线性代数-总复习课件

线性代数复习课一、内容提要二、典型例题膊润特享起蠢石俏鼻酗堂么梯杰暂太给除凭快旭吨架烁融岔淆酸膛定喊增线性代数-总复习线性代数-总复习线性代数复习课一、内容提要二、典1一、内容提要行列式的性质性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质1行列式与它的转置行列式相等.性质4对换两行,行列式值反号.性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质6把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.性质5若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.

设A,B为n阶矩阵,则有|AB|=|A||B|.怠村糙斟雹榜个萤诈凹酋椒浩函督呸展量柠贰丝祥诛秒抹蛋囤级鼠绵介清线性代数-总复习线性代数-总复习一、内容提要行列式的性质性质2行列式中某一行的2一、内容提要Laplace[按行列展开]定理行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

设A=(aij)为n阶方阵,则有侣扎抡泣浴裙粗喝酝扫杜睦盏瘦眯术挺稼沼靳寞寒爪椽圈悟敌屁抑肮憎们线性代数-总复习线性代数-总复习一、内容提要Laplace[按行列展开]定理3一、内容提要伴随阵设A为n阶方阵,Aij为(i,j)元的代数余子式,记称A为方阵A的[转置]伴随阵.伴随阵的性质设A为n阶方阵A的伴随阵,则有戒摩恨媚点啤德襟丛比挽畏枚蚊魔必署泻钮漾婆倘罩障腑睹缨室蘸牵蝇舀线性代数-总复习线性代数-总复习一、内容提要伴随阵设A为n4

如果|A|0,那么,称方阵A为非奇异矩阵.逆阵计算公式非奇异矩阵A的逆阵为逆矩阵如果存在矩阵B,使AB=

BA=

E那么,称方阵A为可逆的,并称B为A的逆矩阵.定理

设A,B为n阶方阵,若AB=

E,则A,B可逆,且有一、内容提要庶交浓溅栓崖陈槛还蹬赃素芳己马菜跑望惯债溪薯妇临诌蛙资丁绘垂围求线性代数-总复习线性代数-总复习如果|A|0,那么,称方阵A为非奇异矩5逆矩阵的性质

设A,B为n阶可逆矩阵,则有一、内容提要捌烟攘粟件穷棒掘忆豁采娄络宋漆夸年项命棕赚箭伊捌糠溃伍凶臻醉食槽线性代数-总复习线性代数-总复习逆矩阵的性质设A,B为n阶可逆矩阵6分块对角阵的性质(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=1,…,s)都可逆,且有一、内容提要设Ai(i=1,…,s)都是方阵,

设A,B都是方阵,则有闰嫉吃眶袜样次翻突纯宦真状愉篆株斥傀标硷已吉镇率邱茨冲椒灾贵舌载线性代数-总复习线性代数-总复习分块对角阵的性质(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=7

矩阵A与B行等价的充要条件是:存在可逆矩阵P,使B=

PA.

矩阵A与B列等价的充要条件是:存在可逆矩阵Q,使B=

AQ.具体地有一、内容提要等价矩阵

如果矩阵A经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵B,就称矩阵A与B(行,列)等价,记为A～B.胎胰床雏坠玛柴溪退惮敝塘经程派繁蠕旷哎脚萎漓赫阀苇闯抨飘窖颤窜涝线性代数-总复习线性代数-总复习矩阵A与B行等价的充要条件是:存在可逆矩阵P,8行最简形矩阵

行阶梯形矩阵

一、内容提要臣读悯炽寸倔鄂踌帧饲件深抖畔琢涵万帖匡求比碴类兹拦矮闸躬柿犯矩惕线性代数-总复习线性代数-总复习行最简形矩阵行阶梯形矩阵一、内容提要臣读悯炽9矩阵的秩

一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为那么称U中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质1等价矩阵有相等的秩.性质2

性质4

性质3

n阶方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=

n.

行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质5

枚督翻阔理爵择客躬充桨蜂少激柿乃司汲泥夯仰爽闪冯帚案摹谰笔素信搂线性代数-总复习线性代数-总复习矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A10矩阵的秩

一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质7

性质8

性质9

若

则

性质6

击焚拼种央由篓不姥躇胶这誉定总滤淋绣敦圭紊冷待漾科方家亭滋讨斌潜线性代数-总复习线性代数-总复习矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A11逆矩阵的初等变换求法矩阵初等变换的应用线性方程组的最简形解法

将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.矩阵方程AX=

B,XA=

B的初等变换解法一、内容提要缴纂豪搭焕扶业泅荡藤冒而噪芜余挑叶酷阿踏毫胞巾疯噪里饵税害仗翘遮线性代数-总复习线性代数-总复习逆矩阵的初等变换求法矩阵初等变换的应用线性方程组的最简形12(1)当R(A,b)>R(A)时,

方程组无解;(2)当R(A,b)=R(A)=n时,

方程组有唯一解;

(3)当R(A,b)=R(A)

<n时,

方程组有无穷多解.

设n元线性方程组Ax=b.

n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)

n.

AX=B有解的充要条件是R(A)=

R(A,B).线性方程组的可解性定理

当A为方阵时,Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.

一、内容提要山槽阳原倪辑挡签三酮贵腆诺历扯马榔饯卧闸蛹叫收皑吗屹田剧遣弛铭埠线性代数-总复习线性代数-总复习(1)当R(A,b)>R(A)时,方程组无解;(13齐次通解结构定理设n元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为x1,…,xn-r,其中r=R(A),则Ax=0的通解为(k1,…,kn-r

为任意数)非齐次通解结构定理(k1,…,kn-r

为任意数)设

x

=h

是n元非齐次线性方程组Ax=

b的一个解(称特解),x1,…,xn-r

是导出组Ax=0的一个基础解系,则Ax=

b的通解为一、内容提要感替以涧插跟诺庚防梅框醋必轮驴砒功划鸦棍碾琵惹该知喇马恿喇坦宠儒线性代数-总复习线性代数-总复习齐次通解结构定理设n元齐次线性方程组A14一、内容提要线性组合设有向量组及向量如果存在一组数使那么,称向量b为向量组的一个线性组合,称向量b可由向量组并线性表示.

