因式分解分类讲解

1式分解—提公因式法【知识要点】分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项。分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法的恒等变形。分解因式的一些注意点结果应该是的形式；(2)必须分解到每个因式都不育为止；(3)如果结果有相同的因式，必须写的形式。公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式白.提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方示叫做提公因式法.确定公因式的方法系数公因式:应取多项式中各项系数为;字母公因式:应取多项式中各项字母为.《重点辨析》提取公因式时的注意点多项式的形式I-*¥土意点多项式的首项系数为负数(1)首项为负数，一般要提出“-”号;(2)在括号内的多项式的各项都要变号.如一ma—mb+mc=一m(a+b—c)公因式是多项式公因式是多项式时，可把这个因式作为一个整体提出，如3m(a+b)—2n(a+b)=(a+b)(3m—2n)多项式的某一项恰是公因式提公因式后,括号内的项数，不增不减，特殊是某一项为1,千万不要漏掉此项，如ma—mb+m=m(a—b+1)底数需调整为同底数幂（a一b）2+（b一a）3可调整为：（a-b）2-（a一b）3或（b一a）2+（b一a）3提公因式后，括号已见分晓有同类项提公因式后，如果括号内有同类项必须合并同类项，如(a一b)2一b(a_b)=(a_b)(a一b_b)=(a_b)(a一2b)

【学堂练习】下列各式从左边到右边的变形，哪些是分解因式，哪些不是?(2)a2-2b=(a+5)(a-5)-1(1)x2+x=x2(1+-1);(4)x2+4x+4=(x+2)2(6)(x-3)((2)a2-2b=(a+5)(a-5)-1(4)x2+4x+4=(x+2)2(6)(x-3)(x+1)=x2-2x-3把下列各式分解因式(1)9a2-6ab+3a(2)一4x4y-6x2y3+2xy4【经典例题】例1、把下列各式分解因式(2)2a(x一2y)一3b(2y一x)一(2)2a(x一2y)一3b(2y一x)一4c(x-2y)(4)15b(3a-b)2+25(b-3a)3(5)(x-y)2-3(y-x)3+2(y-x)4(6)(a+x)m(5)(x-y)2-3(y-x)3+2(y-x)4例2.利用分解因式计算(1)(1)2.9x1234.5+11.7x1234.5-4.6x1234.5(2)299—2982100—2992例3.已知a+b=—,ab=2，求代数式a2b+2a2b2+ab2的值。3例4、利用因式分解说明：367-612能被140整除。【随堂练习】TOC\o"1-5"\h\z1.下列各式从左到右的变形中是因式分解的是()A、(a一1)(a+b)=a2+a一2B、x2——=(x+-!-)(x——D、m(m+4)+4=(m+2)2y2yyC、x—y=D、m(m+4)+4=(m+2)2已知二次三项式2x2+bx+c分解因式2(x—3)(x+1)，则b,c的值为()A、b=3,c=—1B、b=—6,c=2C、b=—6,c=—4D、b=—4,c=—6下列各式的公因式是a的是()A、ax+ay+5B、4ma+6ma2C、5a2+10abD、a2—4a+ma将3a(x—y)—b(x—y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是()A、3a—bB、3(x—y)C、x—yD、3a+b把多项式m^(a-2)+m(2-a)分解因式的结果为()A、(a-2)(m2+m)B、(a-2)(m2-m)C、m(a-2)(m-l)D、m(a-2)(m+l)多项式2x2y-xy的公因式是；多项式是6“2加一9沥2(?3的公因式是分解因式：xy-xy2=。a(m一心一b(n—mV=(m—心()。已知：a+b=133,ab=1000oa^b+ab^的值为。把下列各式分解因式(1)2a^b-6«2/?2+2沥2(2)-3/阮2+12sZ?2c2+9/阮3(3)a{x-y)-Z?(x-y)(4)2(y-x)2-x(x-y)【课后强化】1.3*2+仇¥—4分解因式为（3尤+4）（尤一1）,则m的值为-3xy-6mxy+9nxy=-3xy()把下列各式分解因式(1)3x2y-6xy2+12xyza(x—ci)+b(a—x)—c(x—(i)=(2)3x2(x-y)+6x(y-x)(3)2(x-y)3+4(y-x)2(4)a(a+b)(a-b)-a(a+Z?)2因式分解一公式法■分组分解法【知识要点】乘法公式逆变形平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2-(a+b)2,a2-2ab+b2-(a-b)2常见的两个二项式幂的变号规律：①(a-b)2n=(b-a)2n；②(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1.(n为正整数)把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。【学堂练习】1、如果9X2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是()A15B±15C30D土302、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是()A、一m2+4B、-x2-y2c、x2y2-13、把下列各式分解因式：(3)16x2y2-1(1)4a2-b(3)16x2y2-1(4)m2—12m+361(5)x2—xy+y24(6)—x2+2xy—y2(7)x2—y2+ax+ay(8)4x4一a2—6a一9【经典例题】例1.用公式法分解因式：(2)(x+2)2-(y-3)2(1)(a(2)(x+2)2-(y-3)2(3)a2b2-4ab+4(3)a2b2-4ab+4⑸16(x-1)2一25(x+2)2(6)(x2一x)2+6(x2一x)+9例2.用分组分解法分解因式4ax一4ay一x+y(2)a2一9+8ab+16b2(3)a2-b2-4a+4b(4)a2一b(3)a2-b2-4a+4b例3.用合适的方法分解因式:(1)5m2a4-5m2b4(2)12m2n2-12m2n+3m2(3)4a2(m一n)+b2(n—m)(4)4m(3)4a2(m一n)+b2(n—m)例4.利用分解因式计算：(2)2022+202x196+982((2)2022+202x196+982例5.若a+b=3,ab=-2,求a3+a2b+ab2+b3值。【随堂练习】TOC\o"1-5"\h\z对于多项式尤5-尤3+x2-1有如下四种分组方法：其中分组合理的是()①(x5—x3)+(x2—1)②(X5+X2)—(X3+1)③(x5—x3+x2)—1④x5—(X3—X2+1)A.①②B.①③C.②④D.③④AABC的三边满足H4+b2c2-a2c2-b4=0，则△ABC的形状是.已知a+b=2，利用分解因式，求代数式1a2+ab+1b2。

