机械故障诊断学

第二章故障诊断的信号分析与处理技术（内容提要）1.信号的分类2.常用数学变换[付里叶(Fourier)变换、拉普拉斯(Laplace)变换、Z变换、希尔伯特(Hilbert)变换3.时域分析4.频域分析5.时间序列分析6.信号处理的一些特殊方法第二章故障诊断的信号分析与处理技术信号：信息的载体，通常表示为x(t)、y(t)等。信号分析与处理:

对信号的加工过程。信号分析与处理的目的：从原始信号中获取更多的有用信息；更便于根据信号的特征进行判断。第二章故障诊断的信号分析与处理技术信号分析与处理的常用方法：时域分析：

★统计特征参量分析（例如概率密度函数p(x)，概率分布函数F(x)，均值μx

，偏态指标K3，

峭度指标K4，无量纲指标等）;

★相关分析（自相关、互相关分析）；频域分析：幅度谱分析、功率谱分析等；时间序列分析；特殊方法：时域平均、倒频谱分析、自适应消噪技术、共振解调技术等。第二章故障诊断的信号分析与处理技术

信号的分类--目的不同的信号种类采取不同的处理方法，以便获取更多的有用信息。

信号的分类--依据1根据其能否用明确的数学表达式进行描述而将信号分为：确定性信号：是指能用数学表达式进行精确描述的一类信号，它可进一步分为周期信号和非周期信号。周期信号是指每隔一定的时间便重复发生一次的一类信号，简谐信号是最简单的周期信号。可表示为：

x(t)=x(t+T)T—周期随机信号：是指其单次试验所得信号的规律不能确定，而在大量的重复试验中则表现出某种统计特性的一类信号。说明：工程实际中、特别是在机械故障诊断领域中，我们所测得的信号大都是确定性信号和随机信号的组合，因而总体上具有一定的随机性，绝对的确定性信号是很少见的。因此，我们往往把所测机械信号笼统地说成是随机信号。第二章故障诊断的信号分析与处理技术信号的分类--依据2根据其统计特性的不同，可将随机信号分为：平稳随机信号：统计特性不随时间变化而改变的一类信号。如果信号的各阶矩都不随时间而改变，则称此信号是

严平稳(强平稳)；如果信号的统计特性中只有均值和方差不随时间而改变，则称此信号是宽平稳(弱平稳)。

说明：在大多数情况下，在诊断机械状态监测中所测得的信号都属于平稳随机信号的范畴。实际工作中，我们往往事先假定所测信号为平稳随机信号。在平稳随机信号中各态历经信号最为重要。各态历经性：是指其总体的集合统计量与其样本的时间统计量对应相等。各态历经性的重要意义在于，可用样本来研究信号的总体特性。非平稳随机信号：统计特性随时间而改变的一类信号。

第二章故障诊断的信号分析与处理技术

信号的分类

各态历经：st[x(t)]=st[x1(t)]=st[x2(t)]=......=st[xn(t)]

平稳信号：st[x(t)]=st[x

(t1)]=st[x

(t2)]=......=st[x

(tn)]

第一节信号分析与处理中的常用数学变换

数学变换是信号分析与处理的数学基础常用算法：一、付里叶(Fourier)变换二、拉普拉斯(Laplace)变换三、Z变换四、希尔伯特变换(HilbertTransform)一、付里叶(Fourier)变换内涵：任何时域信号都可以由各种不同频率的简谐信号组成，付里叶变换就是研究它们之间关系的有力工具，即从时域变换至频域。重要意义：主要表现在以下几个方面