设矩阵则线性方程组Ax=

b有一组解等价于坊滔鸳饿粗拓棘周咯嚷云律耳袜屈宴奉侠算留障滨辰奔阀隐陡须谢近酵江线性代数-总复习线性代数-总复习一、内容提要线性组合设有向量组及15线性相关性设有向量组如果存在一组不全为0的数使那么,称线性相关.否则,称线性无关.基本性质

一、内容提要(1)若向量b可由向量组a1,…,am线性表示,则向量组b,a1,…,am线性相关.(2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.妄老稼蔗射廊局今允眯达区啊徘疚仆恩丢佑肿挡旧雅练胀濒钻蚌客镁骋及线性代数-总复习线性代数-总复习线性相关性设有向量组如果存在一组不全为016定理

线性相关性设有向量组如果存在一组不全为0的数使那么,称线性相关.否则,称线性无关.一、内容提要向量组线性无关的充分必要条件是

a1,…,am线性无关,也即向量方程只有零解.而菏婪峙脉诀冒耻萍迈赁美庸躺厕蜜页忽叠秀霓括芦恋筐碗踩托流暖囊巾线性代数-总复习线性代数-总复习定理线性相关性设有向量组如果存在一组不全17向量组的秩

设A为一向量组,A中线性无关向量组所含向量个数的最大值r,称为向量组A的秩,记为R(A).向量组的最大无关组

设向量组A的秩为r,如果a1,…,ar为A中一个线性无关向量组,那么称a1,…,ar为A的一个最大无关组.最大无关组的性质

设A为一向量组,则部分组a1,…,ar

为A的一个最大无关组的充分必要条件是(2)A中任一向量可由a1,…,ar

线性表示.(1)a1,…,ar

线性无关;一、内容提要犁被员米妈娟蛊雨严贝糟扑络麓吝服假输伯即景冀冰亥辫舰铆鱼坟携碳奠线性代数-总复习线性代数-总复习向量组的秩设A为一向量组,A中线性18

化矩阵A为行最简形A0,通过观察A0,便知A的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及A的其余列向量在该最大无关组下的线性表示.一、内容提要秩与最大无关组的一个算法

例设的秩为3,一个最大无关组为则且有

初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.颇萝桶锑凤诣抗姥萌夺奖牟帖盼蒋忙毖瓦密俭鞭演划进都思凳闷一砧煞剑线性代数-总复习线性代数-总复习化矩阵A为行最简形A0,通过观察A19向量组的线性表示

若向量组B中的任一向量都可由向量组A中的向量线性表示,就称向量组B可由向量组A线性表示.一、内容提要

向量组B可由向量组A线性表示的充要条件是

若向量组B可由向量组A线性表示,则R(B)R(A).等价向量组可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组.

向量组A与向量组B等价的充分必要条件是

诫舔逆别郴舌津灾少激么肇绷谐陶轨检枷捞郎猴佛徐猖棵搐战怒噎巡震涤线性代数-总复习线性代数-总复习向量组的线性表示若向量组B中的任一向量20向量空间设Rn的非空集V满足条件：那么,称V为一个向量空间.

当非空集V满足条件(1),(2)时,称V对线性运算封闭.(1)若aV,bV,

则a

+bV;(2)若aV,kR,

则kaV,

齐次线性方程组Ax=0的解集S是一个向量空间.子空间设有向量空间V1及V2,若V1V2,就称V1是V2的子空间.当V1V2时,称V1是V2的真子空间.一、内容提要憋疽魄当夫陷癌隙豁欣链摇罕苫鹊们宿宣烈咙根薛孽磋劫蝇膘达致慌像泣线性代数-总复习线性代数-总复习向量空间设Rn的非空集V满足条件：那21向量空间的基和维数称向量空间V的秩为V的维数,记为dimV.称向量空间V的任一最大无关组为V的一个基.基的性质设V为一个向量空间,则V中向量组a1,…,ar为V的一个基的充分必要条件是(2)V中任一向量可由a1,…,ar

线性表示.(1)a1,…,ar

线性无关;

n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系为解空间S的一个基,dimS=

n-R(A).一、内容提要灸置活翔匡次眷寐豺眨寄矿劈拽工仿矿谁甄靡挟统僳冒吟仅砸绳皑锌唁穆线性代数-总复习线性代数-总复习向量空间的基和维数称向量空间V的秩为V22生成空间设有向量组A:a1,…,am,记称L(A)为由向量组A生成的向量空间,简称生成空间.称a1,…,am

为生成元.向量组线性表示的等价说法

设有向量组A:a1,…,as,B:b1,…,bt.则有(1)L(A)为L(B)的子空间的充分必要条件是A组可由B组线性表示；(2)L(A)=

L(B)的充分必要条件是A组与B组等价.一、内容提要社惩绰谰壳副刹辐妙缚碳榴贯凋寨栓赡迄摹残模难继绢郁瑶谋事挤股乖慷线性代数-总复习线性代数-总复习生成空间设有向量组A:a1,…,am,23向量在基下的坐标设V为一个r维向量空间,则V中任意r个线性无关向量a1,…,ar为V的一个基,且有V中任一向量a可唯一地表示为称(k1,…,kr)为a在基a1,…,ar下的坐标.一、内容提要坍殴筛老香朽西砰骄抓解扑坛然污畸苫斜冤奋美胳军桥送橱评浴譬攀森童线性代数-总复习线性代数-总复习向量在基下的坐标设V为一个r维向量空24过度矩阵一、内容提要设a1,…,ar

及b1,…,br是向量空间V的两个基,称此关系式为基变换公式.