4、分解下列因式：(2)(X2+1)2一4(2)(X2+1)2一4X2(3)m2+2n—mn—2m(4)a2+2ab+b2—a—b552—452(2)992+198+11552—452(2)992+198+11-1A二1

1-6(-1)+(-6)=-7例1、分解因式：X2+5X+6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，艮口2+3=5。12解：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2x31一一3=(x+2)(x+3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例2、分解因式：x2—7x+6解：原式=x2+[(—1)+(—6)]x+(—1)(—6)=(x—1)(x—6)

练习1、分解因式(1)尤2+14x+24(2)a2-15a+36(3)x2+4尤-5练习2、分解因式(1)x2+x-2(2)y2-2y-15(3)x2-10x-24(二)二次项系数不为1的二次三项式条件：(1)(2)(3)分解结果：ax2+bx+cTOC\o"1-5"\h\za=aaa,cc=ccaLcb=ac+acb=ac+ac12211221ax2+bx+c=(ax+c)(ax+c)例(二)二次项系数不为1的二次三项式条件：(1)(2)(3)分解结果：分析：1、x"-23-5(-6)+(-5)=-11解：3x2-11x+10=(x-2)(3x-5)(2)3x2—7x+2练习3、分解因式：(1)5x2+7x-6(3)10x2-17x+3(4)一6y2+11y(2)3x2—7x+2(3)10x2-17x+3(4)一6y2+11y+10(三)二次项系数为1的齐次多项式例4、分解因式：a2-8ab-128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1，16b8b+(-16b)=-8b解：a2-8ab-128b2=a2+[8b+(-16b)]a+8bx(-16b)=(a+8b)(a-16b)练习4、分解因式(1)x2-3xy+2y2(2)m2-6mn+8n2(3)a2-ab一6b2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例5、2x2-7xy+6y21y八2y

