选修节不等式证明的基本方法课件

选修4-5不等式选讲第二节不等式证明的基本方法高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步选修4-5第二节高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功选修节不等式证明的基本方法课件选修节不等式证明的基本方法课件考纲点击考纲点击3．会用向量递归方法讨论排序不等式．4．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学纳法证

明一些简单问题．5．会用数学归纳法证明贝努利不等式：

(1＋x)n＞1＋nx

(x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数)，

了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．6．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不

等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．7．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．3．会用向量递归方法讨论排序不等式．选修节不等式证明的基本方法课件1．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.1．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.因为x1，x2∈(0,1)，所以x1＋x2－1∈(－1,1)，从而0≤|x1＋x2－1|<1.又x1≠x2，所以|x1－x2|>0，所以|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.因为x1，x2∈(0,1)，所以x1＋x2－1∈(－1,1)a－b＞0a－b＞02．综合法从

出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．3．分析法证明命题时，我们还常常从要证的

出发，逐步寻求使它成立的

，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(

、

或已证明的

、

等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．已知条件结论充分条件定义公理定理性质2．综合法已知条件结论充分条件定义公理定理性质4．反证法先假设要证的命题

，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的

，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)

的结论，以说明假设

，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．5．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值

或，

简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．不成立推理矛盾不正确放大缩小4．反证法不成立推理矛盾不正确放大缩小6．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤(1)验证：当n取

时结论成立；(2)假设当

时命题成立，证明当

时命题也成立．综合(1)(2)可知，命题对于任意n≥n0，且n0，nN*都成立．第一个值n0(例如n0＝1,2等)n＝kn＝k＋16．数学归纳法第一个值n0(例如n0＝1,2等)n＝kn＝k选修节不等式证明的基本方法课件选修节不等式证明的基本方法课件[悟一法]1．当被证明的不等式的两端是多项式、分式或对数式时，常采用作差比较法证明．作差比较法证明不等式的一般步骤：①作差：将不等式左右两边的式子看作整体进行作差．②变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个数(式)的平方和等．③判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差正负号．④结论：肯定不等式成立的结论．[悟一法]2.当被证明的不等式（或变形后的不等式）的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法.作商比较法证明不等式的一般步骤①作商：将不等式左右两边的式子进行作商.②变形：化简商式到最简形式.③判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1.④结论.2.当被证明的不等式（或变形后的不等式）的两端都是正数选修节不等式证明的基本方法课件[悟一法]1．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．利用综合法证明不等式一般有两种途径：①从分析法找思路；②从“重要不等式”，特别是均值不等式找思路．用综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B.综合法的思维特点是：由因导果．[悟一法]选修节不等式证明的基本方法课件若本例已知中的q＝1，求证：f(1)与f(－1)中至少有一个不小于2.证明：∵q＝1，∴f(x)＝x2＋px＋1假设f(1)与f(－1)都小于2，则f(1)＋f(－1)<4.而f(1)＋f(－1)＝(2＋p)＋(2－p)＝4，出现矛盾，∴f(1)与f(－1)中至少有一个不小于2.

若本例已知中的q＝1，求证：[悟一法]1．反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为(1)反设：假定所要证的结论不成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)[悟一法]2．适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；

(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．2．适宜用反证法证明的数学命题[通一类]3．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．解：(1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.由已知f(x)的单调性得：f(a)≥f(－b)．又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．[通一类]选修节不等式证明的基本方法课件[悟一法]1．用放缩法证明不等式的基本方法是：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间变量，使得B≤B1，B1≤B2，…，Bi≤A，或A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B，再利用传递性，达到目的．[悟一法]选修节不等式证明的基本方法课件[悟一法]使用柯西不等式的一般形式求最值时，关键是结合已知条件构造两个适当的数值，变形为柯西不等式的形式．[悟一法]选修节不等式证明的基本方法课件[悟一法]用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立推证n＝k＋1时也成立，用上归纳假设后，可以采用分析法、综合法、比较法、放缩法等方法去证明，以前学过的证明不等式的方法都可以应用．[悟一法]选修节不等式证明的基本方法课件[热点分析]不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题.2011年安徽高考以解答题的形式考查了作差比较法、综合法及分析法在证明不等式中的综合应用，是高考命题的一个新方向．[热点分析][考题印证][考题印证]选修节不等式证明的基本方法课件选修节不等式证明的基本方法课件选修节不等式证明的基本方法课件点击下图片进入点击下图片进入选修4-5不等式选讲第二节不等式证明的基本方法高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步选修4-5第二节高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功选修节不等式证明的基本方法课件选修节不等式证明的基本方法课件考纲点击考纲点击3．会用向量递归方法讨论排序不等式．4．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学纳法证

明一些简单问题．5．会用数学归纳法证明贝努利不等式：

(1＋x)n＞1＋nx

(x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数)，

了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．6．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不

等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．7．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．3．会用向量递归方法讨论排序不等式．选修节不等式证明的基本方法课件1．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.1．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.因为x1，x2∈(0,1)，所以x1＋x2－1∈(－1,1)，从而0≤|x1＋x2－1|<1.又x1≠x2，所以|x1－x2|>0，所以|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.因为x1，x2∈(0,1)，所以x1＋x2－1∈(－1,1)a－b＞0a－b＞02．综合法从

出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．3．分析法证明命题时，我们还常常从要证的

出发，逐步寻求使它成立的

，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(

、

或已证明的

、

等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．已知条件结论充分条件定义公理定理性质2．综合法已知条件结论充分条件定义公理定理性质4．反证法先假设要证的命题

，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的

，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)

的结论，以说明假设

，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．5．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值

或，

简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．不成立推理矛盾不正确放大缩小4．反证法不成立推理矛盾不正确放大缩小6．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤(1)验证：当n取

时结论成立；(2)假设当

时命题成立，证明当

时命题也成立．综合(1)(2)可知，命题对于任意n≥n0，且n0，nN*都成立．第一个值n0(例如n0＝1,2等)n＝kn＝k＋16．数学归纳法第一个值n0(例如n0＝1,2等)n＝kn＝k选修节不等式证明的基本方法课件选修节不等式证明的基本方法课件[悟一法]1．当被证明的不等式的两端是多项式、分式或对数式时，常采用作差比较法证明．作差比较法证明不等式的一般步骤：①作差：将不等式左右两边的式子看作整体进行作差．②变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个数(式)的平方和等．③判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差正负号．④结论：肯定不等式成立的结论．[悟一法]2.当被证明的不等式（或变形后的不等式）的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法.作商比较法证明不等式的一般步骤①作商：将不等式左右两边的式子进行作商.②变形：化简商式到最简形式.③判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1.④结论.2.当被证明的不等式（或变形后的不等式）的两端都是正数选修节不等式证明的基本方法课件[悟一法]1．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．利用综合法证明不等式一般有两种途径：①从分析法找思路；②从“重要不等式”，特别是均值不等式找思路．用综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B.综合法的思维特点是：由因导果．[悟一法]选修节不等式证明的基本方法课件若本例已知中的q＝1，求证：f(1)与f(－1)中至少有一个不小于2.证明：∵q＝1，∴f(x)＝x2＋px＋1假设f(1)与f(－1)都小于2，则f(1)＋f(－1)<4.而f(1)＋f(－1)＝(2＋p)＋(2－p)＝4，出现矛盾，∴f(1)与f(－1)中至少有一个不小于2.

若本例已知中的q＝1，求证：[悟一法]1．反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为(1)反设：假定所要证的结论不成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)[悟一法]2．适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；

(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．2．适宜用反证法证明的数学命题[通一类]3．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判