1.可以把对复杂的时域信号的分析，转化为一系列不同频率的简谐信号的分析，而简谐信号是最容易产生、最便于分析、理论最成熟的信号。

2.任何一个系统（机械的、电器的、电子的、液压的、气动的…)都具有自身的频率特性，即对不同的频率简谐信号的输入，有不同的响应特性。如：人体、弹簧-质量系统、放大电路系统、滤波电路系统等。3.为了分析系统的工作状态，经常要求了解不同频率条件下系统的工作状态。如合唱队各个声部的音响状态、机床嘈声的悦耳要求、设备的故障源的识别等。举例—付里叶(Fourier)级数—矩形波分解举例—付里里叶(Fourier)级数—周期函函数分分解时间幅值频率时域分析频域分析举例——齿轮系系统的的振动动信号号分析析齿根裂裂纹输入轴轴回转转频率率：f1=990/60=16.5HzZ1、Z2啮合频频率：：330HzZ3、Z4啮合频频率：：171.2Hz一、付付里叶叶(Fourier)变变换主要内内容：：1.付付里叶叶(Fourier)级级数：：周期期函数数；2.付付里叶叶(Fourier)变换换：非非周期期函数数；3.离离散付付里叶叶(Fourier)变变换（（DFT：：DiscreteFourierTransform））4.快快速付付里叶叶(Fourier)变变换（（FFT：：FastFourierTransform）1965年年Cooley-Tukey首首先提提出。。1.付付里叶叶(Fourier)级级数(1)周周期函函数及及其付付里叶叶级数数展开开周期函函数：：弹簧质质量系系统的的简谐谐振动动、内内燃机机活塞塞的往往复运运动、、偏心心质量量的旋旋转运运动等等都是是周而而复始始的运运动，，这种种运动动叫做做周期期运动动，它它反映映在数数学上上就是是周期期函数数的概概念，，对于于函数数x(t)，若若存在在着不不为零零的常常数T，对于于时间间t的任何何值都都有：：x(t+T)=x(t)(2-1)则称x(t)为周周期函函数，，而满满足上上式的的最小小正数数T称为x(t)的周周期。。1.付付里里叶叶(Fourier)级数数(1)周周期期函函数数及及其其付付里里叶叶级级数数展展开开--三角角函函数数形形式式根据据付付里里叶叶级级数数理理论论，，对对于于任任何何一一个个周周期期为为T的周周期期函函数数x(t)，，如如果果在在[-T/2,T/2]上上满满足足狄利利赫赫利利(Dirichlet)条条件件，即即函函数数在在[-T/2,T/2]上上满满足足：：①连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点；；②②只只有有有有限限个个极极值值点点。。则则可可展展开开为为如如下下的的付付里里叶叶级级数数：：1.付付里里叶叶(Fourier)级数数周期期函函数数及及其其付付里里叶叶级级数数展展开开--三角角函函数数形形式式以上上展展开开式式称称为为周周期期函函数数x(t)的的付付里里叶叶级级数数。。其其中中a0,an,bn为付付里里叶叶系系数，，完完全全决决定定了了付付里里叶叶变变换换的的结结果果。。在在信信号号处处理理中中，，这这种种展展开开又又叫叫做做频率率分分析。其其中中常常数数a0/2表表示示信信号号的的静静态态部部分分，，称称为为直流流分分量量；而而依次次叫叫做做一次次谐谐波波、、二二次次谐谐波波、、……、、n次谐谐波波分分量量。注:第一一类类间间断断点点就是是函函数数在在t0点的的左左极极限限f(t0-0)和右右极极限限f(t0+0)存在在但但不不相相等等,或或存存在在且且相相等等但但不不等等于于f(t0)。。1.付付里里叶叶(Fourier)级数数复习习：：复复数数由由实实部部和和虚虚部部组组成成。。j是虚虚数数，，本本身身并并无无真真正正的的数数值值的的意意义义，，但但它它的的整整指指数数运运算算特特性性给给数数学学分分析析带带来来很很多多方方便便。。特特别别是是它它和和三三角角函函数数的的关关系系，，广广泛泛用用于于信信号号分分析析。。欧拉拉（（Euler））公公式式的的推推导导和和理理解解1.付付里里叶叶(Fourier)级数数（2））付付里里叶叶级级数数的的复复指指数数形形式式为了了运运算算的的方方便便，，我我们们可可将将上上述述用用三三角角函函数数形形式式表表示示的的付付里里叶叶级级数数变变为为复指指数数形形式式。。根根据据欧拉拉公公式式：：可改写为为1.付里里叶(Fourier)级数（2）付付里叶级级数的复复指数形形式令则有1.付里里叶(Fourier)级数（2）付付里叶级级数的复复指数形形式讨论：由付里叶叶级数的的三角函函数表达达式可以以看出，，x(t)由幅幅值为An、相位为φn频率为nω的各阶谐波波分量完全决定定，其几几何意义义非常明明确。2.由由付里叶叶级数的的复数数数表达式式可以看看出，只只包含了了简谐信信号和频频率nω的信息，，因是是复数，，则Anφn的信息必必然包含含其中。。故称为付里叶系系数,它它决定了了各阶谐谐波分量量的幅值值和相位位。2.傅傅立叶叶积分——非周期期函数周期函数数的傅立立叶级数数展开得得到离散频谱谱，幅值和和相位只只在存在;当当，，离散频谱谱变成连连续频谱,如图图2-4图谱的的演变（（离散——连续））所示。。2.傅傅立叶叶积分——非周期期函数事实上，，任何一一个非周周期函数数x(t)都可看看作是由由周期为为T的函数当当时转化而而来。这这样,就就可以以用周期期函数的的频谱分分析方法法来分析析非周期期函数。。前面已得得到傅立立叶级数数的复指指数形式式为：令，，上上式就可可看作为为周期函函数x(t)的展开式式，即3.付付里叶变变换（1）令令称为付里里叶正变变换，记为（2）于于是有：：称为付里里叶逆变变换，记为工程上习习惯使用用频率f,因为故故有在频率分分析中，，称X(ω)、X(f)为x(t)的谱函函数、谱谱特性、、或谱密密度函数数，由于于是复值值函数，，具有幅幅频特性性和相频频特性。。3.付付里叶变变换例1：求求指数衰衰减函数数的的付氏氏变换例2：求求单位位脉冲函函数δ(t)的付氏变变换齿轮系统统的振动动信号分分析正常齿轮系统统的振动动信号分分析点蚀齿轮系统统的振动动信号分分析点蚀齿轮系统统的振动动信号分分析齿根裂纹纹输入轴回回转频率率：f1=990/60=16.5HzZ1、Z2啮合合频率：：330HzZ3、Z4啮合合频率：：171.2Hz3.付付里叶变变换(3)付里里叶变换换的基本本性质讨论的的意义义研究付付里叶叶变换换的基基本性性质,一方方面可可以简简化计计算,另一方方面还还可用用来检检验变变换结结果的的正确确与否否。其其更重要的的意义义还在在于：：工程程信号号处理理中的的许多多实用用技术都利利用了了这些些变换换性质质。