—2/、-3y_

(-3y)+(-4y)=-7y解：原式=(x-2y)(2x-3y)例10、x2y2-3xy+2把xy看作一个整体1'、、/-11"'-2(-1)+(-2)=-3解：原式=(xy-1)(xy-2)练习5、分解因式：(1)15x2+7xy一4y2(2)a2x2-6ax+8综合练习10、(1)8x6一7x3-1(2)12x2-11xy-15y2(3)(x+y)2—3(x+y)-10(4)(a+b)2一4a一4b+3考点1：分解因式的意义1、下列从左到右的变形，属于分解因式的是()A.(x+3)(x—2)=x2+x—6B.ax—ay+1=a(x—y)+1C.x2一土=(x+L)(x—L)D.3x2+3x=3x(x+1)y2yy

2、若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x—2),试求a、b的值。考点2：提公因式法分解因式1.多项式6a3b2—3a2b2—21a2b3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a2bB.3ab2C.3a3b2D.3a2b22.把多项式2(x—2)2—(2—x)3分解因式的结果是()A.(x—2)2(4—x)B.x(x—2)2下列各组代数式没有公因式的是()A.5a—A.(x—2)2(4—x)B.x(x—2)2下列各组代数式没有公因式的是()A.5a—5b和b—aC.(a—b)2和一a+b4、分解下列因式(1)一8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3C.—x(x—2)2D.(x—2)2(2—x)B.ax+1和1+ayD.a2—b2和(a+b)(a+1)x2y(x—y)+2xy(y—x)16(x—y)2—24xy(y—x)(4)-27x2(3x-y》-9y(y-3x)A、15B、±5C、30D±30⑴(2009年北京)分解因式：-a2+14沥+4952=。⑵(2005年上海市)分解因式：m4-16〃4=。分解下列因式：(1)上m2-3n2(2)a2b2-14ab+493

(3)9(a-b)2-(3)9(a-b)2-16(a+b)29(a-b)2+24^一b)+16考点4：分组分解法分解因式(1)4x2-2x-y2-y4m2一9〃2—4m+1(1一〃2)(1—/?2)—4沥«2-4a+4-c2考点5：综合运用提公因式法、公式法分解因式1、(1)(2009年北京)分解因式：4m3-m=；(2)(2008年上海)分解因式：8x2y-8xy+2y=。2、分解下列因式：(1)8a4—2a2(2)9x2(m-n)-y^(n-m

考点6：分解因式的应用1、利用因式分解方法计算：(1)4.45x13.7+445x0.889-44.5x0.26(2)8002-1600x798+79822、已知b一a=6,ab=7，求a2b一ab2的值。3>AABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab，则△ABC是()A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形4、若a为整数，证明(2a+1)2-1能被8整除。【随堂小测】1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是()(a+3)(a-3)=(a+3)(a-3)=a2-9(C)a2b+ab2=ab(a+b)2、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于((A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是((A)-a2+b2(B)-x2-y2x2+x-5=(x-2)(x+3)+1(D)x2+1=x(x+)x)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1))16m4-25〃2〃2(C)49x2y2-z24、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是()(D)3-2n(D)3-2n+1(A)m+1+—^(B)-x2+2xy-广(C)-a2+14ab+49b25、把多项式p2(a-1)+pG-a)分解因式的结果是()A、(a-1)p2+p)B、(a-1)p2-p)C、p(a—1)(p-1)D、p(a-1)(,+1)6、已知x2+y2+2x-6y+10=0,贝l」x+y=()A