2846.新人教版八年级下册矩形知识点及同步练习

学科：学教学内：矩形学目．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．．掌握矩形的性质及识别方法．．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学指矩形是特殊的平行四边形行边形具有的性质矩形也具有且还具有自己的特殊性．基知讲1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质具有平行四边形的一切性质．矩形的四个内角是直角．矩形的对角线相等且互相平分．矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法有一个内角是直角的平行四边形是矩形．对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注以下几点用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件一是有一个角是直角二是平行四边形也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重难重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易误分运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典例例1如12-2-1所示已矩ABCD的两条对角线AC相于，1AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解∵ABCD为形1∴AC＝BD且OA=AC，OB=BD，∴OA=OB2∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°为等边三角形∴OB＝OA＝AB，∴BD＝2OB＝2×4＝8cm．例2．如图12-2-2所eq\o\ac(□,：)ABCDAC，BD交于，EF垂足为O分别交AD，BC于点E，F，且AE=EO=

DE.求证eq\o\ac(□,：)ABCD为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要ABCD矩形，显然只要证AC＝BD即，若eq\o\ac(△,Rt)的边上的中线OM，易证AOEeq\o\ac(△,，)DOM∴OA＝OD题得证．证明：取DE的中点M，结OM，1∴在Rt△DOE中，OM=DE=DM，2∴OE=AE=

DE，∠OME=∠OEA∴OM＝OE＝AE∠OMD＝∠OEM∴eq\o\ac(△,≌)OMDeq\o\ac(△,，)OEA∴OA=OD，在中，∵OA=

1AC，OD=BD，2∴AC＝BC∴ABCD为矩形．例3．已知：如图所示E是已矩形ABCD的边CB延长上的一点，＝CA，F是AE的中点．求证：BF⊥FD分析：由于CE，F是AE的点，若连结，则CF⊥AE．所示∠AFC＝90.所以要证BF⊥FD，只须再证∠CFB＝∠AFD易知，只要AFDeq\o\ac(△,．)BCF证法一：连结CF．因为CE＝CA，F是AE中，所以CF⊥AE所以因四形为矩形所＝BC∠ABC＝∠BAD＝90.又∵F是Rt△ABE斜边的点BF＝AF∠FAB∠FBA∠FAD=∠FBC2以△FAD≌eq\o\ac(△,．)FBC所∠CFB=∠AFD所以CFB+∠DFC＝90，即⊥FD．证法二：如图所示：延长BF交长线于点，连结BD．为四边形ABCD是形，所以BC＝BD所以∠AGF∠EBF∠BEF因为F是AE的点，所以＝FE．以AGF≌△EBF所以GF，AG＝BE所以GD＝EC因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中E为CD的中点．求证：＝．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D∠C＝90，AD＝BC∵E为DC的点，∴eq\o\ac(△,≌)ADE△BCE∴AE∴∠EAB=∠EBA．例5如已矩形ABCD中CF⊥BD，∠DAB的平分线AE与FC的长线相交于点E，判断与CE的小关系并说明理由．分析：要判断CA与CE的小关系，如果能证到EAO∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF∠MAE∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE∠EAO∴∠EAO＝∴CE=CA创思例1．如图所示ABC是角三角形，，现ABC补成矩形，eq\o\ac(△,使)ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点三顶点落在这一边的对边上么符合要求的矩形可以画两个：矩形和形AEFB解答问题（1矩ACBD和矩AEFB面积分别为SS“＜

S＞（2）如图3）中△为角角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的3矩形可以画个利用图）把它画出来．过图4）△ABC是锐三角形且三边满足BC＞AB按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个利用图（）把它画出来．在（3）中所画的矩形中，哪一的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算．解）如图甲过点作⊥AB，则CG=AE∵S=2S=2×

AB·CG=AB·CG，S=AE·AB=CG·AB∴S=S（2）有2个图乙有3个图丙设矩形BCED的周分别为，BC＝a＝b＝c．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为，则有L

2ssa，L+2b，L+2c，ab∵L-L=

2sab+2a-（b）=2（a-b）

，而ab，a∴L-L，L﹥L.同理L＞L．∴以AB为的矩形周长最小．例2如图△ABC中点O是AC边上的一个动点点直线MN∥BC设MN交BCA的平分线于点E，交∠BCA的角线于点（1）求证EO＝FO）当点O运到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．分析：先证OCE＝∠OEC就EO＝CO同理有FO＝CO即有EO＝FO．当0运动到AC的点时，四边对角互相平分．∠EcF＝90.则边形AECF为矩形．证明）∵MN，∴∠1=又∵CE为∠ACB的角分线，∴＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE＝OC，同理可证OF＝OC∴OE=OF（2）当O运到AC的中点时，四边形为矩形，因为＝OC，OE＝OF.解：由矩形的特征，AC，由AE，CE∥AF知BECD是行四边形，故AE＝CF，从而AC＝FE．中练1．如图所示，在矩形中点，F别在AB，CD∥DF若AD＝12cm，AB＝7cm，且AE：EB=5：2，则阴影分的面积为分析：由已知可判断四边形EBFD是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知4BE边上的高与的长等．因求BE的长是关键．本题还可运用平移的方法，eq\o\ac(△,将)沿AB方平移，使DE与BF重合得空白部分所组成的图形是长12cm，宽的矩形，可求其面积，然后将矩形的积，减去空白部分的面积即得阴影部分的面也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积而得出阴影部分面积。解：因为AE+EB＝AB＝7cm，AE：EB＝5所以AE＝5cm，EB＝2cm.由矩形的特征，∥DF，又∥DE.所以四边形EBFD为平四边形故其面积为BE×AD＝2×12＝24cm故24cm2．如图所示，矩形ABCD沿折叠使D落在BC边的点处如果∠＝60,则∠DAE等（）A