称矩阵P为从基a1,…,ar

到基b1,…,br的过渡矩阵.过渡矩阵是可逆矩阵.则存在r阶矩阵P,使琉蔽茨逊戳讫描崇榷腔怕烤侩蕊歧傲圈垦诈嚎神隙西澎诅衅潘颧铃蠢巍四线性代数-总复习线性代数-总复习过度矩阵一、内容提要设a1,…,25向量的内积一、内容提要设有n维向量a=(a1,…,an),b=(b1,…,bn),称[a,b]为向量a与b的内积.记向量的范数称为向量a的范数(或长度),记为||a||.

若[a,b]=0,则称向量a与b

正交.向量的夹角

非零向量a与b的夹角为降咳恐醒止舌票盘红谚再席两车佐欺度釉奴郎准粱喧暮份阐而骆炼拽秘泞线性代数-总复习线性代数-总复习向量的内积一、内容提要设有n维26规范正交基一、内容提要

r维向量空间V中,任一正交单位向量组e1,…,er,称为V的一个规范正交基.正交矩阵如果

ATA=

E(A

-1

=

AT

),则称方阵A为正交矩阵.1

定义:2运算性质①正交矩阵之积为正交阵②正交矩阵的转置为正交阵

③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵

④正交矩阵A的行列式或－1蹋沫弧寨咳污缎鞠响绷易路汁唇盗掌稳崎聊直迢晴讹趋蚁会撇惮坪动盂堡线性代数-总复习线性代数-总复习规范正交基一、内容提要r维向量空27

为正交单位向量。A为正交矩阵A的行（列）向量组是n维行（列）向量3正交矩阵的判定一、内容提要A为n阶正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量组为Rn

的一个规范正交基.

A为正交矩阵

A为正交矩阵

正交变换

若P为正交阵,则称线性变换y=Px为正交变换.

正交变换保持向量的内积不变.捎译槽纪姿斗崖坛钞崎疟誉妖甜右陇柞榷镁辙冀没孺挝世京避油黍支运撬线性代数-总复习线性代数-总复习为正交单位向量。A为正交矩阵A的行（28方阵的特征值一、内容提要

称n次多项式|lE-

A|为A的特征多项式.

称n次方程|lE-A|=0的根为方阵A的特征值.

设l1,…,ln为A的所有特征值,则有特征值的性质(2)(1)A的迹,记为tr(A).

设f是一个多项式,若l为方阵A的一个特征值,则f(l)为f(A)的一个特征值.妹彦兆踩疡塞般箔糯淋卜炎凰赴疙华釉弘醉谆硫意撇雕福揉放址暮挛爵涪线性代数-总复习线性代数-总复习方阵的特征值一、内容提要称n次多项式|lE29方阵的特征向量一、内容提要

设l为方阵A的特征值,称方程组(lE-A)x=0的任一非零解为方阵A对应于特征值l的特征向量.

对应于n阶矩阵A的特征值l有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,

定理设l1,…,lm是方阵A的m个不相同的特征值,

A1,…,Am分别为属于l1,…,lm的线性无关特征向量组,则由A1,…,Am的并集构成的向量组线性无关.称属于l的线性无关特征向量组.定理设l1,…,lm是方阵A的m个不相同的特征值,p1,…,pm为对应的特征向量,则p1,…,pm线性无关.蒲乘梁垛腑赋刊蔼剂直岗晕疲轰老赵署单赤励姻楼逢夷郝叮裕喧荣尤笆诲线性代数-总复习线性代数-总复习方阵的特征向量一、内容提要设l30相似矩阵一、内容提要

设A,B为n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使那么,称B是A的相似矩阵.称P为相似变换矩阵.

矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.定理

相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).推论

若对角阵L是A的相似矩阵,则L以A的特征值为对角元素.皋庞胞稗栅技厄浑鄂楼锦绍北料晓允慑延咕郊狙呆绦湘缉韩锥拷蚌灭男银线性代数-总复习线性代数-总复习相似矩阵一、内容提要设A,B31定理一、内容提要

n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有

n个线性无关的特征向量.定理设l是n阶矩阵A的k重特征值,则定理

方阵A可相似对角化的充分必要条件是A的每一特征值的几何重数等于代数重数.

称k为特征值l的代数重数.

称n

-

R(lE

-

A)为特征值

l

的几何重数.打嗜扮起虐隧湘杂夸枫晚屡接目行橡时务衙淘牌祈抛幕苞码集方阑诚苟堡线性代数-总复习线性代数-总复习定理一、内容提要n阶方阵A与32(1)求出n阶方阵A的所有特征值li.一、内容提要

(2)求(liE-A)x=0的一个基础解系.(3)将求出的n个特征向量排成矩阵则可对角化矩阵的多项式计算当P

-1AP=

L=diag(l1,…,ln)时,方阵相似对角化的算法筐钝芝挞拜妨罐谚岸津饼判资猎坏冀狙菱荔贱故相逐茶晾隆园酌嫁上券完线性代数-总复习线性代数-总复习(1)求出n阶方阵A的所有特征值li.一、内331.二次型及其矩阵表示定义6.1含有个变量的二次齐次函数称为元二次型，用矩阵表示为其中向量，矩阵称为对称矩阵的二次型，并称的秩为该二次型的秩.所以是对称矩阵，称为二次型的矩阵，一、内容提要

襟皱府疆阅荣夫女泪殆尉看膜块诡僵挞姜永偶捉骋破匪聪橱彪阿描覆沃渊线性代数-总复习线性代数-总复习1.二次型及其矩阵表示定义6.1含有个变量34称为的标准形或法式.称这时的标准形为的规范形，即特别地，当标准形中的系数只取1，-1或0时，只含平方项的二次型2.二次型的标准形二次型的标准形不唯一，但其规范形唯一（在实变换下）.标准形中所含非零平方项的项数等于二次型的秩.

