专题三：不定方程的整数解问题(含答案)

22初奥匹竞培：定程整解题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理、整数或正整数等等）的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。【础识．不定方程整数解的常见类型：求不定方程的整数解；判定不定方程是否有整数解；判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个．解不定方程整数解问题常用的解法：代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；枚举法：列举出所有可能的情况；不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；无穷递推法。【型题析一代恒变、式解【1已知

都是整数，且满足

xy)

，求

xy

的最大分析：由

xy)，得(2)因为

(x2),(2)

都是整数，所以

x2，或，，y解得

x，或，或，yyyy故x的大为注一地整数

,b,c

的次程

，1可形：分，

2()()ad

求数时只把数

()

分成个数积转为几方组

axay#

（

ad

）解通取求符题的数。【2求方

x

2

y

2

x

的整数解

(,y

分析：原方程可化为

xy2y

，配方得

(2x2(2y32所以

(xy2)因为

(

和

(

的奇偶性不同得

xyxy

，或

xyx

，或

xyxy

，或

xyxy解得：、方

(y)8),(2,1),(【3求

x

2

xy

2

x

的非负整数解

(,y)

的组数为（）A0B1C2D、3分析：由

x

2

xy

2

x配方得

2

x3)

xy)

2

y2)

2

当当

xx0

时，左边时，左边

2x13所以

x0

或当

x0

时，代入原方程得

y当

x

时，代入原方程得

y

或

因此共有组非负整数解.、离数【例】已知

是整数，满足

x0,

，则整数

的所有可能值有（

）个4B.5C.6D.82分析：由

x0,，x

a11

为整数根据整除性质，可知：

，即

1,0,2,3,5

共个值.【例】求

x(y

的正整数解.解：原方程可化为

y

51(2)(x49xxx因为

为正整数，且

49x

是整数，所以

x

或，即

x6

或48当x6时，y；时y

舍去故所求正整数解、元

(x,y)(6,3)【例】已知：x,y为数，且

y

x2009x

，求y的大值为

分析：原方程可化为

y

x2009

，令

x2009,bx，则y

2

2

xx2011)4020(a)因为

(a)

具有相同的奇偶性，且都是正整故

ya

的最大值为

2010

二奇分法【例】证明方程

xy2

无整数分析：不妨设原方程有整数解，因为

x

2

y

2

为偶数，所以x,具相同的奇偶性若

都是偶数，令

x,yb

，代入原方程，化简，得a

2

z

，左右奇偶数不同，矛盾。若xy都奇数，令

xab

，代入原方程，化简，得

(a(bz因为

(b(

都是偶数，所以上式左边为偶,边奇数，矛盾.综上，原方程无整数解。3【例8】

xy2

的正整数解分析：显然y

，不妨设

xy

，由于是数，故y

的奇偶性相同，而328能被4整，偶数的平方被4除余0，奇数的平方4余，所以x

都是偶数设

x,y

，则

2282，a0，b241

，取

2对应

2

，故只能取

2

2

，ab由x,

的对称性，因此所求正整数解

(,y(18,2),(2,18)

.三构法如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质进行讨论，且当方程有整数解时，判式为完全平方式。【9已知a,b都质数，且

2

b

2

b，m的分析：若

2，26，22；若

，则

,b

可看作关于

的一元二次方程

x

2

的两个根.由韦达定理，得

而

,b

都是质数，由

，故

,b

的值只能是或11所以

m22因此，所求m的为或22.【10已

b,c

是数且足

c

2

c

，

b,c

的。分析：由

c

，可构造以

,b

为根的一元二次程

ttc根据题意

2

c2)c

2

c(2

2

是一个完全平方式，因此存在非负整数

，使得

2)

2

2

，即

k

2

(22)

2

13所以，，得，kc所以

t

33，或a2故所求正整数四枚法

(,c)(5,2,4),(2,5,4),(5,【11方程

xy2010

共有多少个正整数解？分析：当

x(k

时，

y2010

，此时

可取1到

(2009)

，4nn一共

(2009)

个解.又x可1到2008，故原方程一共有

2008k

(2009)20092008

20092

个正整数解。注方

x(n且n

的正整数解个数为：k

(n)nn

(n2)((n2)(2思：程

xy2010

的负数共多个五不式析利用整数性或不等关确定出方程解的范围.【例12】求程

x

35

的正整数解分：对于整数，原方程得到

x357x因为

x

，所以

235

，解得

分别取

x

和

x

得到

y

和

y即所求的解为

(y)(1,17),(2,3)注：本题也可以通过分离整数法进行讨.【13求方

5(xyyz)xyz

的正整数解

(,y)

为多少组？分：方程化为

114x

①设

xy

143，1x4，所以xyz当

x

时，代入式①，得

11132，由yzyz10

，得

y

，所以

y4,5,6将x及分代入式①，得到求的解(,y,)(2,4,20),(2,5,10)当

x

时，代入式①，同样的方法可以推,程①无整数.综上，及

,,

的对称性，得到原方程有12组整数解5六无递法【14试明程

x

2

y

2

2

xyz

无零数分析：我们只需考虑,

都是正整数.显然x

不能都是奇数，或一奇二偶，否则左边为奇数，而右边是偶数，矛盾。若x,,

是二奇一偶，不妨设

xabc

，则方程左边＝

x

2

y

2

2

4(a

2

2

2

)

不是的倍数，而右边是4的数矛盾。因此

,z

只能都是偶数，不妨设

xxy2y,2111

，代入原方程，得

x2y24y11111

类似于前面的讨论，可以证明

x,y,11

都是偶数。如此继续下去…我们可得到：

x

xy2

yz

z

由于上述过程可以无限地进行下去，因而

将无限地增大，即正整数

x,zkk

k

将无限地小下去，这是不可能的。故原命题得.【对训题A组、已知满xy，整数的值.、方程组

xyyzyz23,

的正整数解的组数是（）

C.组

4组、知关于

的一元二次方程

x

2a22

64)

无实数根，求满足条件的正整数,b

的值、已知

b,c

都是整数，且

2

，求

的值6、方程

的有序整数解

(x,)

共有

组、设自然数

满足方程

xx

，其中xy

，则

xy

、试确定一切有理数r，得关于x的程

2

r

有根且只有整数.B组8、已知

b,c

都是正整数，且满足

2930c366

，则

的值为（）A.10B.12C.14D.169、一直角三角形两直角边a,b均整数，且满足

m

，试求这个直角三角形的三边.10、知：a为自然数，且关于x的程x1为.

至少有一个整数根，则可的11、已知三个正整数

,

的最大公约数为3，且满足

y222

，则

x

.13、已知

b,c

均为整数，且恒有

()(x)

，则整数

＝.ab12、已知a,b为数且满足ac7

，求abc的.C组14、已知正整数

满足

21（为整数

的值.15、方程

x

2

xy