选修2-1双曲线的几何性质课时作业

选修2-1双曲线的几何性质课时作业选修2-1双曲线的几何性质课时作业选修2-1双曲线的几何性质课时作业资料仅供参考文件编号：2022年4月选修2-1双曲线的几何性质课时作业版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：课时作业12双曲线的几何性质时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是()A.eq\f(x2,3)－y2＝1和eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－y2＝1和x2－eq\f(y2,3)＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1和x2－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,3)－y2＝1和eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝1【答案】A【解析】A中离心率都为eq\f(2\r(3),3)，渐近线都为y＝±eq\f(\r(3),3)x.2．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1【答案】A【解析】根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，∴c＝5＝eq\r(a2＋b2).①又双曲线渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，且P(2,1)在渐近线上，∴eq\f(2b,a)＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2eq\r(5)，b＝eq\r(5)，故应选A.3．中心在坐标原点，离心率为eq\f(5,3)的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(5,4)x B．y＝±eq\f(4,5)xC．y＝±eq\f(4,3)x D．y＝±eq\f(3,4)x【答案】D【解析】∵eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(25,9)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(16,9)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，∴它的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(3,4)x.4．F1，F2是双曲线C的两个焦点，P是双曲线右支上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A．1＋eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C．3－eq\r(2) D．3＋eq\r(2)【答案】A【解析】由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|＝|PF即2c＝eq\f(b2,a)，从而得c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解之得e＝1±eq\r(2)，∵e>1，∴e＝1＋eq\r(2).5．(2014·全国新课标Ⅰ理)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到CA.eq\r(3) B．3C.eq\r(3)m D．3m【答案】A【解析】本题考查了双曲线的几何性质和点到直线的距离．由已知可得c＝eq\r(3m＋3)，不妨设焦点坐标为F(eq\r(3m＋3)，0)，双曲线渐近线方程设为x＋eq\r(m)y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|\r(3m＋3)|,\r(1＋m))＝eq\r(3).解决本题要首先将方程化为标准方程后得到c以及双曲线的渐近线方程，同时要注意条件m>0.6．设F1、F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(10) D.eq\r(10)【答案】C【解析】由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为F1(－eq\r(10)，0)、F2(eq\r(10)，0)．设点P(x，y)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(10)－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(eq\r(10)－x，－y)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2＋2\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→))))＝eq\r(2x2＋y2＋20)＝2eq\r(10).二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2014·北京理)设双曲线C经过点(2,2)，且与eq\f(y2,4)－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为____________；渐近线方程为____________．【答案】eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1y＝±2x【解析】本题考查了双曲线的方程和双曲线的性质．双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1的渐近线为y＝±2x，故C的渐近线为y＝±2x，设C：eq\f(y2,4)－x2＝m，并将点(2,2)代入C的方程，解得m＝－3，故C的方程为eq\f(y2,4)－x2＝－3，即eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.∴渐近线方程为y＝±2x.8．已知双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq\r(3)，y0)在该双曲线上，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝________.【答案】0【解析】∵y＝x为渐近线，∴b2＝2，即双曲线方程为x2－y2＝2.当x＝eq\r(3)时，yeq\o\al(2,0)＝1，∴双曲线的半焦距为2，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－2－eq\r(3)，－y0)·(2－eq\r(3)，－y0)＝－1＋yeq\o\al(2,0)＝－1＋1＝0.9．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．【答案】2【解析】设椭圆长轴长为2a，则双曲线实半轴长为eq\f(2a,4)＝eq\f(a,2)，所以离心率的比值eq\f(e1,e2)＝eq\f(\f(c,\f(a,2)),\f(c,a))＝2.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．【解析】(1)因为e＝eq\r(2)，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为过点(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x2－y2＝6.(2)易知F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，所以kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，所以kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3)，因为点(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，所以m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.(3)在△F1MF2中，底|F1F2|＝4eq\r(3)，F1F2上的高h＝|m|＝eq\r(3)，所以S△F1MF2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|m|＝6.11．(13分)斜率为2的直线l的双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1上截得的弦长为4，求直线l的方程．【分析】已知直线l的斜率为2，求直线l的方程，可设直线l的方程为y＝2x＋m，然后利用弦长为4，求出m即可．【解析】设直线l的方程为y＝2x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，,\f(x2,3)－\f(y2,2)＝1，))得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq\f(6,5)m，x1x2＝eq\f(3,10)(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[eq\f(36,25)m2－4×eq\f(3,10)(m2＋2)]．又∵|AB|＝4，∴eq\f(36,5)m2－6(m2＋2)＝16，即3m2＝70.∴m＝±eq\f(\r(210),3).∴直线l的方程为y＝2x±eq\f(\r(210),3).12．(14分)如图所示，已知双曲线的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1，是否存在被点(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【分析】易知点B(1,1)在双曲线外部，不妨假定符合题意的直线存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左、右两支上，其所在直线的倾斜角也不可能是90°.【解析】方法一：不存在．理由如下：假设存在被B(1,1)平分的弦，且该弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－eq\f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，解得k<eq\f(3,2).∵B(1,1)是弦的中点，且x1＋x2＝eq\f(2kk－1,k2－2)，∴eq\f(kk－1,k2－2)＝1，∴k＝2>eq\f(3,2).∴假设不成立．∴不存在被点B(1,1)平分的弦．方法二：不存在．理由如下：假设存在被点B(1,1)平分的弦，该弦为MN，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1.②))①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2，∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由eq\b\lc\{\rc\