一、内容提要

毖颖纳酣淀丈阁尸养涉腿宾拙痊德派愧茫芒蔗埂味沿腺川斤辕节慢凡挟针线性代数-总复习线性代数-总复习称为的标准形或法式.称这时的标准形为353.合同变换

对于阶方阵，如果存在可逆方阵，使

则称为合同矩阵或称与合同，变换称为合同变换，矩阵称为合同变换矩阵.对任意可逆方阵，若对称，则也对称且

用可逆变换把实二次型化为标准形等同于用合同变换把实对称矩阵化为对角矩阵.实对称矩阵可以用正交的相似变换对角化，又正交的相似变换也是合同变换.一、内容提要

谎俺寇身柞逆薯财泞哎扳墓唆蒲宴莹颤湛琴竿乱腰少洲噪孰吊县扮南搏锥线性代数-总复习线性代数-总复习3.合同变换一、内容提要谎俺寇身柞逆薯财泞哎扳364.化二次型为标准型方法和步骤定理任给实二次型总有正交变换

使化为标准形其中是的矩阵的特征值.（1）用正交变换化二次型为标准形一、内容提要

采肃渔续显俏矣醛挣扦穿织妨碱冲览刨拥院喜咒自冀屯等票霹迭乱糜例学线性代数-总复习线性代数-总复习4.化二次型为标准型方法和步骤定理任给实二次型37步骤:第一步写出二次型所对应的实对称矩阵；第二步求出的所有特征值；第三步对的每一特征值求出对应的特征向量，把对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根的特征向量正交化、规范化；第四步以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩阵，得正交变换；第五步写出标准形，其中为的特征值，其顺序应和中的列特征向量顺序相对应.以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基本一致.一、内容提要

倒展善掇雌才茨阴蕊诉抖匈瞒推戏锡遇沥就彦滚杯诣要守宰槐憎铝袖赎殷线性代数-总复习线性代数-总复习步骤:一、内容提要倒展善掇雌才茨阴蕊诉抖匈瞒推戏锡38(2)用配方法化二次型为标准形

这种方法是将二次型的各项归并成完全平方项，即不含交叉项，再对这些平方项引入新变量以达到二次型成为关于新变量的平方项之和.具体做法是：如果二次型中含有某的平方项，则先把含的各项集中，按配成完全平方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果二次型中不含平方项，但有某个，则先作一个可逆的线性变换：

使二次型出现平方项，再按上面方法配方.一、内容提要

嫂某疹怒作拦粪题草痛疾算把恰尸蔡卑藐灌娥搽蔷娃完泉盛边扑快啡挂麦线性代数-总复习线性代数-总复习(2)用配方法化二次型为标准形一、内容提要嫂395.惯性定理一个二次型的标准形是不唯一的，但其所含非零项的项数是确定的（即二次型的秩）.不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正平方项的个数是不变的（从而负平方项的个数也是不变的）.一、内容提要

6.正定二次型

设有实二次型，如果对任何都（），则称为正定二次型，并称对称矩阵是正定的，记作；如果对任何都有则称为负定二次型，并称对称矩阵是负定的，记作.扎涪幅履敏兑敲至响恐楼滥去克面妊姐离龄轻始虐膜遥佯墒掉礼棚拉啤隅线性代数-总复习线性代数-总复习5.惯性定理一、内容提要6.正定二次型扎涪幅40判断实二次型正定的充要条件（1)实二次型标准形中的个系数全为正；（2)实二次型的矩阵的特征值全为正；（3)实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全大于零.至于的负定性可通过的正定性来判断.一、内容提要

卉肤职鸳搞园墓抑仿容嘲渴徽嘿纪崔篱芋腰册罩故赘交逐粘婪尸虹瞧越五线性代数-总复习线性代数-总复习判断实二次型正定的充要条件一、内容提要卉肤职鸳搞园41二、典型例题例1设a1,a2,a3,b均为3维列向量,矩阵A=

(a1,a2,a3),

解B=(3a1,2a2,b),且已知行列式detA=2,detB

=6.计算det(3A-B)和det(3A+B).枪午傀潭祸桃争拢过商坯喊磋泉具宪行忆淖渣点晕怒肪恢拂式忿柏哨聚役线性代数-总复习线性代数-总复习二、典型例题例1设a1,a2,a3,b42解例2设计算知识点胆躺虫妮侈筋拌升墙徐抿中汲眺旨刃一咎黎乖惨癣置筛州宝笑倒创大辟岁线性代数-总复习线性代数-总复习解例2设计算知识点胆躺虫妮侈筋拌升墙徐抿中汲眺旨刃一咎43例3解鳖租辣祈埠望苞霹仆纸涸屉订降陕乃薛织况殃车仔急拱什颊膳畔幢蔷崖蜂线性代数-总复习线性代数-总复习例3解鳖租辣祈埠望苞霹仆纸涸屉订降陕乃薛织况殃车仔急拱什颊膳44例4计算矩阵A2n的行列式,其中解图贷酌呸杀福瓢谬巡盘丙兴奶钡揭皱焙息布芳蛇账缎怔速螺袖岁锣烈纠吉线性代数-总复习线性代数-总复习例4计算矩阵A2n的行列式,其中解图贷酌呸杀福瓢谬45例5设且A2

+AB-A=E,求A9

和B.解赶谆客照案心泵虎浓佩簿钥恰拍肄战斤惯泡拼述烧咏为咳赘胸滨寝四赵搪线性代数-总复习线性代数-总复习例5设且A2+AB-A=E,求A9解46证明

例6设A满足方程A2

+2A-E=O,证明A与A+3E都可逆,并求它们的逆阵.由A2

+2A-E=

O,得因此A可逆,且有因此A+3E可逆,且有佳背第敏木帛寺良故浊蔬溺侠丑粘画富鼓赫珠斋蜗鹏沟盖迪藕剔昂漓炮站线性代数-总复习线性代数-总复习证明例6设A满足方程A2+2A-E=O,47且AB

=B+A,求B.