B

C

D．60分析本主要考查矩形性质矩形的四个角都是直角考查全等三角形的判定和性质．可证△ADE≌eq\o\ac(△,，)AFE从而∠DAE∠FAE（90-60）÷2＝15答：选A3在形ABCD中⊥BD为足＝3∠

度．分析由矩形的性质得据∠DCE＝3得出∠DCE的数于AC＝BD，且AC，BD互平分，可得等腰三角形OCD则OCD＝∠ODC＝90-从可求的数．答：45随演一、填空题．矩形ABCD的边AB的点为P且∠为直角，则AD：BA＝．知形ABCD中角AC交于O点∠AOB=2∠BOCAC=18cmAD=cm.3．如图矩形ABCD中，是CD的点，且AE⊥EB若S＝8cm，AD＝，AB＝.5的两条对角线的夹角为60对角线与短边的和为边长为，对角线的长.在形中AB=2AD是CD上点且＝AB则∠CBE的数.6．在eq\o\ac(△,Rt)中∠A＝90，AB＝AC如图，且四边形AFDE矩形，若EF，形AFDE的积为12，则AC=.7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，CE交AB于F，则AF=．8如宽3长4的形片ABCD先对角线BD折点C落点C′置，BC′AD于G，再折叠一次使与点A合．得折痕EN交AD于M，则点ME的长为.二、选择题1形的边长为10cm和15cm一个内角平分线分长边为两部分部）A．6cm和．5cm10cmC．4cm和11cm．7cm和8cm2．下列四边形中，不是矩形的（）．三个角都是直角的四边形．四个角都相等的四边形．一组对边平行且对角线相等的四边形．对角线相等且互相平分的四边形3．如图，在矩形ABCD中DE⊥AC于，∠ADE∠EDC＝3，则BDE的度数（）A

B

C

D．724．已知矩形ABCD对角线相交于，且：BC=1，AC＝3cm则矩形ABCD的长为（）6A）cm

B．

185

5

cmC

65

5

）cm

D．12cm5．矩形具有的特征而一般的平四边形不一定具有的特征是（）A．对角线相等B．对边相等C．对角相等．对角线互相平分6．矩形的两条对角线与各边围的三角形中，共有多少对全等的三角形（）A．2对B．4C．6对D．87．矩形的对角线所成的角是65，对角线与各边所成的角度是（）A．5C．5，33．5

BD，32．58．下面真命题的个数是（）矩形是轴对称图形，又是中心对称图形矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段两条对角线相等的四边形是矩形有两个角相等的平行四边形是矩形两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．A．5个B．4个C．3D个三、判断题．两条对角线互相垂直并且相等的四边形是矩形（）．两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形（）．矩形是轴对称图形，而且有四条对称轴（）四、解答题1．已知，如图在ABC中D是AB上一点，且AD=DC=BD，DF分别是∠ADC，∠BDC的平分线．求证：四边形DECF是形．2．已知：如图AC、BD的交点是四形ABCD的称中心，且∠A＝90．证：四边形ABCD是矩形．3已如△ABC中CE⊥AD于点⊥AD于点是BC的中点求ME=MD.74．已知：如图，矩形ABCD中角线AC，BD交点，DE分∠ADC，交BC于E，∠BDE＝15∠COD与∠COE的数．5．如图：多边形BCDEFGH相两边都互相垂直若求出其周长那最少要知道多少条边的长度？参考答案一、填空题1：223．8cm

32m

4．5，105．15°67．108二、选择题

712123．A45．A．B7．D8．C三、判断题1．×2．×3．×8四、解答题1．证明：因为AD＝CD＝DB，所∠DCA，∠BCD＝∠B所以∠ACB=∠BCD＝∠A+∠B又因为∠ACB+∠A+∠B＝180°所以2∠ACB＝180°，即∠ACB＝90°因为DF平∠ADC平∠BDC又AD＝CD＝DB所以DE⊥BC，DF⊥AC所以∠DEC＝∠DFC＝90°所以四边形DECF是矩点拨：要判断DECF是形，除根据定义判断外，还可用有三个角是直角的四边形，或者对角线相等的平行四边形题设AD＝CD＝BD知eq\o\ac(△,，)ADC△BDC都等腰三角形DF，DE是角平分线，所以DF⊥AC，DE⊥BC.2证明因四边形ABCD是关的中心对称图形则对的顶点是关于O点对称点，所以OA＝OC＝OD，即AC，BD互相平分于点O，所以四边形是行四边形．又因为∠＝90°,所以四边形ABCD矩形．点拨：由O是称中心，易知OA＝OC，OB＝OD可得四边形为平行四边形，根据定义，只要有一个角为90°，即可．3．证法一：延长DM交CE于，延长EM交BD延线于点，连结HN.因为CE⊥AD，BD⊥AD，所以CE，所以∠＝又∵CM＝BM，∠CMN=∠BMD，所以△CMN≌eq\o\ac(△,，)BMD所以NM，同理可证＝HM.所以四边形是平行四边形，又因为CE≌AD，以是矩形．所以EH＝DN所ME＝MD．证法二：延长D