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3.7泰勒公式

在实际问题中,往往希望用一些简单的函数来近似代替复杂的函数.设

在

处可导,由微分得而多项式函数就是最简单的一类初等函数.我们首先考虑函数在一点附近的多项式逼近.令则(3-1)式可简写为(3-2)式可以理解为：即问题:为什么在点附近用而不用其它的一次多项式作为的近似?由(3-2)式,有如果在点可导,则在点附近可用一次多项式来近似.对于任意的的一次多项式如果则有于是上式说明:在点附近用作为的近似,其近似度在所有一次多项式中是最高的.

当比较复杂时,这种一次多项式的近似往往不能满足计算精度的要求,应该考虑用高次多项式来近似.

猜测:当存在时,存在的n次多项式满足

于是有用定义求导数得(3-3)式称为在处的n阶泰勒多项式.定理3.13设存在,则泰勒多项式.其中为在关于的n阶证由高价无穷小定义,只需证令由的定义,有连续使用(n-1)次洛必达法则,有称为皮亚诺型余项.(3-4)式可写成其中(3-4)式称为带皮亚诺型余项的n阶泰勒公式．例1设函数证明:当k为奇数时,不是的极值点;

当k为偶数,且时,是的极

时,是的极大值点.小值点,证由泰勒公式有即因此当k为奇数时,不是的极值点;当k为偶数,且时,是的极小点;是的极大点.定理3.14(泰勒中值定理)那么使得其中称为拉格朗日型余项.证利用柯西中值定理证明令且因此如果公式(3-5)变成

其中(3-7)式称为f(x)的n阶麦克劳林多项式,(3-8)式称为则f(x)的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.而误差估计式为称为f(x)的带皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.麦克劳林公式的用法:解代入公式,得例2

求

的n阶麦克劳林公式.于是注意到估计误差其误差取

常用函数的麦克劳林公式解例3将

的多项式.例4设在闭区间[a,b]上具有二阶导数,且则在区间(a,b)内至少存在一点使得证利用泰勒公式两式相减,得于是因此例5设在闭区间上三次可微,且证明:至少存在一点使得证利用泰勒公式两式相减，得由此可得原命题得证例6

证明不等式

的三阶麦克劳林公式为

证

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