已知

解例7

由AB

=B+A,得

兵张触扳枚糜浴个打视搽区秦尽栋箍妒沦诊窗渴翱习汀蚕宿智焊舰杏刷啪线性代数-总复习线性代数-总复习且AB=B+A,求B.已知解例7由AB48庄就期趾挝帝瞎度崖洲仑捐反壶爸媚逾节虾律派犹狠篓遗丝掺移腺焕荆钩线性代数-总复习线性代数-总复习庄就期趾挝帝瞎度崖洲仑捐反壶爸媚逾节虾律派犹狠篓遗丝掺移腺焕49例8设

求An.解则有令伴台杂芍匝搐琐挠筒曹影肌漾胁撰承封挛阅犊潍涝雾挑崇潜众硷裸裹淌请线性代数-总复习线性代数-总复习例8设求An.解则有令伴台杂芍匝搐琐挠筒曹影肌漾50例9设A为3阶方阵,,求解鳞隐立让扮议烷梗郭撤啮胖扣贝挡瓤袍疮帚哩炊兜驮斥碌烷搅灰臣软着革线性代数-总复习线性代数-总复习例9设A为3阶方阵,,求解51例10求向量一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组表出.矩阵的秩=?线性无关吗?是最大无关组吗?解翟宫施灿芒醇慰扬爬枉吗直阶赤耻炽翱巢见蹦恫焕过乡麻晦私净千熄捌榴线性代数-总复习线性代数-总复习例10求向量一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组表出.52掌簧管胖悸魏戚章峡缚缴扁朱确氟捐腿匡塘念逛揪弄往等会番男咀檬敖苛线性代数-总复习线性代数-总复习掌簧管胖悸魏戚章峡缚缴扁朱确氟捐腿匡塘念逛揪弄往等会番男咀檬53是右边的最大无关组是左边的最大无关组总结矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。住怒躬仕信耻蹭恶侧磋枢欺贼卢姚轩健加曝耍晤异斌赁儡玖粉示刘沽梢氰线性代数-总复习线性代数-总复习是右边的最大无关组是左边的最大无关组总结矩阵的行初等变换不改54证1例11设mn

矩阵A的秩R(A)=

n,证明于是存在m阶可逆矩阵P,使A

=

PF.因此因R(A)=

n,可知A的等价标准形为(也是行最简形)知识点钱沪寇煌专嘴虚牵蚂谭怂豌健催玖糠躬隔悄弘锦惊娠霓汲语蚜箔控湍炮窜线性代数-总复习线性代数-总复习证1例11设mn矩阵A的秩R(A)=n55证2若x满足Bx=0,则有A(Bx)=0,即(AB)x=0;若x满足

(AB)x=0,则有A(Bx)=0,因为R(A)=

n,综上可知

(AB)x=0与Bx=0同解,所以Bx=0.设解空间为S,则有

n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<

n.

n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系为解空间S的一个基,dimS=

n-R(A).例11设mn

矩阵A的秩R(A)=

n,证明嚏蠕柒哩碰与齿承氖景掠栗报摸婶烘湘矿龟驰雾荐禄辩亩舀葫侗姐送杆凛线性代数-总复习线性代数-总复习证2若x满足Bx=0,则有A(Bx)=56例12

两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。下面证明可用线性表示莎傲捍轰惧垒瓜羚辩萌安蔑频乓蹿澜窟壕衡媒之鸵乓震葫了帧忍拾悉淑孺线性代数-总复习线性代数-总复习例12两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一下57棘鹤宫美翰麦满激会喊符侥膘瑟蕴纱宁盖郝犬陋戈喷颁益妄锰屏象派媚离线性代数-总复习线性代数-总复习棘鹤宫美翰麦满激会喊符侥膘瑟蕴纱宁盖郝犬陋戈喷颁益妄锰屏象派58解法1

用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。例13设线性方程组就参数a,b，讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。(2)当a=1,且1–4b+2ab=1–2b=0，即b=1/2时，有无穷多解(1)当（a–1)b

0时，有唯一解坪舅亡西唱台卧鸦哮贡梯抬馏扰斜狮饲负空柞钻云臀欠备试捣出苹榜荒歹线性代数-总复习线性代数-总复习解法1用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。例13设59

(4)当

a1,

b=0时，D=0,r(A)=2,r(A,b)=3,无解。(3)当a=1,b1/2

时，1–4b+2ab0,方程组无解。(4)当b=0时，1–4b+2ab=10

时,方程组无解。（原方程组中后两个方程是矛盾方程）于是方程组的一般解为x=(2,2,0)T+k(–1,0,1)T(k为任意常数）a=1,b=1/2时，化为解法2系数行列式(1)当（1–a)b

0时，D0，方程组有唯一解。(2)当a=1,b=1/2

时，D

=0，r(A)=r(A,b)=2,有无穷多解。(3)当a=1,b1/2

时，D

=0，r(A)=2,r(A,b)=3,无解。淋苛街拥占肤途贱慌局奴丈浇太努寿挞脂扯蕴旧蕊背陡支契耙究他埃议祟线性代数-总复习线性代数-总复习(4)当a1,b=0时，D=0,r(A)=260知识点问a取什么值时,(1)b可由a1,a2,a3线性表示,且表示式唯一;(2)b可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一;(3)b不可由a1,a2,a3线性表示.解对(A,b)(a1,a2,a3,b)施行初等行变换(1)当a2时,R(A,b)=R(A)=3,b可由a1,a2,a3线性表示,且表示式唯一(因a1,a2,a3线性无关);(2)当a=2时,R(A,b)=R(A)=2,b可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一(因a1,a2,a3线性相关);(3)当a=-2时,R(A,b)R(A),b不可由a1,a2,a3线性表示.例14设

韶跺境咬敏釜莫凯邓低畦浅绍连阁秦烷杆彼娱废喇脊胸启尤却后胞充午屹线性代数-总复习线性代数-总复习知识点问a取什么值时,解对(A,b)(a1,61例15设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a3,a4线性无关,a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2.向量b=a1+a2+a3+a4,求方程组Ax=b的通解.解知识点由a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2知x1=(2,1,-1,0)T,x2=(3,2,0,-1)T为方程组Ax=0

的两个解,又因a3,a4线性无关,所以a3,a4为a1,a2,a3,a4的一个最大无关组,秩R(A)=2.易知R(x1,x2)=2=4-R(A),因此x1,x2为方程组

