导数计算公式

公式数计4kr■I■iflHtl■ilfljCompanyDocumentnumber:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(l)y=f(x)=c；(2)y=f(x)=x；(3)y=f(x)=x2；(4)y=f(x)=X；(5)y=fx)=\/X.提示：•・•提示：•・•⑵(X)'=1・X1-1,⑶(X2)，—2・x2-1,(5)(石)'=(兀2)问题：上述函数的导数是什么提示：/、Ay/X+Ax—fXc—c,Ay(1)■■0■y'lim0k1)-AxAxAx0，・・ylimAx0.Ax—02)(x)'=1,⑶(x2)=2x，⑷［xj=x2，(5)(飞,x)=2占函数(2)⑶(5)均可表示为y=xa(a^Q*)的形式，其导数有何规律1-1K，・・・(xa)=axK，・・・(xa)=axa—1.x基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xa(aGQ*)f'(x)=axa~1fx)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=—sinxf(x)=axf(x)=axlnaf(x)=exf(x)=ex--1f(x)=logaxfinaf(x)=Inxfx、x、2—+cos—2丿二、导数运算法则已知f(x)=x,g(x)=!.问题1：f(x),g(x)的导数分别是什么问题2：试求Q(x)=x+X，H(x)=x—1的导数.xx(1、—Ay提示：・・冷=(兀+心)+右—x+xpm+xy^Ax，.鱼=1一1.鱼=1一1.q(、=limAy_lim1•*Ax_1xx+Ax，・・Q(x)=moAx=moL11xx+Ax_丄X2•同理H(x)=1+x12.问题3：Q(x),H(x)的导数与f(x),g(x)的导数有何关系提示：Q(x)的导数等于f(x),g(x)导数的和，H(x)的导数等于fx),g(x)导数的差.导数运算法则1-fx)±g(x)]'=f(x)±gz(x)2.fx)・g(x)]'=f(x)g(x)+fx)g‘(x)_f'_f'xgx—fxg'x—[gx]2(g(x)HO)题型一利用导数公式直接求导[例题型一利用导数公式直接求导[例1]求下列函数的导数：(1)y_10x(2)y_lgx；(3)y二log丄x；2(4)y_4x3;(5)y=sinex+ex+1‘ex—1—ex+1ex—11exex—1—ex+1ex—2ex1［［解］(l)y=(10x)/=10xln10;//1(2)y=(igx)=xmo；(3)y/(3)y/=宀=-xini；(4)y/=(如)xln23(5)"=.xIxsin㊁十cos2-_•x|.xx|x-_•x|.xx|x2—1=sin22十2sin2cos2十cos?/1=sinx,・°・y=(sinx)'=cosx.练习求下列函数的导数：(1)y=［e)；(2)y=［£)；(3)y=lg5;(4)y=3lg3x；(5)y=2cos22-1.解：(3)y"=(x2+log3x)”=(x2)"+(log3x)”=2x+y/=UDI(3)y"=(x2+log3x)”=(x2)"+(log3x)”=2x+1—ln10xln^=10x=—10—xln10；(3)Ty=lg5是常数函数，・y'=(lg5)'=0；1x(4)Ty=31gx=lgx,・A=(lgx)”=xin10；(5)Vy=2cos22—1=cosx，・y=(cosx)=—sinx.题型二利用导数的运算法则求函数的导数［例2］求下列函数的导数：(1)y=x3©；xx(1)y=x3©；xx(2)y=x—sm2cos2；(3)y=x2+log3x；(4)y=ex+1ex—1［解］(1)y=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex=x2(3+x)ex.1=1—1=1—^cosx.1