主要性性质①线性性;②②比例例伸缩缩性质质(相相似性性质);③位移移性质质;④④对对称性性质(奇偶偶性质质);⑤曲线线下的的面积积;⑥⑥卷积积与乘乘积;⑦微分分与积积分性性质。。3.付付里里叶变变换(4)离离散付付里叶叶变换换基于数数字计计算机机的现现代信信号处处理技技术只只能处处理数数字量量而不不能处处理模模拟量量，因因此，，要在在计算算机上上实现现前述述的连连续付付里叶叶变换换，必必须首首先将将各模模拟量量离散散化为为数字字量，，这个个连续续付里里叶变变换的的离散散化实实现过过程即即是所所谓的的离散散付里里叶变变换，，简称称DFT（（DiscreteFouerierTransform））。有有标准准的软软件。。（该部部分可可参阅阅有关关书籍籍）3.付付里里叶变变换(5)快快速付付里叶叶变换换1965年年，美美国库库列(J．．W．．Cooley)和和图基基(J．W．Tukey)提出了了快速速傅里里叶变变换(FastFourierTransform，FFT)计计算方法，，使计计算离离散傅傅里叶叶变换换(DiscreteFourierTransform，，DFT)的的复数数乘法法次数数从减少到到次次，，从而而大大大减少了了计算算量，，使时时域问问题转转换到到频域域的高高效处处理成成为可可能。。FFT的提提出是是信号号处理理的里里程碑碑。70年年代以以后，，大规规模集集成电电路的的发展展以及及微型型机的的应用用，使信号号分析析技术术具备备了广广阔的的发展展前景景，许许多新新的算算法不不断出现。。3.付付里里叶变变换(5)快快速付付里叶叶变换换1976年年美国国维诺诺格兰兰德(S.Winograd)提提出了了一种种傅里里叶变变换算算法(WinogradFourierTransformAlgorithm，简简称WFTA)，用用它计计算DFT所需需的乘乘法次次数仅仅为FFT算法法乘法法次数数的1/3；1977年年法国国努斯斯鲍默默(H.J.Nussbaumer)提出出了一一种多多项式式变换换傅里里叶变变换算算法(PolynomialtransformFourierTransformAlgorithm，简简称PFTA)，结结合使使用FFT和WFTA方方法，，在采采样点点数较较大时时，较较FFT算算法快快3倍倍左右右。上述几种种方法与与DFT方法比比较：当采样点点N＝1000，DFT算算法为200万万次；FFT算算法为1.5万万次；WFTA算法为为0.5万次；；PFTA算法法为0.3万次次。均有有标准程程序。（该部分分可参阅阅有关书书籍）第二节时时域域分析方方法（引言））时域分析析：如果对所所测得的的时间历历程信号号直接实实行各种种运算且且运算结结果仍然然属于时时域范畴畴，则这这样的分分析运算算即为时时域分析析。如统统计特征征参量分分析、相相关分析析等；第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析统计特征征参量分分析又称称信号幅值域分分析，在各态态历经的的假设前前提下，，对随机机过程的的分析可可变为对对其任一一样本的的统计分分析，以以下研究究在时域域中描述述信号特特征的几几个常用用统计参参量。1.概率密度度函数p(x)；2.概率分布布函数F(x)；3.均值μx；4.均方值Ψx2；5.有效值(均方根根值)Xrms；6.方差σx2和标准差差S；7.偏态指标标K3和峭度指指标K4；8.无量纲指指标第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析1.概概率密度度函数p(x)如图2-8所示示，概率率密度函函数p(x)定义为信号幅幅值为x的概率。。概率密度度函数p(x)其数学表达达式为：式中T—样本长长度；Tx—信号幅幅值落在在x和x＋Δx之间的时时间和。。第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析1.概概率密度度函数p(x)对于正态态过程，，其概率率密度函函数为：：(2-82)式中μx—数学学期望；；σx—标准准差。概率密度度函数可可直接用用于机械械设备的状状态监测测和故障障诊断。。图2-9所示是是新旧两两个齿轮轮箱的振动信号号的概率率密度函函数，图图示直观地说说明新旧旧两个齿齿轮箱的的振动信号号之间有有明显的的差异。。第二二节节时时域域分分析析方方法法一.统统计计特特征征参参量量分分析析2.概概率率分分布布函函数数F(x)概率率分分布布函函数数是是信信号号幅幅值值小小于于等等于于某某一一值值x的概概率，，其其数数学学表表达达式式为为：：(2-83)第二二节节时时域域分分析析方方法法一.统统计特征征参量分分析3.均均值μx信号的均均值又称称一次矩矩，它描描述了信信号的平平均变化化情况，代代表信号号的静态部分分或直流流分量。其数学学表达式为：(2-84a)其离散化化计算公公式为：：(2-84b)式中N—采样样点数第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析4.均均方值Ψx2均方值反反映了信信号的平均能量量，其数学学表达式为：(2––85a)其离散化化计算公公式为：：(2-85b)第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析5.有有效值值(均方方根值)Xrms这是一个个应用广广泛的统统计参量量，有效效值是能能量意义义上的均均值，其其数学表表达式为为：(2-86a)其离散化化计算公公式为：：(2-86b)第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析6.方方差σx2和标准差差S方差（二二次矩））用来描描述信号号x(t)相对于于其均值值的波动情况况，反映映信号的的动态分分量，其其数学表表达式为为：其离散化化计算公公式为：：第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析6.方方差和标标准差S方差的开开方称为为标准差差，用S表示，即即：其离散散化计算算公式为为方差分析析用于状状态监测测和故障障诊断是是基于：：当机械械设备正正常运转时时，其输输出信号号一般较较为平稳稳(即波波动较小小)，因因此信号号的方差也也较小。。这样，，根据方方差的大大小可判判断机械械设备的的运行状况。第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析7.偏偏态指标标K3和峭度指指标K4:用来检验验信号偏偏离正态态分布的的程度。。偏态指标标K3：其离散化化计算公公式为：