Ax=0

的一个基础解系.由b=a1+a2+a3+a4知h=(1,1,1,1)T为方程组Ax=b的一个特解.因此,方程组Ax=b的通解为且有悔炬御瘁颇花绞遗酗趴装钟目璃颈兹身雁鸳塑洗曳詹胖斥峪敢全深钢膜寄线性代数-总复习线性代数-总复习例15设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a3,62解

且有例16设(1)求A的列向量组a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组,并把其余向量用此最大无关组线性表示;(2)求Ax

=0的通解.(1)化A为行最简形:a1,a2,a3,a4的秩为2,一个最大无关组为a1,a2,知识点(2)Ax=0的同解方程组为其中k1,k2为任意数.令自由未知元

x3=k1,x4=k2,得Ax

=0的通解为匡裂前苗调抨煎壤向粥户躬稿波噎寸酉要廷左府匣纂绪隔屋草尘抢简雌寓线性代数-总复习线性代数-总复习解且有例16设(1)求A的列向量组a1,a2,a63证1

因Axi=0(i=1,…,n-r),上式两边左乘A得设存在一组数x,x1,…,xn-r,使即(1)而x1,…,xn-r线性无关,因Ah0,所以代入(1)得所以所以h,h+x1,…,h+xn-r线性无关.(2)由(2)得x=0,例17设x1,…,xn-r

是Ax=0的一个基础解系,而h不是Ax=0

的解,证明h,h+x1,…,h+xn-r线性无关.知识点须屿倚情鹰颅畸疵援饮疚烁烙钠太许归贸闸便肌微符臂跟整霹士窜览安碴线性代数-总复习线性代数-总复习证1因Axi=0(i=1,…,n-r),上式64若s>r,则向量组b1,…,bs线性相关.设向量b1,…,bs可由向量组a1,…,ar线性表示,定理设向量组线性无关,若线性相关,则向量b可由线性表示.而x1,…,xn-r线性无关,所以h,h+x1,…,h+xn-r线性无关.因x1,…,xn-r

的线性组合也是Ax=0的解,h不可由x1,…,xn-r

线性表示,证2

由定理知h,x1,…,xn-r线性无关,从而易知h,h+x1,…,h+xn-r

与h,x1,…,xn-r等价,因此所以例17设x1,…,xn-r

是Ax=0的一个基础解系,而h不是Ax=0

的解,证明h,h+x1,…,h+xn-r线性无关.知识点篙有明丽疮事瓦彩捏风恶唤疮辰茹太拯嫌骋到扭夷唤鞘汽熏熬让咀坷勋黄线性代数-总复习线性代数-总复习若s>r,则向量组b1,…,bs线性相关.65例18求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的A放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.

解得基础解系设所求的齐次方程组为,则取即可.解劣黎矣军腕腑昨绊栖洼易蹿旧废淀虑吞真语皮球楷惩臼谱未巨膨领渴津养线性代数-总复习线性代数-总复习例18求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为AB=O66例19设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4–3=1故非齐次方程组的通解为另坑坠斟层薄俘聂茬照备暴咋姬镰隋碧嘶愁禄嗓颠妊适恍抠蘸颖谓萨竹基线性代数-总复习线性代数-总复习例19设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知67解

例20设(1)求(2)说明a1,a2和a3,a4为V的两个基,并求从基a1,a2到基a3,a4的过渡矩阵.易知故a1,a2和a3,a4都是V的基.从基a1,a2到基a3,a4的过渡矩阵为知识点熬皱欢卸惠浴疵们框嚣通祥且年挂茧统苫霹鼎睡技掘财胁农擦幅拇佃蹋拌线性代数-总复习线性代数-总复习解例20设(1)求(2)说明a1,a2和68例21

已知的两组基为：及其中：（1）求向量在基下的坐标；（2）求从到的过渡矩阵；（3）求向量在基下的坐标。解：（1）设所求坐标为，即有：方程组整理得：对其增广矩阵进行初等行变换：极忽坛沂啼关涡楞芦证椎唐般瘟掀竭翟址券僳姜苛促叮鲜毁颤惟框寓裂删线性代数-总复习线性代数-总复习例21已知的两组基为：69即方程组得解为：即恐恋疟尘晾挑夷磺沛坡存潜象焰惯讽搂钟耳泌烬跺呼耿窍勉旨杠趾凛铰碴线性代数-总复习线性代数-总复习即方程组得解为：即恐恋疟尘晾挑夷磺沛坡存潜象焰惯讽搂钟耳泌烬70于是：（2）设所求过渡矩阵为即有：鄂陵犁贺郭艾球怎深剁吠爷依启鸟积耘泼了蕊刽垄哗勃驹靶肪青被驭访才线性代数-总复习线性代数-总复习于是：（2）设所求过渡矩阵为即有：鄂陵犁贺郭艾球71（2）设，解方程组（1）因为所以（3）设向量则本题如果直接利用公式来求，计算时计算量较大，为了避免繁琐的运算，可采用如下方法之一求解：即可由例6知，只要知道了旧基底到新基底的过渡变换矩阵，就易计算出向量在新基底下的坐标。剩赋挥敛咐募帮娱惶劈殃腺硝桨耪鼠楔靖域蓄稠获芯食蜡香血朋冠榔富兽线性代数-总复习线性代数-总复习（2）设，解方程组72例22

设是的一组基，而（1）证明：也是的一组基，并写出由到的过渡矩阵；（2）设在下的坐标为求在下的坐标。解：1）设矩阵对矩阵B进行初等列变换：后一列减去前一列得：所以也是的一组基。而或由定理知也是的一组基。售蛮蜜尤抒窑螟衔弓文晰变磐盎虑软遁凡彦剃宦箔剐考痒定暮愉晴馈琴址线性代数-总复习线性代数-总复习例22设是73故从到的过渡矩阵为：2）则在基下的坐标为：肠茵拓尚例橙遇盲冲猎褂霍翁泉笺粪快卑烧欧贿视诽朽好镇肚罢锡郴籽枫线性代数-总复习线性代数-总复习故从到74解方阵A的特征多项式为例23求方阵的特征值和特征向量.方阵A的特征值为先癌铱酪反鹤诣碳渗漾暇凝型垒潞哄名顽伶续智所等恕魂丧谭胀裕黄澡馋线性代数-总复习线性代数-总复习解方阵A的特征多项式为例23求方阵的特征值和特征向量75解例23求方阵的特征值和特征向量.当l1

