第一章集合与函数的概念综合复习讲义-高一上学期数学人教A版必修1

第四课第一章综合复习【知识点梳理】一、集合1、集合有关概念 （1）集合的含义（2）集合中元素有哪三个特性：元素的、元素的、元素的集合的表示方法：列举法、描述法、图象法（韦恩图、数轴等）常用数集：非负整数集（即自然数集）正整数集或整数集有理数集实数集（4）集合的分类：有限集无限集2、集合间的基本关系（1）“包含”关系—子集有两种可能：是的一部分：与是同一集合．①任何一个集合是它本身的子集．②真子集：如果且，那就说集合是集合的真子集，记作AB．③如果，那么．④如果且那么．（2）如何判断两集合相等？（两集合的元素相同）（3）不含任何元素的集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．有个元素的集合，含有个子集，个真子集．3、集合间的运算▲二、函数的有关概念1、函数的概念2、定义域：能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域（或题意直接给出）．求函数的定义域有哪些常见类型？（1）分式的分母；（2）偶次方根的被开方数；（3）对数式的真数必须；（4）指数、对数式的底必须且；（5）零次幂的指数不可以；（6）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的的值组成的集合；（7）已知的定义域为，求的定义域，只需；已知的定义域，则的定义域为的值域；（8）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)3、函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．（2）求函数的解析式的方法①待定系数法②换元法③消元法（方程组法）④赋值法三、函数的性质1、函数的单调性（1）增函数与减函数的定义（可用于判断函数的单调性）（2）图象的特点如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是的，减函数的图象从左到右是的．（3）函数单调区间与单调性的判定方法（A）定义法①任取，且；②作差；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差的正负）；⑤下结论（指出函数在给定的区间上的单调性）．（B）观察图象法(从图象上看升降)（C）复合函数的单调性：“同增异减”（D）利用函数的运算性质（在公共定义域内）增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．2、函数的最值（值域）①图象法②单调性法③反函数法④配方法⑤判别式法⑥换元法（⑦不等式法⑧数形结合法）3、函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（2）奇函数一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．特别地，如果奇函数的定义域包含有0，则．利用定义判断函数奇偶性的步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；②确定与的关系；③作出相应结论：若或，则是偶函数；若或，则是奇函数．【典型例题】题型一集合的基本关系与运算例题1：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．例题2：已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝．求p，q的值．变式1：已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B＝；（2）A⊆(A∩B)．题型二函数的定义域、值域例题3：函数y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x)的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}例题4：画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；（2）若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；（3）求函数f(x)的值域．题型三函数的表达式、分段函数例题5：如果f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0,1时，f(x)等于（）A．eq\f(1,x)B．eq\f(1,x－1)C．eq\f(1,1－x)D．eq\f(1,x)－1例题6：已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1≤x≤1,1x>1或x<－1))，（1）画出f(x)的图象；（2）求f(x)的定义域和值域．题型四函数的单调性、奇偶性例题7：已知f(x)＝eq\r(x2－1)，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．例题8：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝3，x∈R；（2）f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；（3）f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；（4）f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x＞0，,0，x＝0，,x2－1，x＜0.))变式2：已知函数f(x)＝x2－2x＋2．（1）求f(x)在区间[eq\f(1,2)，3]上的最大值和最小值；（2）若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．变式3：已知函数f(x)＝1－eq\f(2,x)．（1）若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；（2）试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．高中数学必修一第一章阶段检测一：选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合则（）A．B．C．D．2．设全集，集合，，则=（）A．B．C．D．3．设：→是集合到集合的映射，若，，则=（）A．B．C．D．4．函数的定义域是（）A．B．C．D．5．设，则的值为（）A．B．C．D．6．若函数为偶函数，则=（）A．B．C．D．7．函数的图象是（）8．若奇函数在区间上是增函数且最小值为，则在区间上是（）A．增函数且最大值为B．增函数且最小值为C．减函数且最小值为D．减函数且最大值为9．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中轴表示离学校的距离，轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是（）10．若二次函数在区间上为减函数，那么（）A．B．C．D．二：填空题（每小题5分，共20分）[来源:Zxxk．Com]11．若集合满足，则集合的个数为_____________．12．已知函数，若，则=_____________．13．已知函数，若，则_____________．14．函数在区间上具有单调性，则的取值范围为_____________．三：解答题（本大题共6小题，满分80分）15．(本小题满分12分)设集合，，．（1）求；（2）求；（3）若，求实数的取值范围．16．(本小题满分12分)已知二次函数满足：，且．（1）求的解析式；（2）求在区间上的最大值与最小值．17．(本小题满分14分)已知函数，且，．（1）求、的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断在上的单调性并加以证明．[来源:Z|xx|k．Com]18．(本小题满分14分)已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求及的值；（2）求的解析式并画出简图；（3）写出的单调区间（不用证明）．19．(本小题满分14分)某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？并求出最大利润．20．(本小题满分14分)已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）解关于的方程；（3）当时，在上的最小值为，求的值．参考答案：【典型例题】题型一集合的基本关系与运算例题1：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【解析】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A．①若B＝，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2,m＋1≥－2,2m－1≤5))，解得2≤m≤3．由①②得m≤3．∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．例题2：已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝．求p，q的值．【解析】由A∩C＝A，A∩B＝，可得：A＝{1,3}，即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3＝－p,1×3＝q))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝－4,q＝3))．