采用立方方运算是是对非对对称性进进行加权权处理，，用5、、7等奇奇数次方方均可，，但运算算量较大大。K3绝对值愈愈大，偏偏斜程度度愈大。。第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析7.偏偏态指标标K3和峭度指指标K4:用来检验验信号偏偏离正态态分布的的程度峭度指标标K4：其其离散散化计算算公式为为：采用4次次方运算算，是对对(x-μx)进行加加权处理理，用6、8等等偶数次次方运算算亦可。。K4愈大p(x)曲线愈愈陡。（（高斯信信号的峭峭度指标标K4=3））若信号x(t)为反映映机械状状态的参参量，则则K3、K4的绝对对值愈大大，说明明机器愈偏离其其正常状状态。因因此，均均可用于于机械设设备的状状态监测测和故障障诊断。。第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析8.无量量纲指标标除以上各各统计特特征参量量外，为为监测诊诊断机械械设备的的运行状状态还广广泛采用用了各种种各样的的无量纲纲指标，，对这些些无量纲纲指标的的基本要求求是：①敏感感性：对机器的的运行状状态足够够敏感，，当机器器运行状状态的变变化引起起所测参参数发生生变化时时，这些些无量纲纲指标应应有更明明显的变变化；②对应应性：与机器的的运行状状态之间间有稳定的对对应关系系，只有当当机器本本身运行行状态发发生变化化引起所所测参数数发生变变化时，，这些无无量纲指指标才有有明显的的变化。。或者说说，这些些无量纲纲指标应应对机器器本身运运行状态态之外的的其它因因素，如如载荷大大小等不不敏感。在机械状状态监测测和故障障诊断领领域中，，目前常常用的无无量纲指指标有：：波形指标标、峰值值指标、、脉冲指指标、裕裕度指标标。它们都是是由信号号的幅值值参数演演化而来来的，数数学表达达式如下下：第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析8.无量量纲指标标（1）波波形指标标K（2）峰峰值指标标C（3）脉脉冲指标标I（4）裕裕度指标标L方根幅值值峰峰值绝对平均均幅值第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析8.无量量纲指标标实验结果果表明，，裕度指标标L和脉冲指标标I对于齿轮轮和轴承承故障所所引起的的冲击振振动较为为敏感，，可以在在机械设设备的振振动、噪噪声信号号分析中中有效地地使用。。根据各幅幅值统计计特征参参量的特特点和所所诊断机机器的工工作特性性，还可可以创造造出各种种无量纲纲指标。。第二节时时域域分析方方法一.统统计特征征参量分分析一机器正正常运转转时产生生的振动动信号为为x=Asinωt,周期期为T；当出现现故障时，每周周期在原原振动信信号正、、负最大大幅值处处产生两两次脉冲冲，脉宽宽均为T/10，，第一次脉脉冲幅值值为4A，第二次脉脉冲幅值为为–5A。设每周期期采集21个数据，，试用数值计算算方法分别别计算两种种情况下的的波形指标标K、峰值指标标C、脉冲指标标I、裕度指标标L，并说明哪哪一个指标标对故障信信号最敏感感，分析其其原因。第二节时时域分析析方法二、相关分分析相关分析又又称时延域分析析，用于描述述同一信号号或不同信号间在不不同时刻的的相互依赖赖关系，是是信号时域域分析的主要内容容。方法:相关分析析包括①①自相关分分析；②互相关分分析。应用:①可用用于提取混混杂在噪声声干扰信号号中的周期期成份；②相关测速速；③相关关定位；④④传递路径径识别等。。二、相关分分析1.自相相关分析(1)自相相关函数的的定义自相关函数数用于描述述同一信号号中不同时时刻的相互互依赖关系系，如图2-12所示，，其定义如如式（2-92）图2-12自相关关函数的定定义计算结果是是是时延τ的函数。式中N—采样点点数(样本本长度)；；n—时延数数；i—时序号号。Rx(τ)的数值愈愈大，表明明在该时延延τ，信号自身的的相关性较较大。二、相关分分析1.自相相关分析(2)自相相关函数的的性质由自相关函函数的定义义式(2-92)，，不难推出出自相关函函数的如下下性质：①①Rx(τ)为实偶函函数，即Rx(τ)＝Rx(-τ)，因此作作图时只需需画出τ为正的一半半即可；②②在τ＝0时，Rx(τ)值最大，，等于信号号的均方值值,即；；