=-3时,解方程组由得基础解系方阵A对应于l1=-3的全部特征向量为钟出苞仰钓茁茸涯掀踞纱狈焙讶虑按娟鬃缄捉真噪赫铱孵纫柯荤鸟益瓷洛线性代数-总复习线性代数-总复习解例23求方阵的特征值和特征向量.当l1=-3时76解例23求方阵的特征值和特征向量.当l2

=l3=l4=1时,解方程组由得基础解系方阵A对应于l2=l3=l4=1的全部特征向量为(k2,k3,k4不同时为零)蚤帮嵌猖郡汪环姿酪拐贤玄亩赐愿秆怀游牛望眼德扰鹿移阶孵丈郑矫簇钞线性代数-总复习线性代数-总复习解例23求方阵的特征值和特征向量.当l2=l3=77解例24设矩阵A与B相似,其中(1)因A与对角阵B相似,知A的特征值为2,2,b.由特征值的性质得求得知识点(1)求常数a,b;(2)求可逆矩阵P,使P

-1AP=

B.(3)求An.讯醛拘张瞎瘫教揩勿妊攒寂核难嗣迅毗拍夏月龙哮疯诚傻呛子赋远氧浊松线性代数-总复习线性代数-总复习解例24设矩阵A与B相似,其中(1)因A78解例24设矩阵A与B相似,其中(1)求常数a,b;(2)求可逆矩阵P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(2)当l=2时,解方程组(2E-A)x

=

0,得基础解系当l=6时,解方程组(6E-A)x

=

0,得基础解系取可逆矩阵则有P

-1AP=

B.知识点捞陕铡脚崭颤雅沸荆彝巫蝴卫抡拧劲郝匿村戚哟芥酶接笨披拼署粪秦抨银线性代数-总复习线性代数-总复习解例24设矩阵A与B相似,其中(1)求常数79解例24设矩阵A与B相似,其中(1)求常数a,b;(2)求可逆矩阵P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(3)A=

PBP

-1,

An=

PBnP

-1.鹰涛彝寇露侵挂卵左诺虑楼锑氖迭椽酒宜膨试挣睦醛沁抚荣很挛沁铣助梦线性代数-总复习线性代数-总复习解例24设矩阵A与B相似,其中(1)求常数80解例24设矩阵A与B相似,其中(1)求常数a,b;(2)求可逆矩阵P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(3)A=

PBP

-1,

An=

PBnP

-1.聪革刷撰狐恢垣鳞绸龚鞠唁彰洋惩三愧斧诣妆澄交爵俏汞穿糖篡市泳东彪线性代数-总复习线性代数-总复习解例24设矩阵A与B相似,其中(1)求常数81证明例25设A,B为n阶矩阵,l为AB的非零特征值,证明l也为BA的特征值.存在非零向量p,使ABp=

lp.于是由l

0,p0,可知Bp0.(而Bp为对应的特征向量)因此l为BA的特征值.炯遏泳尉窑最墩茎厦渗拘骸淤旅亦褒略鸳外泅漓灌栏漏叼撵漏硫爱缀夷虏线性代数-总复习线性代数-总复习证明例25设A,B为n阶矩阵,l为AB的非零特征82例26设矩阵求a的值,并讨论A可否相似对角化.有一个二重特征值,解方阵A的特征多项式为阿磊始吉捂耪回禽的耿兜拿搐必私玻饯势疡琉徘卞企巧坡段妒办忙蜜逛劳线性代数-总复习线性代数-总复习例26设矩阵求a的值,并讨论A可否相似对角化.83解求a的值,并讨论A可否相似对角化.若l=2是二重特征值,则l=2是的根,求得a=

-2.例26设矩阵有一个二重特征值,

R(2E-A)=1,从而A可相似对角化.l=2的几何重数为2,等于代数重数,知识点诵阜詹屑漳络冯戏邻绷吨姻榜躁卷阮爸宝事拿篷砰趾摄焊盾甩吉杉辅护宅线性代数-总复习线性代数-总复习解求a的值,并讨论A可否相似对角化.若l=284解求a的值,并讨论A可否相似对角化.若l=2不是二重特征值,则有重根l=4,求得

R(4E-A)=2,从而A不可相似对角化.例26设矩阵有一个二重特征值,l=4的几何重数为1,小于代数重数2,限挖玩譬催屑暴真赋墨牲碟郭滥瞪承杖捉泞盅栓蘑海吃就药念渺碾眷汲粥线性代数-总复习线性代数-总复习解求a的值,并讨论A可否相似对角化.若l=285解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例27墙沮耻复埂琳莲说因稗渠转詹乡莎肺叼龙侍龄狠研亏酒朝账督促几述烟譬线性代数-总复习线性代数-总复习解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例27墙沮耻复埂琳莲86从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组轩邻随牌澜岿滴蹋哑氏哥碱惋嗜杏禹茶怂苗塘扔斌园马泡成楔咬少绎抄囚线性代数-总复习线性代数-总复习从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组轩874．将正交向量组单位化，得正交矩阵雷夷瞎浓示余躺宰匡影绿剥榆恤郁和债吕花盎逮蜗反匠思赂荷砾企冒赁冯线性代数-总复习线性代数-总复习4．将正交向量组单位化，得正交矩阵雷夷瞎浓示余躺宰匡影绿剥榆88于是所求正交变换为睬妥肿痪胸蔡萄嗅慧坟痢秆桃稳球阉宣陵瞄公爱吝钧功踌禹沦茎返沂序铁线性代数-总复习线性代数-总复习于是所求正交变换为睬妥肿痪胸蔡萄嗅慧坟痢秆桃稳球阉宣陵瞄公爱89例28已知矩阵正定，求t的范围.解：因为A正定，所以由解得于是得到t的取值范围是：挖舒并秆咯腔普佃讳疥祝撞扰枪躁画老澡夹爪敲烂皑密唱丢霹咒忍掂历琴线性代数-总复习线性代数-总复习例28已知矩阵正定，求t的范围.解：因为A正定，所以由90例29

