21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件

第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量一、随机变量概念的引入在上一章里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能注意到，在某些例子中，随机事件和实数之间存在着某种客观的联系。第2章随机变量及其分布§2.1随机变量一、随机变例1：抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数.“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现4点”“出现5点”“出现6点”

X=1

X=2

X=3

X=4

X=5

X=6S

记X=出现点数例1：抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数.“出现1点“出现正面”“出现反面”

例2：抛掷一枚均匀的硬币，观察出现哪一面.在另外一些例子中，随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系，但是，我们可以人为地给它们建立起一个联系.

Y=1

Y=0

SY“出现正面”例2：抛掷一枚均匀的硬币，观察出现哪一面.在上述的例子中，变量X和Y有个特点是，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不能确定的，因为它们的取值依赖于试验的结果.也就是说，它们的取值是随机的.人们常常称这种变量为随机变量.由上面的例子可知，有了随机变量，至少使随机事件的表示在形式上简洁得多了.这只是一个方面，我们在以后的讨论中，会看到引入“随机变量”这一概念还有更为深远的意义.在上述的例子中，变量X和Y有个特点是，这两个变量取什么值，在二、随机变量的概念在例1中，对每一个试验结果，“自然地”对应着一个实数，而在例2中，这种对应关系是人为地建立起来的。由此可见，无论是哪一种情形，所谓随机变量，不过是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系，这与我们熟知的“函数”概念在本质上一回事.定义：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(w)为随机变量.二、随机变量的概念在例1中，对每一个试验结果，“自然地”对应SXR

一对一或多对一SX注意：

（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母等表示；而表示随机变量所取值时，一般采用小写字母x,y,z等.

（2）随机变量与高等数学中函数的比较：①随机变量的定义域为S,值域为R；②随机变量的取值范围在试验之前就能确定，但不能预先肯定它将取哪个值；③由于试验结果（即随机事件）的出现具有一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.注意：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母例1：在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢1分，出现反面时输1分.则其样本空间为S={正面，反面}记X：赢钱数

正面

反面X1-1或例1：在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢1分例2：在将一枚硬币抛掷三次，观察正面（H）,反面（T）出现情况的试验中，记X：正面出现的次数.则:HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110则:{X=3}={X=2}={X≤1}=→P{X=3}=1/8{HHH}→P{X=2}=3/8{HHT,HTH,THH}→P{X≤1}=4/8=1/2{HTT,THT,TTH,TTT}例2：在将一枚硬币抛掷三次，观察正面（H）,反面（T）出现情例3：在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数，故样本空间为S={t|t≥0}若X：灯泡寿命，则X=X(t)=t是随机变量.SXt≥0t例3：在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是三、随机变量的分类根据随机变量取值方式的不同，可分为离散型和非离散型（1）若随机变量可能取的值是可数有限个或可列无穷多个，则称为离散型随机变量.如例1，例2.例：某一城市每天发生火灾的次数为X,则X:0,1,2,3，…(可列无穷多个)三、随机变量的分类根据随机变量取值方式的不同，可分为离散型和（2）若随机变量的取值可以充满某个区间，则称为非离散型随机变量.非离散型随机变量的情况比较复杂，其中最重要也是最常遇到的是连续型随机变量，如例3.本书只研究离散型和连续型随机变量两种.（2）若随机变量的取值可以充满某个区间，则称为非离散型随机变§2.2离散型随机变量及其概率分布

一、离散型随机变量及其概率分布§2.2离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及分布律还可以简单地表示为：分布律具有以下性质:分布律还可以简单地表示为：分布律具有以下性质:0,1，…，5，因此，X的分布律为:0,1，…，5，因此，X的分布律为:例2:某篮球运动员投中篮圈的概率为0.9，求他两次独立投篮投中次数X的分布律.解

：X的所有可能取值为:该分布律也可以简单地用表格表示为：0，1，2.则例2:某篮球运动员投中篮圈的概率为0.9，求他两次独立投篮投.从而即（2）计算..从而即（2）计算.(2)(2)（1）两点分布Xx1x2Pip1-p二、常用的离散分布（1）两点分布Xx1x2Pip1-p二、常用的离散分布X01PiqpX01PiqpX01Pi0.550.45X01Pi0.550.45X01Pi0.10.6+0.3X01Pi0.10.6+0.3例3:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95则X服从(0-1)分布，其分布律为：X01Pi0.050.95例3:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地例4:某保险公司开展5年自行车保险业务，被保险的自行车需交保险费10元，在2年内自行车被盗，可从保险公司获得赔付300元，已知自行车被盗的概率的概率为p(0<p<1),用X表示保险公司在每辆被保险的自行车上的收益，写出X的概率分布.解：2年内自行车若被盗，则X=否则，X=因此，X服从两点分布，其概率分布为：X10-290Pi1-pp10-300=-29010例4:某保险公司开展5年自行车保险业务，被保险的自行车需交保（2）二项分布(伯努利试验)（2）二项分布(伯努利试验)注意：