③Rx(τ)的取值范范围为；④自相关函函数不改变变信号的周周期性。。自相关函数数不改变信信号的周期期性(证明明）设x(t)＝Asinωωt，依自相关关函数的定定义式有：：自相关函数数不改变信信号的周期期性设正弦信号号x(t)=Asin(ωt+φ)，求自相相关函数。。解：正弦信号是是一个具有有一定周期期的功率信信号，因此此可以计算算一周期内内的平均值值，即结论：正弦弦函数的自自相关函数数是一个余余弦函数，，它保留了了幅值和频频率信息，，但失去了了相位信息息。二、相相关分分析1.自自相相关分分析非周期期性随随机信信号的的自相相关函函数的的计算算公式式如下下：(2-93)式中k—系数数；B—带宽宽。结论：：由此可可以看看出，，对于于非周周期性性的随随机信信号，，随着τ→∞，，Rx(τ)→0，且且频带带愈宽宽，衰衰减愈愈快。。而周周期信号号的自自相关关函数数Rx(τ)，当当τ→∞时时不为为零。。因此，自相关关函数数的这这一性性质常常用于于提取取随机机信号号中的的周期成成份。。二、相相关分分析1.自自相相关分分析利用自自相关关函数数提取取随机机信号号中的的周期期成份份。二、相相关分分析1.自自相相关分分析(3)自相相关系系数自相关关系数数即归归一化化的自自相关关函数数，其其定义义式为为：(2-94)｜ρ(τ)｜≤≤1自相关关系数数表示示不同同时延延时τ的情况况下信信号本本身的的相关关性。。二、相相关分分析2.互互相关关分析析(1)互相相关函函数的的定义义互相关关函数数描述述两个个不同同信号号在不不同时时刻的的相互互依赖赖关系系，如如图2-14。。图2-15为为互相相关函函数的的一般般图形形。（2-95）二、相相关分分析2.互互相关关分析析(2)互相相关函函数的的性质质根据互互相关关函数数的定定义，，可可以推推出互相关函函数的如如下性质质：①①Rxy(τ)是实实值函数数，可正正可负。。当Rxy(τ)＝0时时，称x(t)与y(t)不相关关；当Rxy(τ)＝＝σxσy＋μxμy时，表示示x(t)与y(t)完全相相关；②②Rxy(τ)的取值值范围为为：μxμy－σxσy≤Rxy(τ)≤≤μxμy＋σxσy

