《数理统计》考试题及参考答案

;;....《数理统计》考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1X和YN(0,，而X

X和,Y

,Y)是分X X

1 2 9 1 2 9别来自X和Y的样本，则U

1Y21

9Y9

服从的分布解：t(9)．2，设1

与2

都是总体未知参数的估计，且ˆ1

比ˆ2

有效，则ˆ1

与2

的期望与方差满.解：)), ))．1 2 1 23“两个总体相等性检验”的方法 与 解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是 .解：正态性、方差齐性、独性．5，多元线性回归模型YXβ中β的最小二乘估计ˆ= 解ˆ二、单项选择题（每小题3分，共15分）

X 1XY．1，设XX1 2 D .

Xn2)N(0,1)XS2为样本方差，则n（A）

N(0,1)； （B）nS2 2(n)；（C）

(n1)XS

（D）

(n1)X1t(nt(n)；

F(1,n1).X2ii22，若总体X N(,2)，其中2已知，当置信度1保持不变时，如果样本容量n增大，则的置信区B .（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时下列说法中正确的C .（A）减小时也减小； （B）增大时也增大；e（C）,其中一个减小，另一个会增大； （（）和）同时成.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设S 为总离差平方和，S 为误差平方和，S 为效应平eT A和，则总A .（A）

S

S； （B）

2(r1)；T e A 2（C）

S /(r1)AS/(nr)A

F(r1,nr)； （D）

与S 相互独.A ee5，在一元回归分析中，判定系数定义为R2

S回，则 B .ST（A）R2接近0时回归效果显著； R2接近1时回归效果显著；（C）R2接近时回归效果显著； （D）前述都不.三（本题10分设总体X N(,2)、Y

2)，(X,X,

X 和,Y

, ,Y

)分别N(N(,2

n 1 2 n1 2X和YXYS2、S2S11n n12t(nn1 2(S11n n12t(nn1 2

)

X(n1)S

Y(n1)S22)，其中S2 1 X 2 Y.1 2证明：易知

nn21 21XY N(1

2

)， U

(XY)(1

)2

N(0,1)．2 n n1 2

11由定理可知

X1(n1)S2X12

2(n1

1)，

(n1)S2Y22Y2

n n1 22(n2

1)．由独立性和2分布的可加性可得(n1)S2X1V 2X1

(n1)S2Y22Y2

2(nn1

2)．UV/(nnUV/(nn2)t(nn1 21212S11n n(XY12S11n n

)

2)．1 21ex,

x0四（本题10分）已知总体X的概率密度函数为f(x)

,其中未知参数0,0, 其它(XX, X为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．1 2 n解）

EX

xf(x)dx1

，用v

1

X X代替，所以1

xedx0

1 n ii1ˆ

1Xn i1

X．（2）E(X)

1nni1

E(Xi

)E(X)，所以该估计量是无偏估计．（10Xf(x;)(1)x,0x11，(X,X,1 2解：

XX的极大似然估计．n 1n

x)

, 0x1L()

i1 i i 0 , 其它当0x

1时，lnL)nln1)

ln

dln)，令

n

ln

0，得ii1ˆ1

ii1

nlnxi

d 1．

ii1六（本题10分）设总体X的密度函数为f(xex, x >0;未知参数0，(X,X, X1 2

0,X1的一个UMVUE．

x0,证明：由指数分布的总体满足正则条件可得I()E2 lnf(x;)E11，1的的无偏估计方差的C-R

2[(1

122

2

2nI()

1n2

n2．另一方面

E(X)1， Var( 1

1，n2X得方差达到C-RX是

的UMVUE．（100.0059,其样本标准差为S007公斤,（1）在显著性水平05下,可否认为该批苹果重量标准差达到?（2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？参考数据:20.025

(9)19.023, 20.05

(9)16.919, 20.025

17.535, 20.05

(8)15.507．）H0

:

1S22 ~2

，则应有：80.0072

P 220.05

80.005,20.05

(8)15.507，

15.6815.507,0.0052

，即认为苹果重量标准差指标未达到要0求．（2）新设H :0

0.005, 由20.025

17.535,

80.007215.6817.535, 则接受假设，0.0052即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．（10X与YX~2~(

,2)，,

,2,2未知，1 1 2 2 1 2 1 2(X,

, ,

和,Y,

2,Y X和Y的样本，求1

的置信度为1的置信区间.1 2 n1

1 2 n 2222解：设S2, S2分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分布定理可知X YX1(n1)S2X121

2(n1

1)，

(n1)SY22Y22

2(n2

1)，由F分布的定义可得(n1)S2(n1)S21 X2(n1)1(n1)S212 Y2(n1)222SF X2S22Y 1

F(n1

1,n2

1)．对于置信度1，查F分布表找F (n/2 1

1,n2

1)和F (n/2

1,n2

1)使得PF (n/2 11即1

n2

1)FF (n/2

n2

1)1，P SP

/SY

2

S2/SX Y

1， F /2 12

1,n2

1) 2

F (n/2 S2/S2

1,