湖南省长沙县三中2022年数学高一上期末统考试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．设函数，则下列结论不正确的是（）A.函数的值域是；B.点是函数的图像的一个对称中心；C.直线是函数的图像的一条对称轴；D.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数2．已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.3．函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.4．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（）A. B.C. D.5．下列函数中，与的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（）A. B.C. D.6．已知集合，集合，则集合A. B.C. D.7．在平面直角坐标系中,以为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点,点分别在线段上,若,与圆相切,则的最小值为A. B.C. D.8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是A. B.C. D.9．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）A. B.C.2 D.10．将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（）A. B.C. D.11．一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是A.400 B.40C.4 D.60012．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若，记，，，则P、Q、R的大小关系为______14．某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重/个，次品重/个.现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品.将这10袋产品从1～10编号，从第i号袋中取出i个产品，则共抽出______个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，则次品袋的编号为______.15．如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为，则平面图形的面积为______.16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知，，（1）值；（2）的值.18．已知为二次函数，且（1）求的表达式；（2）设，其中，m为常数且，求函数的最值19．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；20．如图，为等边三角形，平面，，，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面.21．已知函数为的零点，为图象的对称轴（1）若在内有且仅有6个零点，求；（2）若在上单调，求的最大值22．已知平面向量满足:，|.（1）若，求的值；（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】根据余弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为，，所以，即函数的值域是，故A正确；因为，所以函数关于对称，故B错误；因为，所以函数关于直线对称，故C正确；将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；故选：B2、B【解析】先求出，再对四个选项一一验证即可.【详解】因为，又，解得：.故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误.故选：B3、D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复4、C【解析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案.【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为，因此，秒针的端点所走的路线长.故选：C.【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题.5、C【解析】先求得函数的奇偶性和单调性，结合选项，利用函数的性质和单调性的定义，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，当时，可得，结合指数函数的性质，可得函数为单调递增函数，对于A中，函数为奇函数，不符合题意；对于B中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于C中，函数的定义域为，且满足，所以函数为偶函数，设，且时，则，因为且，所以，所以，即，所以在为增函数，符合题意；对于D中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意.故选：C.6、C【解析】故选C7、D【解析】因为为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点,点分别在线段上,若,与圆相切，设切点为，所以，设，则，，故选D.考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求的最小值的8、D【解析】横坐标伸长倍，则变为；根据左右平移的原则可得解析式.【详解】横坐标伸长倍得：向右平移个单位得：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换，关键是能够明确伸缩变换和平移变换都是针对于的变化.9、A【解析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.【详解】由得，∴.故选：A.10、D【解析】先由函数平移得解析式，再令，结合选项即可得解.【详解】将函数图象向左平移个单位，可得.令，解得.当时，有对称中心.故选D.【点睛】本题主要考查了函数的图像平移及正弦型三角函数的对称中心的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题.11、A【解析】频数为考点：频率频数的关系12、B【解析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.【详解】两只红色袜子分别设为，，两只黑色袜子分别设为，，这个试验的样本空间可记为，共包含6个样本点，记为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则，包含的样本点个数为2，所以.故选：B二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P、R的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P、Q的大小关系.【详解】又因为，所以所以，即所以P、Q、R的大小关系为.故答案为：14、①.55②.8【解析】将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，则共抽出个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，得到取出的次品的个数为8个，进而能求出次品袋的编号【详解】某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重个，次品重个现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，则共抽出个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，取出的次品的个数为8个，则次品袋的编号为8故答案为：55；815、【解析】由题意可知，该几何体的直观图面积，可通过，带入即可求解出该平面图形的面积.【详解】解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，所以原图形的面积是故答案为：.16、12【解析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）（2）【解析】（1）根据二倍角公式，求出，即可求解；（2）由两角和的正切公式，即可求出结论.【详解】（1）.=..=（2）====【点睛】本题考查同角间的三角函数关系以及恒等变换求值，应用平方关系要注意角的范围，属于基础题.18、（1）（2）；【解析】（1）利用待定系数法可求的表达式；（2）利用换元法结合二次函数的单调性可求函数的最值【小问1详解】设，因为，所以整理的，故有，即，所以.【小问2详解】，设，故又，∵，所以，在为增函数，∴即时，；即时，19、（1）；（2）3.【解析】（1）根据指数的运算性质可得，再由与的关系求值即可.（2）由对数的运算性质可得，再由正余弦的齐次计算求目标式的值.【详解】（1）由，可得：，∴，解得.（2）由，可得：，即，∴.20、(1)见解析(2)见解析【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，由三角形中位线定理可得，，结合已知，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）由线面垂直的性质可得平面，得到，再由为等边三角形，得，结合线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得面面【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连结∵在中，，∵，∴，∴四边形为平行四边形∴又∵平面∴平面（Ⅱ）证：∵面，平面，∴，又∵为等边三角形，∴，又∵，∴平面，又∵，∴面，又∵面，∴面面21、（1）；（2）.【解析】（1）根据的零点和对称中心确定出的取值情况，再根据在上的零点个数确定出，由此确定出的取值，结合求解出的取值，再根据以及的范围确定出的取值，由此求解出的解析式；（2）先根据在上单调确定出的范围，由此确定出的可取值，再对从大到小进行分析，由此确定出的最大值.【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，所以，所以，因为在内有且仅有个零点，分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，代入，所以，所以，所以，又因为，所以，所以；（2）因为在上单调，所以，即，所以，又由（1）可知，所以，所以，当时，，所以，所以，所以此时，因为，所以，又因为在时显然不单调所以在上不单调，不符合；当时，，所以，所以，所以此时，因为，所以，又因为在时显然单调递减，所以在上单调递减，符合；综上可知，的最大值为.【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破