③互相关函函数是反反对称函函数，即Rxy(τ)＝Ryx(－τ)。二、相关关分析2.互相相关分析析(3)互互相关系系数与自相关关分析一一样，两两个信号号间的互互相关性性也常用用互相关系数来来加以描描述，其其定义式式为：｜ρxy(τ)｜≤1二、相关关分析3.相关关分析的的应用实实例为加深理理解，下下面举几几个例子子来说明明相关分分析的工工程应用用。（（1））相关直直线定位位问题（2）相相关平面面定位（（3）传递递路径识识别（4）相相关测速速二、相关关分析3.相关关分析的的应用实实例(1)相相关直直线定位位S2－S1＝υτ0S1+S2＝S二、相关关分析3.相关关分析的的应用实实例(1)相相关关直线定定位如图2-16a所示示，设输输油管道道在A点处有一一个泄漏漏源，为为了对这个泄泄漏源进进行定位位，我们们在B、、C两点点处分别别安装传传感器1和2，，其中传传感器1距A点为S1，传感器器2距A点为S2，现测得得两传感器器的响应应分别为为x1(t)和x2(t)，对x1(t)和x2(t)进行互互相关分析，即即求x1(t)和x2(t)的互相相关函数数，图中中与Rxy(τ)最大值值对应的延延时τ0即为信号号从泄漏漏源A点点处分别别传向1、2两两个传感器的时时间差。。由此可可得：S2－S1＝vτ0(2-97)式中v—泄漏信信号沿管管道的传传播速度度，设为为已知。。而S＝S1+S2可以直接接测量出出来，与与式(2-97)联立，，即可解解得S1、S2的值。这这样，即即可对泄泄漏源A进行较较准确的的定位。二、相关关分析3.相关关分析的的应用实实例(2)相相关平平面定位位工程实际际中有很很多场合合需进行行平面定定位，如如机械故故障诊断断中的噪声声源识别别以及后后面将要要讨论的的声发射射源的平平面定位位问题等都是是平面定定位的具具体实例例。相关平面面定位与与前述的的相关直直线定位位没有本本质上的的差别，，其基本的原原理是：先通过相相关分析析求出信信号从同同一固定定的信号号源处传传播到平平面上的不不同两点点的时间差（等于互互相关函函数或互互相关系系数的峰值所对对应的时时间值）），在信信号的传传播速度度已知或或可测取取的情况下，，进而求求得该信信号源到到上述两两点的距离差，然后再再通过一定的的数学处处理以求求得信号号源的平平面位置置。(2)相相关平面面定位设在某一一已知的的区域内内有一信信号源P(x,y)（噪声声源或声发发射源等等），为为了确定定P的平面位位置，可可按图2-17所所示的方方式建立立直角坐坐标系x-y，并在图图中的A(-a,0)、、B(0,-a)、C(a,0)和和D(0,a)这四个个点上布置四个个传感器器，以检检测来自自信号源源P的信号。。设信号以速速度v自P点传输到到上述四四个传感感器后所所测信号分别为为A：x1(t)、B：x2(t)、、C：x3(t)、、D：：x4(t)。。二、、相相关关分分析析3.相相关关分分析析的的应应用用实实例例(2)相相关关平平面面定定位位以P点点为为例例进进行行分分析析左支支(x为负负值值，，y为正正值值））上支支联立立解解这这两两个个方方程程，，即即可可求求出出P点的的坐坐标标x、y.(2)相相关关平平面面定定位位(2)相相关关平平面面定定位位(不不讲讲））先对对x1(t)和和x3(t)作作互互相相关关分分析析并并画画出出它它们们的的互互相相关关函函数，，则则可可得得图图2-18(a)或或图图2-18(b)所所示示的的互互相相关关函函数数图图。。(2)相相关关平平面面定定位位(不不讲讲））如果果的的图图形形为为图图2-18(a)，，则则信信号号源源P的坐坐标标(x,y)满足足：：(2-98a)即为为图图2-17中中双双曲曲线线的的左左支支；；否否则则为为图图2-17中中双双曲线线的的右右支支，，即即P(x,y)满满足足：：(2-98b)(2)相关关平面面定位位(不讲讲）同理，，对x2(t)和和x4(t)作作互相相关分分析，，可得得如图图2-19(a)或或图2-19(b)所示示的互互相关关函数数图。。(2)相关关平面面定位位(不讲讲）可知P(x,y)满足足：对应于于图2-19(a)和和图2-17中中双曲曲线的的下支。P42(2-99a)或对应于于图2-19(b)和和图图2-17中双双曲线线的上支。P42(2-99b)根据互互相关关函数数图(2-18)和和图(2-19)的的不同同情形形，分别从从方程程式(2-98)和和(2-99)中各各选取取一支支，组组成方方程组组并求解解，即即可求求得信信号源源P的的平面面直角角坐标标位置置(x,y)。