江苏省江阴市石庄中学2022年高一数学第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）A.1 B.2C.4 D.62．函数的一部分图像如图所示，则（）A. B.C. D.3．已知非空集合，则满足条件的集合的个数是（）A.1 B.2C.3 D.44．若，则的可能值为（）A.0 B.0，1C.0，2 D.0，1，25．如图，四边形ABCD是平行四边形，则12A.AB B.CDC.CB D.AD6．某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在用分层抽样的方法抽取的样本容量为35，则应抽取高一学生人数为（）A.8 B.11C.16 D.107．若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是A. B.C. D.8．要得到函数的图像,需要将函数的图像（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位9．已知的值域为，那么的取值范围是（）A. B.C. D.10．函数在区间上的最小值是A. B.0C. D.211．“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．函数，值域是()A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______14．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________15．设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为________16．若数据的方差为3，则数据的方差为__________三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知函数，.（1）运用五点作图法在所给坐标系内作出在内的图像（画在答题卡上）；（2）求函数的对称轴，对称中心和单调递增区间.18．已知集合，（1），求实数的取值范围；（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围19．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标20．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式，判断并证明函数在上的单调性；（2）若存在实数，使得不等式成立，求正实数的取值范围.21．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中是正的常数，为自然对数的底数.（1）判断函数是增函数还是减函数；（2）把表示成原子数的函数.22．已知且.（1）求的解析式；（2）解关于x不等式：.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、C【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.【详解】令，则函数有最小值∵，∴当函数是增函数时，在上有最小值，∴当函数是减函数时，在上无最小值，∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.2、D【解析】由图可知,,排除选项,由,排除选项,故选.3、C【解析】由题意可知，集合为集合的子集，求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果.【详解】，所以满足条件的集合可以为，共3个,故选：C.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查计算能力，属于基础题.4、C【解析】根据，分，，讨论求解.【详解】因为，当时，集合为，不成立；当时，集合为，成立；当时，则（舍去）或，当时，集合为故选：C5、D【解析】由线性运算的加法法则即可求解.【详解】如图，设AC,BD交于点O，则12故选：D6、A【解析】先求出高一学生的人数，再利用抽样比，即可得到答案；【详解】设高一学生的人数为人，则高二学生人数为，高三学生人数为，，，故选：A7、B【解析】直线l的斜率等于tan45°=1，由点斜式求得直线l的方程为y-0=，即故选：B8、A【解析】直接按照三角函数图像的平移即可求解.【详解】，所以是左移个单位.故选：A9、C【解析】先求得时的值域，再根据题意，当时，值域最小需满足，分析整理，即可得结果.【详解】当，，所以当时，，因为的值域为R，所以当时，值域最小需满足所以，解得，故选：C【点睛】本题考查已知函数值域求参数问题，解题要点在于，根据时的值域，可得时的值域，结合一次函数的图像与性质，即可求得结果，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.10、A【解析】函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果【详解】函数，其对称轴为，在区间内部，因为抛物线的图象开口向上，所以当时，在区间上取得最小值，其最小值为，故选A【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于基础题．若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.11、A【解析】利用或，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.详解】根据题意，由于或，因此可以推出，反之，不成立，因此“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.12、A【解析】令，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域.【详解】令，则，则，故选：A.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】首先保证真数位置在上恒成立，得到的范围要求，再分和进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于的不等式，得到答案.【详解】函数，所以真数位置上的在上恒成立，由一次函数保号性可知，，当时，外层函数为减函数，要使为减函数，则为增函数，所以，即，所以，当时，外层函数为增函数，要使为减函数，则为减函数，所以，即，所以，综上可得的范围为.故答案为.【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.14、2.【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果详解：由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，所以展开图中∠PSC＝90°，根据勾股定理求得PC＝2，所以小虫爬行的最短距离为2.故答案为2点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决三、15、【解析】求出圆心到直线的距离，进而可得结果.【详解】依题意可知圆心为，半径为1.则圆心到直线距离，则点直线的最大距离为.故答案：.16、12【解析】所求方差为，填三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）详见解析（2）函数的对称轴为；对称中心为；单调递增区间为：【解析】(1)五点法作图；(2)整体代入求对称轴，对称中心，单调递增区间.【小问1详解】列表：0010-10020-20描点画图：【小问2详解】求对称轴：，故函数的对称轴为求对称中心：，故函数的对称中心为求单调递增区间：，故函数的单调递增区间为：18、（1）（2）【解析】（1）化简集合，，由，利用两个集合左右端点的大小分类得出实数的取值范围（2）根据题意可得，推不出，即是的真子集，进而得出实数的取值范围【小问1详解】由题意，，且，或，或，实数的取值范围是【小问2详解】命题，命题，是的必要不充分条件，，推不出，即是的真子集，，解得：实数的取值范围为19、（1）x2+y2＝1；（2）证明见解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【解析】(1)由可得,列出等式即可求动点的轨迹方程;(2)设出点M的坐标,我们可以得到直线AM、直线BM的方程,与直线方程联立求得点E、点F的坐标,进而得到以为直径的圆的方程,最后求出定点坐标.【详解】（1）设G（x，y）（x≠±1），因为GA⊥GB，所以，整理得C的方程为x2+y2＝1（x≠±1）；（2）设点M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，则直线AM的方程为y，令x＝3，得E（3，），直线BM的方程为y，令x＝3，得F（3，），从而以EF为直径的圆方程为（x﹣3）2+（y）（y）＝0，令y＝0，则（x﹣3）2•0，即（x﹣3）20，又因为x02+y02＝1，所以，代入可得x2﹣6x+1＝0，解得x＝3±2，所以定点T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【点睛】本题考查动点的轨迹方程,考查直线与圆的方程的应用问题,属于中档题,涉及到的知识点有直线的点斜式方程,由圆上两点的坐标列出圆的方程,认真分析题意求得结果.20、（1），函数在上单调递减，证明见解析.（2）【解析】（1）根据，得到函数解析式，设，计算，证明函数的单调性.（2）根据函数的奇偶性和单调性得到，设，求函数的最小值得到答案.【小问1详解】函数是定义在上的奇函数，则，，解得，，故.在上单调递减，证明如下：设，则，，，，故，即.故函数在上单调递减.【小问2详解】，即，，，故，即，设，，，，故，又，故.21、(1)减函数；(2)（其中）.【解析】（1）即得是关于的减函数；（2）利用指数式与对数式的互化，可以把t表示为原子数N的函数试题解析：（1）由已知可得因为是正常数，，所以，即，又是正常数，所以是关于的减函数