（1）二项分布的背景是伯努利概型；

（2）当n=1时，即为0-1分布.即：X01Pi1-pp注意：（1）二项分布的背景是伯努利概型；（2）当n=1时用表格表示如下:

例1:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀.如果从班中随机地找出5名学生.设X：这5名学生中成绩优秀的人数”

，求X的分布律.X的所有可能取值为0,1，…，5，且X~b(5,1/4).解

：用表格表示如下: 例1:在初三的一个班中,有1/4的学则X~b(8,0.6)，于是：则X~b(8,0.6)，于是：21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168X012345678P0.00070.00790.04130注意：二项分布和0-1分布的关系

X01Pi1-pp注意：二项分布和0-1分布的关系X01Pi1-pp21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件（3）几何分布则称X服从几何分布.（3）几何分布则称X服从几何分布.例1：社会上定期发行某种奖券，中奖率为p.

（1）求一次购买的分布律；

（2）求到中奖为止所需购买次数的分布律.（1）设“X=1”表示中奖，“X=0”表示未中奖，则X01Pi1-pp则X~(0,1).解：例1：社会上定期发行某种奖券，中奖率为p.

（1）求一次购买（2）设到中奖为止所需购买的次数为Y,则Y服从几何分布.则Y的可能取值为1,2,……P(Y=k)=pqk-1,k=1,2,……则Y取各个值的概率为用表格表示如下：（2）设到中奖为止所需购买的次数为Y,则Y服从几何分布.则Y（4）泊松分布（4）泊松分布21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件解:

(1)(2)解:(1)(2)21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件注意：二项分布的泊松逼近

例:设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解:将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X,则X~b(400,0.02).X的分布律为P{X=k}=C400k×0.02k×0.98400-k，k=0,1,2,…,400于是所求概率为P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-0.98400-400×0.02×0.98399

直接计算上式很麻烦.注意：二项分布的泊松逼近例:设某人每次射击的命中率为0.0泊松定理:

其中注意:

实际计算中，n≥100，np≤10时近似效果就很好.泊松定理:其中注意:实际计算中，n≥100，np≤10时例1:设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解:将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X,则X~b(400,0.02).则有P{X=k}=C400k×0.02k×0.98400-k,k=0,1,2,…,400P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}于是所求概率为：=1-0.000335-0.002684=0.996981例1:设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击400次,试X~.若一年内投保人中有X死亡，则保险公司获利为：2500×200－50000X=500000－50000X则所求概率为：X~.若一年内投保人中有X死亡，则保险公司获利为：2500×21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量一、随机变量概念的引入在上一章里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能注意到，在某些例子中，随机事件和实数之间存在着某种客观的联系。第2章随机变量及其分布§2.1随机变量一、随机变例1：抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数.“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现4点”“出现5点”“出现6点”

X=1

X=2

X=3

X=4

X=5

X=6S

记X=出现点数例1：抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数.“出现1点“出现正面”“出现反面”

例2：抛掷一枚均匀的硬币，观察出现哪一面.在另外一些例子中，随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系，但是，我们可以人为地给它们建立起一个联系.

Y=1

Y=0

SY“出现正面”例2：抛掷一枚均匀的硬币，观察出现哪一面.在上述的例子中，变量X和Y有个特点是，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不能确定的，因为它们的取值依赖于试验的结果.也就是说，它们的取值是随机的.人们常常称这种变量为随机变量.由上面的例子可知，有了随机变量，至少使随机事件的表示在形式上简洁得多了.这只是一个方面，我们在以后的讨论中，会看到引入“随机变量”这一概念还有更为深远的意义.在上述的例子中，变量X和Y有个特点是，这两个变量取什么值，在二、随机变量的概念在例1中，对每一个试验结果，“自然地”对应着一个实数，而在例2中，这种对应关系是人为地建立起来的。由此可见，无论是哪一种情形，所谓随机变量，不过是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系，这与我们熟知的“函数”概念在本质上一回事.定义：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(w)为随机变量.二、随机变量的概念在例1中，对每一个试验结果，“自然地”对应SXR

一对一或多对一SX注意：

（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母等表示；而表示随机变量所取值时，一般采用小写字母x,y,z等.