二、相相关分分析3.相相关分分析的的应用用实例例（3））传递递路径径识别别如图2-20a所示示，输输入信信号x(t)从A点可可以通通过两两条途途径传传输到到B点点，得得到输出出y(t)，其其一是是通过过空气气的传传播，，设其其传播播时间间为t1;另一一条途途径是是通过过桶壁结结构，，设其其传播播时间间为t2。通过过对x(t)与y(t)作互互相关关分析析，将将会得得到如如图2-20b所所示的的互相相关函函数图图，互互相关关图上上的两两个峰峰值点点时延延分别别与传传播时间t1、t2对应。。这样样，通通过互互相关关分析析，可可定出出信号号由A点传传输到到B点点的两条不不同路路径的的传输效效率。二、相相关分分析3.相相关分分析的的应用用实例例4.相相关关测速速例：测测量热热轧钢钢带运运动速速度。。钢带带表面面反射射光强强度的的波动动，通通过相相距d的两个光光电池转转换为电电信号x(t)、y(t)，再进进行互相相关分析析，求得得。三、时域域中系统统特性的的描述1.系系统对单单位脉冲冲信号的的响应单位脉冲冲函数δ(t)的定义：：三、时域域中系统统特性的的描述1.系系统对单单位脉冲冲信号的的响应由于单位位脉冲信信号最简简单，又又是组成成复杂信信号的基基础，且且工程上上易于实实现，故故首先研研究系统统在单位位脉冲信信号作用用下的输输出特性性，即响响应特性性。如图图2-21所示示，在时时刻t=0有有一单位位脉冲输输入，系系统对应应的输出出定义为为系统对对单位脉冲冲的响应应函数，它仅取取决于系系统自身身的特性性。响应应的时域域曲线为为衰减曲曲线，如如图2-22所所示。图2-21单单位脉脉冲响应应方框图图2-22单单位脉脉冲响应应时域图图三、时域域中系统统特性的的描述1.系系统对任任意信号号的响应应定义为x(t)和h(t)的卷卷积，记为:图2-23系系统对对时延脉脉冲的响响应三、时域域中系统统特性的的描述2.系系统对任任意信号号的响应应图2-23所示示,任任意信号号可以视视为一系系列具有有时间延延迟的的脉冲所所组成,设在τ时刻脉冲冲的幅值值为x(τ)，在该该时刻系系统对单单位脉冲冲的响应应为h(t–τ),故x(τ)的响应应为x(τ)h(t–τ)。系统统对任意意信号的的响应可可表达为为：（2-100））式（2-100）定义义为x(t)和h(t)的卷卷积，若若已知h(t)，则则可求求出系系统对对任意信信号的的响应应，记记为：：（2-101））即系统统对任任意输输入信信号x(t)的响响应y(t)等于于x(t)与系系统对对单位位脉冲冲响应应函数h(t)的的卷积积。式（2-101）建建立了了时域域上系系统特特性与与输入入、输输出间间的关关系。。第三节节频频域域分析析方法法—引引言对于机机械故故障的的诊断断而言言，时时域分分析所所能提提供的的信息息量是是非常常有限限的。。时域域分析析往往往只能能粗略略地回回答机机械设设备是是否有有故障障，有有时也也能得得到故故障严严重程程度的的信息息，但但不能能回答答故障障发生生部位位等信信息，，即只只知其其然而而不知知其所所以然然，故故一般般用作作设备备的简易诊诊断。对于于设备备管理理和维维修人人员来来说，，诊断断出设设备是是否有有故障障，这这只是是解决决问题题的第第一步步，更更重要要的工工作则则在于于确定定是哪哪些零零部件件发生生了故故障，，以便便有针针对性性地采采取措措施。。因此此，故障定定位问题在在设备备故障障诊断断与监监测研研究中中显得得尤为为重要要。对故障障进行行定位位一种种常用用的方方法就就是进进行信信号的的频域分分析。第三节节频频域域分析析方法法—引言所谓频域分分析，即是是把以以时间间为横横坐标标的时时域信信号通通过付付里叶变换换分解解为以频率率为横横坐标标的频域域信号号，从从而求求得关关于原原时域信号号各频频率成成份的的幅值值和相相位信信息。。通过过对各各频率率成份份的分分析，对对照机机器零零部件件运行行时的的特征征频率率，以以便查查找故故障源源。频频域分析析已成成为机机械设设备故故障振振动诊诊断的的主要要内容容。围绕如如何提提高频频域分分析的的精度度及其其分辨辨力的的研究究，仍仍然是是目前乃乃至今今后相相当长长的一一个阶阶段的的最活活跃的的研究究内容容。本本节将介绍几几种常用用的频域域分析方方法，作作为信号号频域分分析的基基础。