上海市华师大第一附属中学2023届高一上数学期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．可以化简成（）A. B.C. D.2．棱长分别为1、、2的长方体的8个顶点都在球的表面上，则球的体积为A. B.C. D.3．已知集合，则A B.C. D.4．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（）A.1 B.4C.1或4 D.2或45．已知函数，则A.0 B.1C. D.26．已知，且，则的最小值为（）A.3 B.4C.6 D.97．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. B.C. D.8．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则A. B.C.1 D.9．幂函数图象经过点，则的值为（）A. B.C. D.10．下列各组函数与的图象相同的是（）A. B.C. D.11．已知函数，则的最大值为（）A. B.C. D.12．用反证法证明命题：“已知.，若不能被7整除，则与都不能被7整除”时，假设的内容应为A.,都能被7整除 B.,不能被7整除C.,至少有一个能被7整除 D.,至多有一个能被7整除二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．幂函数的图象经过点，则=____.14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为2，半径为1米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米.（结果保留两位有效数字，参考数据：，）15．设则__________.16．函数的最大值为__________三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求所在直线的方程.18．已知函数是上的偶函数，当时，.（1）用单调性定义证明函数在上单调递增；（2）求当时，函数的解析式.19．如图,在圆锥中,已知,圆的直径,是弧的中点,为的中点.（1）求异面直线和所成的角的正切值；（2）求直线和平面所成角的正弦值.20．设函数f(x)=k⋅2x-（1）求k的值；（2）若不等式f(x)>a⋅2x-1（3）设g(x)=4x+4-x-4f(x)，求21．已知函数.（1）证明为奇函数；（2）若在上为单调函数，当时，关于的方程：在区间上有唯一实数解，求的取值范围.22．已知函数（其中）的图象过点，且其相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求实数的值及的单调递增区间；（2）若，求的值域

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、B【解析】根据指数幂和根式的运算性质转化即可【详解】解：，故选：B2、A【解析】球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为，故体积为，选A.3、C【解析】分析：先解指数不等式得集合A，再根据偶次根式被开方数非负得集合B，最后根据补集以及交集定义求结果.详解：因为，所以,因为，所以因此，选C.点睛：合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图4、C【解析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为，由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，又由弧长公式，可得，即，当时，可得；当时，可得，故选：C.5、B【解析】,选B.6、A【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.【详解】因为，故，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为3.故选：A.【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.7、A【解析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，该球面的半径，该球面的表面积为故选A【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题8、C【解析】由题意，故选C9、D【解析】设，由点幂函数上求出参数n，即可得函数解析式，进而求.【详解】设，又在图象上，则，可得，所以，则.故选：D10、B【解析】根据相等函数的定义即可得出结果.【详解】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；D：与的解析式不相同，故排除D.故选：B11、D【解析】令，可得出，令，证明出函数在上为减函数，在上为增函数，由此可求得函数在区间上的最大值，即为所求.【详解】令，则，则，令，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，任取、且，则，，则，，，，所以，函数在区间上为减函数，同理可证函数在区间上为增函数，，，.因此，函数的最大值为.故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下：（1）判断或证明函数在区间上的单调性；（2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.12、C【解析】根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立而命题“与都不能被7整除”的否定为“至少有一个能被7整除”，故选C【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、2【解析】根据幂函数过点，求出解析式，再有解析式求值即可.【详解】设，则，所以，故，所以.故答案为：14、【解析】由题设可得“弦”为，“矢”为，结合弧田面积公式求面积即可.【详解】由题设，“弦”为，“矢”为，所以所得弧田面积是.故答案为：.15、【解析】先求，再求的值.【详解】由分段函数可知，.故答案为：【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.16、【解析】利用二倍角余弦公式，把问题转化为关于的二次函数的最值问题.【详解】，又，∴函数的最大值为.故答案为：.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、(1)(2)【解析】（1）根据AC和BH的垂直关系可得到直线的方程为，再代入点A的坐标可得到直线的方程为，联立CM直线可得到C点坐标；（2）设，则，将两个点分别带入BH和CM即可求出，结合第一问得到BC的方程解析：（1）因为，的方程为，不妨设直线的方程为，将代入得，解得，所以直线的方程为，联立直线的方程，即，解得点的坐标为.（2）设，则，因为点在上，点在上，所以，解得，所以,所以直线的方程为，整理得.18、（1）详见解析；（2）.【解析】（1）利用单调性的定义即证；（2）当时，可得，再利用函数的奇偶性即得.【小问1详解】，且，则，∵，且，∴，∴，即，∴函数在上单调递增；【小问2详解】当时，，∴，又函数是上的偶函数，∴，即当时，.19、（1）2；（2）【解析】（1）由三角形中位线定理可得∥，则可得是异面直线和所成的角，然后在中求解即可，（2）直线与平面所成的角，应先作出直线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角即为所求．过点O向平面PAC作垂线，则可证得即为直线与平面所成的角，进而求出其正弦值【详解】（1）因为分别是和的中点所以∥，所以异面直线和所成的角为，在中，,是弧的中点,为的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为所以，（2）因为，为的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面因为平面，所以平面平面，在平面中，过作于，则平面，连结，则是在平面上的射影，所以是直线和平面所成的角在中，在中，20、（1）1；（2）a<54；（3）最小值-2，此时x=【解析】（1）根据题意可得f0=0，即可求得（2）f(x)>a⋅2x-1（3）由题意g(x)=4x+4-x-42x-【详解】（1）因为f(x)=k⋅2x-所以f0=0，所以k-1=0，解得所以f(x)=2当k=1时，f(-x)=2所以fx为奇函数，故k=1（2）f(x)>a⋅2x-1所以只需a<-因为-12x所以a<5（3）因为g(x)=4x+可令t=2x-2-x，可得函数t则t2=4x+由ht为开口向上，对称轴为t=2>所以t=2时，ht取得最小值-2此时2=2x-所以gx在1,+∞上的最小值为-2，此时【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若a<m(x)，只需a<m(x)max，若a>m(x)，只需a>m(x)min，处理恒成立问题时，若a<m(x)，只需a<m(x)21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先求函数的定义域，再根据的关系可证明奇偶性；（2）根据单调性及奇函数性质，有，再通过换元，转化为二次函数，通过区间分类讨论可求解.【小问1详解】对任意的，，则对任意的恒成立，所以，函数的定义域为，∴，∴，故函数为奇函数；【小问2详解】∵函数为奇函数且在上的单调函数，∴由可得，其中，设，则，则.∵则，若关于的方程在上只有一个实根，则或.所以，令，其中.所以，函数在时单调递增.①若函数在内有且只有一个零点，在内无零点.则，解得；②若为函