第三章第三节-二维随机变量函数的分布-概率论课件

第三章第三节二维随机变量函数的分布第三章第三节

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:首先讨论两个随机变量函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机向量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数

Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布?在第二章中，我们讨论了一维随机变量函一、离散型随机向量函数的分布设是二维离散型随机向量，是一个二元函数，则作为的函数是一个随机变量，如果和概率分布为设的所有可能取值为则的概率分布为一、离散型随机向量函数的分布设是二维离散型随机向量，是一个二例1设随机向量函数的分布：解由的概率分布可得的概率分布如右表：求随机向量的与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同,把值相同项对应的概率值合并可得：例1设随机向量函数的分布：解由的概率分布可得的概率分布如右表的概率分布为的概率分布为的概率分布为的概率分布为例2若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解:=a0br+a1br-1+…+arb0

由独立性即离散型卷积公式r=0,1,2,…例2若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1解：依题意

例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…解：依题意例2若X和Y相互由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布.r=0,1，…由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布.例3设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.

回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n1,p),则X

是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.例3设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,

故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z~B(n1+n2,p).请同学们自己给出其严格证明故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验二、连续型随机向量的函数的分布设是二维连续型随机向量，其概率密度函数为令为一个二元函数，是的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布.(1)求分布函数则二、连续型随机向量的函数的分布设是二维连续型随机向量，其概率其中，(2)求其概率密度函数对几乎所有的有在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用(X,Y)的分布求出Z=g(X,Y)的分布。其中，(2)求其概率密度函数对几乎所有的有在求随机向量(X,1、和的分布

设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.

解:Z=X+Y的分布函数是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.1、和的分布解:Z=X+Y的分布函数是:这里积分区域D={化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:

由X和Y的对称性,知fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

这两个公式称为卷积公式.下面我们用卷积公式求Z=X+Y的概率密度特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4若X和为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域（如图示）即于是为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域（如图示）即例5设和是两个相互独立的随机变量,它们都服从分布,其概率密度为求的概率密度.解由卷积公式得例5设和是两个相互独立的随机变量,它们都服从分布,其概率密度即即注意上例的结论：用类似的方法可以证明:若X和Y独立,结论又如何呢?若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2)。注意上例的结论：用类似的方法可以证明:若X和Y更一般地，可以得到正态随机变量的线性组合若且它们相互独立，则对任意不全为零的常数有此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.更一般地，可以得到正态随机变量的线性组合若且它们相互独立，则解:例6

设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，其概率密度函数为:

如果各周的需要量相互独立，求两周需要量的概率密度函数.

分别用X,Y表示该种商品在第一，二周内的需要，则其概率密度函数分别为:解:例6设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，其两周需要量Z=X+Y,Z的概率密度函数为:时，被积函数不为零，所以（1）当z0时,有两周需要量Z=X+Y,Z的概率密度函数为:时，被积函数不为零(2)当z>0,(2)当z>0,总结从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.总结从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)

由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函

类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.(i=1，…,n)设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它用与二维时完全类似的方法，可得特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有N=min(X1,…,Xn)的分布函数是

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……用与二维时完全类似的方法，可得特别，当若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.留作课下练习.当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有

如图所示.设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为:(1)串联.(2)并联.(3)备用(开关完全可靠,子系统L2在储备期内不失效,当L1.损坏时,L2开始开始工作).例6如图所示.设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2解:

设L1,L2的寿命分别为X，Y.其概率密度函数分别为:

其中>0,>0,且≠.分别对以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度函数.先求X,Y的分布函数:解:设L1,L2的寿命分别为X，Y.其概率密度函数分(1)串联.Z=min{X,Y}

FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)](1)串联.Z=min{X,Y}(2)并联.Z=Max{X,Y}FZ(z)=FX(z)FY(z)(3)备用.Z=X+Y(2)并联.Z=Max{X,Y}(3)备用.Z=X+Y当z>0时,有当z0时，当z>0时,有当z0时，第三章第三节-二维随机变量函数的分布-概率论课件这一讲，我们介绍了如何求r.v函数的分布.但有时我们无法精确求出此分布.当这个积分无法精确求出时，一个可取的方法是采用计算机模拟.例如，想求两个独立连续型r.v之和X+Y的分布函数.X的分布函数为F，Y的分布函数为G，在理论上，可以求得：其中f(x)是X的密度函数.这一讲，我们介绍了如何求r.v函数的分布.但有时这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：已知两个随机变量的联合概率分布,会求其函数的概率分布；2.会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布．n维随机向量属同学自学内容。这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理作业第82-83页1，2，4，7作业要求

写出求解过程，问答题要说明原因不用抄书本上的题目，写清序号即可作业第82-83页第三章第三节二维随机变量函数的分布第三章第三节

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:首先讨论两个随机变量函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机向量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数

Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布?在第二章中，我们讨论了一维随机变量函一、离散型随机向量函数的分布设是二维离散型随机向量，是一个二元函数，则作为的函数是一个随机变量，如果和概率分布为设的所有可能取值为则的概率分布为一、离散型随机向量函数的分布设是二维离散型随机向量，是一个二例1设随机向量函数的分布：解由的概率分布可得的概率分布如右表：求随机向量的与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同,把值相同项对应的概率值合并可得：例1设随机向量函数的分布：解由的概率分布可得的概率分布如右表的概率分布为的概率分布为的概率分布为的概率分布为例2若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解:=a0br+a1br-1+…+arb0

由独立性即离散型卷积公式r=0,1,2,…例2若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1解：依题意

例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…解：依题意例2若X和Y相互由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布.r=0,1，…由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布.例3设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.

回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n1,p),则X

是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.例3设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,

故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z~B(n1+n2,p).请同学们自己给出其严格证明故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验二、连续型随机向量的函数的分布设是二维连续型随机向量，其概率密度函数为令为一个二元函数，是的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布.(1)求分布函数则二、连续型随机向量的函数的分布设是二维连续型随机向量，其概率其中，(2)求其概率密度函数对几乎所有的有在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用(X,Y)的分布求出Z=g(X,Y)的分布。其中，(2)求其概率密度函数对几乎所有的有在求随机向量(X,1、和的分布

设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.

解:Z=X+Y的分布函数是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.1、和的分布解:Z=X+Y的分布函数是:这里积分区域D={化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:

由X和Y的对称性,知fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

这两个公式称为卷积公式.下面我们用卷积公式求Z=X+Y的概率密度特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4若X和为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域（如图示）即于是为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域（如图示）即例5设和是两个相互独立的随机变量,它们都服从分布,其概率密度为求的概率密度.解由卷积公式得例5设和是两个相互独立的随机变量,它们都服从分布,其概率密度即即注意上例的结论：用类似的方法可以证明:若X和Y独立,结论又如何呢?若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2)。注意上例的结论：用类似的方法可以证明:若X和Y更一般地，可以得到正态随机变量的线性组合若且它们相互独立，则对任意不全为零的常数有此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.更一般地，可以得到正态随机变量的线性组合若且它们相互独立，则解:例6

设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，其概率密度函数为:

如果各周的需要量相互独立，求两周需要量的概率密度函数.

分别用X,Y表示该种商品在第一，二周内的需要，则其概率密度函数分别为:解:例6设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，其两周需要量Z=X+Y,Z的概率密度函数为:时，被积函数不为零，所以（1）当z0时,有两周需要量Z=X+Y,Z的概率密度函数为:时，被积函数不为零(2)当z>0,(2)当z>0,总结从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.总结从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)

由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函

类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.(i=1，…,n)设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它用与二维时完全类似的方法，可得特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有N=min(X1,…,Xn)的分布函数是

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……用与二维时完全类似的方法，可得特别，当若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.留作课下练习.当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布