（2）随机变量与高等数学中函数的比较：①随机变量的定义域为S,值域为R；②随机变量的取值范围在试验之前就能确定，但不能预先肯定它将取哪个值；③由于试验结果（即随机事件）的出现具有一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.注意：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母例1：在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢1分，出现反面时输1分.则其样本空间为S={正面，反面}记X：赢钱数

正面

反面X1-1或例1：在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢1分例2：在将一枚硬币抛掷三次，观察正面（H）,反面（T）出现情况的试验中，记X：正面出现的次数.则:HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110则:{X=3}={X=2}={X≤1}=→P{X=3}=1/8{HHH}→P{X=2}=3/8{HHT,HTH,THH}→P{X≤1}=4/8=1/2{HTT,THT,TTH,TTT}例2：在将一枚硬币抛掷三次，观察正面（H）,反面（T）出现情例3：在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数，故样本空间为S={t|t≥0}若X：灯泡寿命，则X=X(t)=t是随机变量.SXt≥0t例3：在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是三、随机变量的分类根据随机变量取值方式的不同，可分为离散型和非离散型（1）若随机变量可能取的值是可数有限个或可列无穷多个，则称为离散型随机变量.如例1，例2.例：某一城市每天发生火灾的次数为X,则X:0,1,2,3，…(可列无穷多个)三、随机变量的分类根据随机变量取值方式的不同，可分为离散型和（2）若随机变量的取值可以充满某个区间，则称为非离散型随机变量.非离散型随机变量的情况比较复杂，其中最重要也是最常遇到的是连续型随机变量，如例3.本书只研究离散型和连续型随机变量两种.（2）若随机变量的取值可以充满某个区间，则称为非离散型随机变§2.2离散型随机变量及其概率分布

一、离散型随机变量及其概率分布§2.2离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及分布律还可以简单地表示为：分布律具有以下性质:分布律还可以简单地表示为：分布律具有以下性质:0,1，…，5，因此，X的分布律为:0,1，…，5，因此，X的分布律为:例2:某篮球运动员投中篮圈的概率为0.9，求他两次独立投篮投中次数X的分布律.解

：X的所有可能取值为:该分布律也可以简单地用表格表示为：0，1，2.则例2:某篮球运动员投中篮圈的概率为0.9，求他两次独立投篮投.从而即（2）计算..从而即（2）计算.(2)(2)（1）两点分布Xx1x2Pip1-p二、常用的离散分布（1）两点分布Xx1x2Pip1-p二、常用的离散分布X01PiqpX01PiqpX01Pi0.550.45X01Pi0.550.45X01Pi0.10.6+0.3X01Pi0.10.6+0.3例3:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95则X服从(0-1)分布，其分布律为：X01Pi0.050.95例3:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地例4:某保险公司开展5年自行车保险业务，被保险的自行车需交保险费10元，在2年内自行车被盗，可从保险公司获得赔付300元，已知自行车被盗的概率的概率为p(0<p<1),用X表示保险公司在每辆被保险的自行车上的收益，写出X的概率分布.解：2年内自行车若被盗，则X=否则，X=因此，X服从两点分布，其概率分布为：X10-290Pi1-pp10-300=-29010例4:某保险公司开展5年自行车保险业务，被保险的自行车需交保（2）二项分布(伯努利试验)（2）二项分布(伯努利试验)注意：

（1）二项分布的背景是伯努利概型；

（2）当n=1时，即为0-1分布.即：X01Pi1-pp注意：（1）二项分布的背景是伯努利概型；（2）当n=1时用表格表示如下:

例1:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀.如果从班中随机地找出5名学生.设X：这5名学生中成绩优秀的人数”

，求X的分布律.X的所有可能取值为0,1，…，5，且X~b(5,1/4).解

：用表格表示如下: 例1:在初三的一个班中,有1/4的学则X~b(8,0.6)，于是：则X~b(8,0.6)，于是：21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168X012345678P0.00070.00790.04130注意：二项分布和0-1分布的关系

X01Pi1-pp注意：二项分布和0-1分布的关系X01Pi1-pp21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件（3）几何分布则称X服从几何分布.（3）几何分布则称X服从几何分布.例1：社会上定期发行某种奖券，中奖率为p.

（1）求一次购买的分布律；

（2）求到中奖为止所需购买次数的分布律.（1）设“X=1”表示中奖，“X=0”表示未中奖，则X01Pi1-pp则X~(0