方程根为1(称为单位根)，从而(5-27)是非平稳序列(5-26)(5-27)趋势平稳模型与单位根过程对非平稳序列，一般采随机游动过程(randomwalkprocess)在经济学研究中，单位根过程是一种最常见的非平稳过程。而随机游动过程是一种典型的非平稳序列模型

其中为白噪声序列。(5-28)是随机游动的基本模型，而(5-27)则是一种扩展。(5-28)随机游动过程(randomwalkprocess)趋势平稳模型与单位根过程的主要区别(1)在单位根过程中，都对存在影响。而对趋势平稳模型，只影响。(2)对趋势平稳模型，去掉趋势项后模型为平稳序列。记即差分后的模型是平稳过程，从而单位根过程也称为差分平稳过程。称为的一阶差分。对于单位根过程(5-29)趋势平稳模型与单位根过程的主要区别(1)在单一、非平稳时间序列简介对于非平稳序列，例如随机游动序列，经典回归分析方法不再适用。假定和是两个互不相关的随机游动序列，即为了方便，设。则若采用线性回归模型不妨设，于是(5-30)(5-31)一、非平稳时间序列简介对于非平稳序列，例如随机误差项的方差根据(5-31)，误差项的方差即误差项方差与t有关，会随t的增加而无限增大。由于存在异方差，相应的t检验和F检验不再适用。这种具有单位根过程的非平稳序列时的回归分析，也称为伪回归(spuriousregression)。误差项的方差根据(5-31)，误差项的方差即例5-3设和是互不相关的随机游动过程(图5-4)，采用(5-30)的线性回归模型，有T检验显著，即认为。而这与与不相关矛盾。图5-5表明误差项很可能是非平稳的，而这时的t统计量不再服从t分布。例5-3说明和虽然不相关，但伪回归却得到了相反的结果。因此，在时间序列分析时，应重视伪回归问题。例5-3设和是时间序列的单积性如果时间序列，经过i次差分才成为平稳时间序列,称为i阶单积序列，记为I(i)，简记为。从而平稳时间序列可称为0阶单积序列，记为。例5-3中的时间序列和都只需一次差分就可以成为平稳时间序列，从而都是一阶单积序列，记为。若ARMA(p,q)过程为i阶单积序列，记为ARIMA(p,i,q)。若时间序列是和的线性组合，即~设,,且则。~~~时间序列的单积性如果时间序列，二、单位根时间序列的检验在计量经济学中，最常见的非平稳序列就是单位根过程。因此，最常见的非平稳序列检验就是单位根检验。有一些很平稳的序列，可以通过时间序列图做出判断，但对复杂的时间序列，则应采用统计检验方法做出判断。二、单位根时间序列的检验在计量经济学中，最常三种模型考虑如下的三种模型(5-33)是一个简单的随机游动模型，(5-34)则带有移动量(截距)a,而(5-35)还带有趋势项。(5-33)(5-34)(5-35)三种模型考虑如下的三种模型(5-33)是一个迪基—富勒(Dickey-Fuller)检验(简称DF检验)对(5-33)、(5-34)和(5-35)，若，则存在单位根。因而，是否存在单位根可归结为检验：对模型(5-33)、(5-34)和(5-35)，先采用OLS求得，检验统计量(一般称统计量)，查DF检验的t分布表得临界值（三个模型的临界值是不同的）当，接受，认为序列存在单位根；当，拒绝，认为序列不存在单位根。迪基—富勒(Dickey-Fuller)检验(简称DF检验)φ检验对如下的原假设其中为限制条件的个数，n是样本量，而k表示非限制模型中的系数个数，于是n-k为非限制模型的自由度。查DF检验的分布表可得临界值(三个模型的临界值是不同的)。检验统计量分别为和。且(5-36)φ检验对如下的原假设其中为限制条件的拓展迪基—富勒检验(简记ADF检验)DF检验设定的三种模型都是一阶自回归序列，而对于多阶自回归序列，则需对模型进行整理转化。考虑p阶自回归模型(5-37)可转化为如下拓展模型对(5-38)可采用DF检验。也可对模型增加截距项或趋势项。ADF检验统计量，并采用DF检验的临界值。(5-38)拓展迪基—富勒检验(简记ADF检验)DF检验设例利用1970至1991年期间美国的GDP数据说明DF检验。例利用1970至1991年期间美国的1带有移动量的随机游动模型1带有移动量的随机游动模型带有移动量随机游动模型的DF检验查DF统计量分布表得由于从而接受,认为GDP序列存在单位根。带有移动量随机游动模型的DF检验查DF统计量分布表得由于从而2带有移动量和线性时间趋势量的随机游动模型2带有移动量和线性时间趋势量的随机游动模型带有移动量和线性时间趋势量随机游动模型的DF检验查DF统计量分布表得由于从而接受,仍认为GDP序列存在单位根。带有移动量和线性时间趋势量随机游动模型的DF检验查DF统计量第四节向量自回归模型把自回归模型拓展到向量，称为向量自回归模型(vectorautoregressionmodel,简称VAR模型)。向量自回归模型非常适合于研究各种变量之间的关系,基本形式为(5-42)其中为向量，即包含n个变量，。(5-42)常称为VAR模型的标准形式，可认为是结构模型的简约型。本节假定(5-42)中都是平稳序列，分别讨论VAR模型的识别、估计和检验以及一些重要的应用。~第四节向量自回归模型把自回归模型拓展到向量

例5-4

设双变量自回归模型

(5-43)(5-44)其中和为白噪声且不相关。(5-43)和(5-44)往往建立在经济学理论的基础上，常称为结构型。