xln3(2)Vy=x—^sinx,・.y=1

xln3(4)y/(4)y/=ex—ex－12ex－12练习求下列函数的导数：cosx,厂1+\/x,1^vx(1)y=x；(2)y=xsinx+..：x；(3)y=1，-+]+\匚；(4)y=lgxx2-解：(l)y'解：(l)y'cosxx,cosx•x—cosx・xx2—x・smx—cosxx2xsinx＋cosxx2(2)y‘=(xsinx)‘+(“Jx)‘=sinx+xcosx+^j^.1+\^21—1+\^21—y[x22+2x4⑶Ty=+1—x11—x1—x1—x―2，・・y[丄—2、l1—x丿—41—xz=41—x2=1—x2.(4)y‘=(4)y‘=(lgx-g)=(lgx)z為+x3题型三导数几何意义的应用［例3］(1)曲线y=_5e%+3在点(0,—2)处的切线方程为.(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3_10x+13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为［解析］(1)y/=—5ex,・.所求曲线的切线斜率k=yzI=—5eo=—x=05,切线方程为y—(—2)=—5(x—0),即5x+y+2=0.(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为yz=3x2—10，所以3x0—10=2，解得x0=±2.又点P在第一象限内，所以x0=2，又点P在曲线C上，所以y0=23—10X2+13=1，所以点P的坐标为(2,1).(1)5x+y+2=0(2)(2,1)练习若曲线fx)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+l在交点(0,m)处有公切线，贝卩a+b=.解析：f(x)=—asinx,g'(x)=2x+b,丁曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线，:.f(0)=a=g(0)=1,且f'(0)=0=g'(0)=b,・・・a+b=1.答案：1［典例］已知函数f(x)=x3—3x2+3ax—3a+3,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.［解］由已知得f(x)=3x2-6x+3a，故f'(1)=3-6+3a=3a-3,且f(1)=1—3+3a—3a+3=1.故所求切线方程为y—1=(3a—3)(x—1),即3(a-1)x-y+4-3a=0.一、已知斜率,求切线方程．此类问题可以设出切点,利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点,进而求出切线方程．例：求与直线x+4y+1=0垂直的曲线fx)=2x2—1的切线方程.解：所求切线与直线x+4y+1=0垂直，所以所求切线的斜率k=4.设切点坐标为(x0,y0),贝Uf'(x0)=4x0=4，即x0=1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y—1=4(x—1)，即4x—y—3=0.二、已知过曲线上一点,求切线方程．过曲线上一点的切线,该点不一定是切点,故应先设出切点,再利用该点在切线上来确定切点,进而求出切线方程．例：求过曲线f(x)=x3—2x上的点(1,—1)的切线方程.解：设切点坐标为(x0,y0),因为f(x)=3x2_2,所以f(x0)=3x0—2,且y0=fx0)=x0-2x0.所以切线方程为y－y0=(3x02－2)(x－x0),即y—(x30—2x0)=(3x20—2)(x—x0)．因为切线过点(1,—1),故一1—(x0—2x0)=(3x0—2).(1—x0)即2x03—3x20＋1=0,解得x0=1或x0=—2，故所求切线方程为x—y—2=0或5x+4y—1=0.三、已知过曲线外一点,求切线方程．这一题型要设出切点,再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点,从而求出切线方程．例：已知函数fx)=x3—3x,过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求切线方程．解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)=x3—3x上，设切点坐标为M(x0,y0)．则f(x0)=3x0_3,故切线方程为y—y0=3(x20—1)(x—x0)．又点A(0,16)在切线上,

所以16—(xg—3兀0)=3(兀2—1)(0—x0),化简得x0=—8,解得x0=—2,即切点为M(—2,—2),故切线方程为9x—y＋16=0.课后练习1．给出下列结论：①(cosx)!=sinx①(cosx)!=sinx；②碍n—cosg；③若y—x2，则y/=_X；i2x\!x'其中正确的个数是()A.A.0B.1C.2D．3/—0，/—0，所2解析：(cosx)z—-sinx,所以①错误;以②错误；讣｝—————2x—,所以③错误;1-1(1、212_3,0—x2/2x121＜眉丿xx22x石,所以④正确.答案：B2.函数y—sinx・cosx的导数是()A.y'=cos2x+sin2xB.y'=cos2x—sin2xC.yz—2cosx・sinxD.yz—cosx・sinx解析：yz—(sinx・cosx)"—cosx・cosx+sinx•(—sinx)—cos2x—sin2x.3.若f(x)—(2x+a)2，且f(2)—20,则a—.

解析：fx)=4x2+4ax+a2,：f(x)=8x+4a,・\f(2)=16+4a=20,.•.a=l.答案：1已知曲线y=x4+ax2+1在点(一1,a+2)处切线的斜率为8,则a=解析：y'=4x3+2ax，因为曲线在点(一1,a+2)处切线的斜率为8,所以y'I_丄=一4一2。=8,解得a=—6.答案：一6X~1~求下列函数的导数：y十+X+X0；1+cosxy=2；(3)y=(4x-x)(ex+1).解:(1)Ty=x[x2+解:(1)Ty=x[x2+bX3)=x3+14丄X2'・・・y=3x22X3.(2)y_1+cosx'•x2—1+cosxx2'_~xsinx~2cosx—2(2)y=x4=x3(3)法—:Vy=(4x—x)(ex+1)