变式1：已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B＝；（2）A⊆(A∩B)．【解析】（1）若A＝，则A∩B＝成立．此时2a＋1＞3a－5，即a＜6．若A≠，如图所示，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1≥－1，,3a－5≤16，))解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B＝的实数a的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A⊆(A∩B)，且(A∩B)⊆A，所以A∩B＝A，即A⊆B．显然A＝满足条件，此时a＜6．若A≠，如图所示，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a－5，,3a－5＜－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1＞16.))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a－5，,3a－5＜－1))解得a∈；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1＞16))解得a＞eq\f(15,2)．综上，满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是{a|a＜6或a＞eq\f(15,2)}．题型二函数的定义域、值域例题3：函数y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x)的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}【解析】D．例题4：画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；（2）若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；（3）求函数f(x)的值域．【解析】因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：x…－2－101234…y…－503430－5…连线，描点，得函数图象如图：（1）根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．（2）根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．（3）根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．题型三函数的表达式、分段函数例题5：如果f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0,1时，f(x)等于（）A．eq\f(1,x)B．eq\f(1,x－1)C．eq\f(1,1－x)D．eq\f(1,x)－1【解析】B．例题6：已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1≤x≤1,1x>1或x<－1))，（1）画出f(x)的图象；（2）求f(x)的定义域和值域．【解析】（1）利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．（2）由条件知，函数f(x)的定义域为R．由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．题型四函数的单调性、奇偶性例题7：已知f(x)＝eq\r(x2－1)，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．【解析】函数f(x)＝eq\r(x2－1)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝eq\r(x\o\al(2,2)－1)－eq\r(x\o\al(2,1)－1)＝eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),\r(x\o\al(2,2)－1)＋\r(x\o\al(2,1)－1))＝eq\f(x2－x1x2＋x1,\r(x\o\al(2,2)－1)＋\r(x\o\al(2,1)－1))．∵1≤x1<x2，∴x2＋x1>0，x2－x1>0，eq\r(x\o\al(2,2)－1)＋eq\r(x\o\al(2,1)－1)>0．∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．例题8：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝3，x∈R；（2）f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；（3）f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；（4）f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x＞0，,0，x＝0，,x2－1，x＜0.))【解析】（1）f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．（2）∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．（3）f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．（4）当x＞0时，f(x)＝1－x2，此时－x＜0，∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－1，此时－x＞0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，∴f(－x)＝－f(x)；当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0．综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数．变式2：已知函数f(x)＝x2－2x＋2．（1）求f(x)在区间[eq\f(1,2)，3]上的最大值和最小值；（2）若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．【解析】（1）∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[eq\f(1,2)，3]，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f(eq\f(1,2))＝eq\f(5,4)，f(3)＝5，所以f(x)在区间[eq\f(1,2)，3]上的最大值是5，最小值是1．（2）∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，∴eq\f(m＋2,2)≤2或eq\f(m＋2,2)≥4，即m≤2或m≥6．故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．变式3：已知函数f(x)＝1－eq\f(2,x)．（1）若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；（2）试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．【解析】（1）由已知g(x)＝f(x)－a得，g(x)＝1－a－eq\f(2,x)，∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－eq\f(2,－x)＝－(1－a－eq\f(2,x))，解得a＝1．（2）函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1－eq\f(2,x1)－(1－eq\f(2,x2))＝eq\f(2(x1－x2),x1x2)．∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而eq\f(2(x1－x2),x1x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．高中数学必修一第一章阶段检测参考答案一：选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案CDBBACDADB二：填空题（每小题5分，共20分）11．312．-1313．-314．或三：解答题（共80分）15．(本小题满分12分)（1）……………2分∴……………4分（2）∵……………6分∴……………8分（3）∵，∴∴，∴……………12分16．(本小题满分12分)（1）∵，∴，……………1分∴∴………4分∴∴………………6分（2）……………8分∵，∴在上是减函数，在上是增函数又＞…………10分∴．……12分17．(本小题满分14分)（1）依题意有，……………2分得……………4分（2）的定义域为关于原点对称，……………5分∵∴函数为奇函数．……7分（3）设，且……………8分…………………………11分∵，且∴，，……………12分∴，即……………13分∴在上是增函数．……………14