上海市闵行区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题 Word版含答案（ 2013高考）

闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写．2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知复数满足(为虚数单位)，则_________________.2．函数的定义域为.3．已知集合，全集，则集合中元素的个数为__________________.4．已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则的值是.5．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为.6．若二项式展开式的各项系数的和为，则其展开式的所有二项式系数中最大的是.(用数字作答)开始i≤n是否结束输出7．无穷等比数列的各项和为，第2项为开始i≤n是否结束输出8．某算法的程序框图如右图，若输出的的值为，则正整数的值为.9．从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.10．已知定义在上的函数与的图像的交点为，过作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长为.11．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是．12．已知△ABC的面积为，在△ABC所在的平面内有两点，满足，则四边形BCPQ的面积为．(文)已知△ABC的面积为，在△ABC所在的平面内有两点，满足，则△APQ的面积为．13．如下图，对大于或等于2的正整数的次幂进行如下方式的“分裂”(其中)：例如的“分裂”中最小的数是，最大的数是；若的“分裂”中最小的数是，则.14．已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的[答]()（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件16．若向量满足，与的夹角为，则[答]（）（A）（B）（C）（D）17．已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数、的描述正确的是[答]（） （A）（B） （C） （D）18．数列满足，，若数列的前项和为，则的值为[答]()（A）（B）（C）（D）三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．已知函数；(1)求函数的最小正周期；(2)求函数，的值域.解：20.（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律为：

（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）xyFQABlO21.（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2xyFQABlO已知椭圆的方程为，右焦点为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于不同两点.（1）若直线的倾斜角为，求直线的方程；（2）求证：.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知函数.（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；（2）如果当时，的值域是，求与的值；（3）对任意的，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设数列的各项均为正数，前项和为，已知．(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)证明：对任意，都有；(3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、（第1题至第14题）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．理，8．；9．理；10．；11．理或；12．理；13．理；14．理．二、（第15题至第18题）15．A；16．B；17．A；18．D．三、（第19题至第23题）19.[解](1)…3分所以函数的最小正周期为…3分(2)………2分∵，∴，……………2分∴.…2分

另解：…2分∵，∴，……2分∴，即.…………2分20.[解]（理）（1）由于学生的注意力指数不低于80，即当时，由得；…………2分当时，由得；…………2分所以，故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有分钟.……………3分（2）设教师上课后从第分钟开始讲解这道题，由于所以…………2分要学生的注意力指数最低值达到最大，只需即……………2分解得 ………2分所以，教师上课后从第分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大.………………………1分（文）（1）设直线的方程为，则有，得……3分又切点在轴的右侧，所以，……………2分所以直线的方程为…………………2分（2）设由得…………2分……………2分又，所以到直线的距离……2分所以的面积为……………1分21.[解]（理）（1）设直线的方程为，则有，得……3分又切点在轴的右侧，所以，……………2分所以直线的方程为…………………2分又得……………2分又得……………2分所以，同理可得……………2分所以……………1分（文）（答案与评分标准同理科第20题）22.[解]（理）（1）令，解得,……………2分对任意所以函数是奇函数.………2分

另证：对任意所以函数是奇函数.…………………2分（2）由知，函数在上单调递减，因为，所以在上是增函数………2分又因为时，的值域是，所以且在的值域是，故且（结合图像易得）……………2分解得（舍去）．所以，…………………2分（3）假设存在使得即，解得，…………………3分下证：．证明：

，∴，

∴，即，∴所以存在，使得……………3分另证：要证明，即证，也即．，∴∴，∴．所以存在，使得……………3分（文）（1）令，解得,……………2分对任意所以函数是奇函数.……………2分

另证：对任意所以函数是奇函数.…………2分（2）设，…………2分∴∴∴∵∴………2分∴，∴所以函数在上是增函数.………………2分（3）由（2）知，函数在上是增函数，又因为时，的值域是，所以且在的值域是，……………2分故且（结合图像易得）…2分解得（舍去）所以，………2分23.[解]（理）(1)∵，∴当时，．两式相减得，

∴…………2分∵，∴，

又，∴∴是以为首项，为公差的等差数列．………1分∴………1分(2)由(1)知，

∴…………2分于是，…………2分

∴…………2分设等差数列的首项为，公差为，则于是………2分将代入得，，

∴…………2分又

…………2分∴．…………1分（文）(1)∵，∴当时，．

两式相减得，

∴…………2分

∵，∴，又，∴

∴是以为首项，为公差的等差数列．……2分

∴…………1分

(2)由(1)知，