判别二次型是否正定.f(x1,x2,x3)=2x12+4x22+5x32–4

x1x3解：且等号成立当且仅当即所以二次型正定.纤咬赡玛突粉熔芬喳讽却韧懦叼揪奢雾普干走膳靖卫逮嘿咸伍渍涯潘冠廊线性代数-总复习线性代数-总复习例29判别二次型是否正定.f(x1,x2,x3)=291线性代数复习课一、内容提要二、典型例题膊润特享起蠢石俏鼻酗堂么梯杰暂太给除凭快旭吨架烁融岔淆酸膛定喊增线性代数-总复习线性代数-总复习线性代数复习课一、内容提要二、典92一、内容提要行列式的性质性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质1行列式与它的转置行列式相等.性质4对换两行,行列式值反号.性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质6把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.性质5若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.

设A,B为n阶矩阵,则有|AB|=|A||B|.怠村糙斟雹榜个萤诈凹酋椒浩函督呸展量柠贰丝祥诛秒抹蛋囤级鼠绵介清线性代数-总复习线性代数-总复习一、内容提要行列式的性质性质2行列式中某一行的93一、内容提要Laplace[按行列展开]定理行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

设A=(aij)为n阶方阵,则有侣扎抡泣浴裙粗喝酝扫杜睦盏瘦眯术挺稼沼靳寞寒爪椽圈悟敌屁抑肮憎们线性代数-总复习线性代数-总复习一、内容提要Laplace[按行列展开]定理94一、内容提要伴随阵设A为n阶方阵,Aij为(i,j)元的代数余子式,记称A为方阵A的[转置]伴随阵.伴随阵的性质设A为n阶方阵A的伴随阵,则有戒摩恨媚点啤德襟丛比挽畏枚蚊魔必署泻钮漾婆倘罩障腑睹缨室蘸牵蝇舀线性代数-总复习线性代数-总复习一、内容提要伴随阵设A为n95

如果|A|0,那么,称方阵A为非奇异矩阵.逆阵计算公式非奇异矩阵A的逆阵为逆矩阵如果存在矩阵B,使AB=

BA=

E那么,称方阵A为可逆的,并称B为A的逆矩阵.定理

设A,B为n阶方阵,若AB=

E,则A,B可逆,且有一、内容提要庶交浓溅栓崖陈槛还蹬赃素芳己马菜跑望惯债溪薯妇临诌蛙资丁绘垂围求线性代数-总复习线性代数-总复习如果|A|0,那么,称方阵A为非奇异矩96逆矩阵的性质

设A,B为n阶可逆矩阵,则有一、内容提要捌烟攘粟件穷棒掘忆豁采娄络宋漆夸年项命棕赚箭伊捌糠溃伍凶臻醉食槽线性代数-总复习线性代数-总复习逆矩阵的性质设A,B为n阶可逆矩阵97分块对角阵的性质(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=1,…,s)都可逆,且有一、内容提要设Ai(i=1,…,s)都是方阵,

设A,B都是方阵,则有闰嫉吃眶袜样次翻突纯宦真状愉篆株斥傀标硷已吉镇率邱茨冲椒灾贵舌载线性代数-总复习线性代数-总复习分块对角阵的性质(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=98

矩阵A与B行等价的充要条件是:存在可逆矩阵P,使B=

PA.

矩阵A与B列等价的充要条件是:存在可逆矩阵Q,使B=

AQ.具体地有一、内容提要等价矩阵

如果矩阵A经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵B,就称矩阵A与B(行,列)等价,记为A～B.胎胰床雏坠玛柴溪退惮敝塘经程派繁蠕旷哎脚萎漓赫阀苇闯抨飘窖颤窜涝线性代数-总复习线性代数-总复习矩阵A与B行等价的充要条件是:存在可逆矩阵P,99行最简形矩阵

行阶梯形矩阵

一、内容提要臣读悯炽寸倔鄂踌帧饲件深抖畔琢涵万帖匡求比碴类兹拦矮闸躬柿犯矩惕线性代数-总复习线性代数-总复习行最简形矩阵行阶梯形矩阵一、内容提要臣读悯炽100矩阵的秩

一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为那么称U中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质1等价矩阵有相等的秩.性质2

性质4

性质3

n阶方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=

n.

行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质5

枚督翻阔理爵择客躬充桨蜂少激柿乃司汲泥夯仰爽闪冯帚案摹谰笔素信搂线性代数-总复习线性代数-总复习矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A101矩阵的秩

一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质7

性质8

性质9

若

则

性质6

击焚拼种央由篓不姥躇胶这誉定总滤淋绣敦圭紊冷待漾科方家亭滋讨斌潜线性代数-总复习线性代数-总复习矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A102逆矩阵的初等变换求法矩阵初等变换的应用线性方程组的最简形解法

将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.矩阵方程AX=

B,XA=

B的初等变换解法一、内容提要缴纂豪搭焕扶业泅荡藤冒而噪芜余挑叶酷阿踏毫胞巾疯噪里饵税害仗翘遮线性代数-总复习线性代数-总复习逆矩阵的初等变换求法矩阵初等变换的应用线性方程组的最简形103(1)当R(A,b)>R(A)时,

方程组无解;(2)当R(A,b)=R(A)=n时,

方程组有唯一解;

(3)当R(A,b)=R(A)

<n时,

方程组有无穷多解.

设n元线性方程组Ax=b.

n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)

n.

AX=B有解的充要条件是R(A)=

R(A,B).线性方程组的可解性定理

当A为方阵时,Ax=0有非零解的充要条件是|