2022年高考全国乙卷文科数学试题及答案(定稿)

数学试题第21页（共21页）绝密★启用前2022绝密★启用前文科数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则A． B． C． D．2．设，其中为实数，则A． B． C． D．3．已知向量，则A．2 B．3 C．4 D．54．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：甲乙615853063753274614218122566664290238101则下列结论中错误的是A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于C．甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于D．乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于5．若x，y满足约束条件则的最大值是A． B．4C．8 D．126．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则A．2 B．C．3 D．7．执行下边的程序框图，输出的A．3B．4C．5D．68．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是A． B． C． D．9．在正方体中，E，F分别为的中点，则A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面10．已知等比数列的前3项和为168，，则A．14 B．12 C．6 D．311．函数在区间的最小值、最大值分别为A． B． C． D．12．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．14．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．15．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．16．若是奇函数，则_____，______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）证明：18．（12分）如图，四面体中，，E为AC的中点．（1）证明：平面平面ACD；（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：EQm\S(2))和材积量(单位：EQm\S(3))，得到如下数据：样本号12345678910总和根部横截面积EQx\S\DO(i)0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量EQy\S\DO(i)0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得，，．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数，．20．（12分）已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合,，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，其中满足在区间内的数有和，所以．2．设,其中，为实数，则 A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由题可得，即，则有，解得，选项A正确．3．已知向量,，则 A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可得，则，选项D正确．4．分别统计了甲、乙两位同学周的各周课外体育运动时长（单位：），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是 A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 C．甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于 D．乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于【答案】C【解析】令甲、乙的数据代表符号分别为，，则甲同学的样本中位数为，A正确；以为参考值，乙同学的样本平均数为，B正确；由茎叶图中数据可知，所以C错误；，所以D正确．5．若满足约束条件，则的最大值是A.B.C.D.【答案】【解析】解法1：作图可知在点处取得最大值解法2：求出可行域的三个顶点坐标，，分别求出目标函数值为，，比较得的最大值为.6.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则A.B.C.D.【答案】【解析】由题意可得,设，则,所以,,所以7.执行右边的程序框图，输出的n=A.B.C.D.【答案】【解析】第一次循环：,,,.第二次循环：,,,.第三次循环：,,,.所以输出的.8.右图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则函数是A.B.C.D.【答案】【解析】由图像可知函数是奇函数，且，,排除.由，，排除.由,，排除.故选.9.在正方体中，，分别为，的中点，则A.平面B.平面C.平面D.平面【答案】【解析】由题意可知，，，所以平面,所以平面.10.已知等比数列的前项和为，，则A.B.C.D.【答案】【解析】设的首项为，公比为.由题意可知：，即,解得，,所以.11.函数在区间的最小值、最大值分别为A． B． C． D．【答案】D【解析】，当时，；当时，；当时，.所以，;.又，所以;.故选.12.已知球的半径为，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为A． B． C． D．【答案】C【解析】设底面的四个顶点所在圆的半径为，四棱锥的高为，则.当底面为正方形时，底面面积最大，最大值为.所以，，当时，该四棱锥的体积最大.故，选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等差数列的前项和.若，则公差．【答案】【解析】因为，所以，即，所以.14．从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________.【答案】3【解析】解法1:设名同学的编号为甲、乙、、、，从中随机取名的所有结果为：甲乙、甲乙、甲乙、甲、甲、甲、乙、乙、乙、共10种，其中甲、乙都入选的情况为：甲乙、甲乙、甲乙共3三种，故所求概率为.解法2：设“甲、乙都入选”为事件，则解法3：设“甲、乙不都入选”为事件，则，故所求概率为15．过四点，，，中的三点的一个圆的方程为___________.【答案】或或或（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为.16．若是奇函数，则_______，__________.【答案】，【解析】因为所以其定义域关于原点对称，故，由得所以，所以，此时，其定义域为;又是奇函数，故，即，所以,此时满足.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求;（2）证明：．【答案】（1）；（2）略.【解析】（1）解：因为,所以，，所以，，代入中得又，所以，所以，所以（2）证明:因为所以所以所以，又所以由正弦定理得=1\*GB3①又由余弦定理得，所以=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以.证法2：因为所以又同理所以由正弦定理得所以18．（12分）如图,四面体中，，，，为中点．（1）证明：平面平面；（2）设,，点在上，当面积最小时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由题可知在与中，，，则，为等腰三角形．，为等腰三角形．又为中点，，．，，，平面，平面，平面．又平面，平面平面．（2）解：由（1）可知，又，为等边三角形，则．由题可知为等腰直角三角形，则．又为中点，，．如图，连结，使于．作于．平面，平面，平面，，，此时为异面直线与的公垂线段，线段长度即为到的最短距离，即此时的面积最小．，，，平面，平面．平面，线段长度即为三棱锥的以为底面的高．，，，，．，．则，．．则三棱锥的体积．19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部的横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得.（1）估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数.解析：（1）这种树木平均一颗的根部横截面积，平均一颗的材积量；（2）由,;所以所以（3）由树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，得，将，即代入可得，，即，所以当时，，故该林区这种树木的总材积量的估计值为.20．（12分）已知函数.（1）当时，求的最大值;（2）若恰有一个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）时，（），由得；由得.所以在上单调递增，在上单调递减所以最大值为.（2）（）当时，由得；由得所以在单调递增，在单调递减所以，无零点，舍去；当时，由得或；由得所以在，单调递增；在单调递减又，取，则所以存在唯一零点；当时，恒成立，所以在单调递增又，所以存在唯一零点；当时，由得或；由得所以在，单调递增；在单调递减又取又所以存在唯一零点.综上可知，若恰有一个零点，则实数的取值范围是.21.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点.（1）求的方程；（2）设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.解析：（1）设椭圆方程为：，将代入方程得，解得，故所求方程为.（2）设点①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为：，即，直线的方程为由消去可得：，所以有，所以过且平行于轴的直线与直线交点，且易求得，又，可得直线方程为，即∴∴而其中∴即直线的方程可化简为∴故直线恒过定点②当不存在时，直线的方程为：，又由线段在第四象限，可得，又由两点可得直线方程为：，所以过且平行于轴的直线与交点又可知，为的中点，可求得，所以直线为：，可知其过定点综上可知：直线恒过定点（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直