一、幅度度谱分析析二、功率率谱分析析第三节频频域域分析方方法一、幅度度谱分析析定义：所谓幅度度谱分析析，就是是直接对对采样所所得的时时域信号号进行付付里叶变变换，求求得关于于该时域域信号的的频率构构成信息息。数学运算算式为：：（2-102）式中x(t)—时域域信号(振动加加速度、、速度或或位移等等一切以以时间t为自变量的函数数)；；X(f)—信号的幅幅度谱，，是以频频率为自自变量的的复值函函数。对于周期期信号，，经过付付里叶变变换后得得到的幅幅值谱是是离散谱，即构成成信号的频率率成分是是基波及及其各次次谐波分分量；而而对于非非周期信信号，其其幅值谱谱是连续谱，即信号号连续地地分布在在一定的的频率范范围内。。应该指出出，通过过FFT数值计计算所得得频谱都都是离散散谱。第三节频频域域分析方方法一、幅度度谱分析析例如：齿根裂纹纹输入轴回回转频率率：f1=990/60=16.5HzZ1、Z2啮合频率率：330HzZ3、Z4啮合频率率：171.2Hz第三节频频域域分析方方法二、功率率谱分析析功率谱是是在频域域中对信信号能量量或功率率分布情情况的描描述，包包括自功率谱谱和互功率谱谱，其中自自功率谱谱与幅度度谱提供供的信息息量相同同，但在在相同条条件下，，自功率率谱比幅幅度谱更更为清晰晰。自功率谱谱的求解解：①由幅度度谱计算算得到。。②由相关关函数的的付里叶叶变换求求得；第三节频频域域分析方方法二、功率率谱分析析1.由由幅度谱谱计算自自功率谱谱密度函函数(周周期图法法)P44由帕斯维维尔定理理可以推推知，信信号的幅幅度谱与与自功率率谱之间间有如下下的对应应关系：：S(f)＝X2(f)／T(2-103)其离散化化采样的的计算公公式为：：(2-104)式式中N——采样长长度。两者表示在在T和N时间长度内内，各组成成频率的平平均能量。。第三节频频域分析析方法二、功率谱谱分析第三节频频域分析析方法二、功率谱谱分析2.用用相关函数数计算功率率谱(相关图法)设有时间历历程信号x(t)和y(t)，它们的的自相关函函数和互相相关函数分分别为Rx(τ)，Ry(τ)，Rxy(τ)，由维纳—辛饮饮定理：相关函数与与功率谱密密度函数构构成一对付付氏变换。即(2-105a)(2-105b)(2-105c)Sx(f)和Sy(f)，称为自自功率谱密密度函数，，简称自谱；Sxy(f)称为互功功率谱密度度函数，简简称互谱。第三节频频域分析析方法二、功率谱谱分析双边谱和单单边谱式(2-105)定义的频频率范围为为－∞～+∞，在正负负频率轴上上都有谱图图，因此称称为双边谱谱。理论分分析及运算算推导用双双边谱比较较方便，但但工程上负负频率无实实际物理意意义，为此此又定义了了单边谱（（f≥0）为：：(2-106a)(2-106b)(2-106c)第三节频频域分析析方法二、功功率谱谱分析析时域与与频域域的总总平均均能量量当τ＝0时时，则则根据据Rx(τ)和Sx(f)的定定义有有：式中————信号号的均均方值值；———信信号的的方差差；———信信号均均值的的平方方。信号在在时域域的总总平均均能量量，在在频域域上则则是由由不同同频率率成分的能能量组组成。。时域域的总总平均均能量量与频频域的的总平平均能能量相相等。。(2-111)第三节节频频域域分析析方法法二二、功功率谱谱分析析（不讲讲）自谱面面积与与均方方值如图2-25所示示，信信号x(t)的自自功率率谱密密度函函数下下的总面积积等于信号号的均方值值，而任任意两两个频频率f1和f2之间的的自谱谱曲线线下的的面积，，给出出了这这个频频率范范围内内信号号的均均方值值。第三节节频频域域分析析方法法二二、功功率谱谱分析析（不讲讲）自功率率谱密密度函函数的的工程程意义义如果x(t)为电电压信信号，，则把把这个个电压压信号号加到到阻值值为1Ω的的电阻上上，其其瞬时时功率率为p(t)＝x2(t)／R＝x2(t)，瞬瞬时功功率的的积分分就等于于信号号的总总能量量。因因此Rx(0)可视视为信信号的的平均均功率率。在在机械系系统中中，如如果x(t)是位位移信信号，，则x2(t)就反反映积积蓄在在弹性性体内的的势能能；如如果x(t)是速速度信信号，，则x2(t)就反反映了了系统统的某某种动能能，所所以积积分可可作作为信信号的的能量量。既既然Gx(f)曲线与与频率率轴所所包围围的面面积代代表信信号的的平均均功率率，Gx(f)就表表示信号的的功率率沿频频率轴轴的分分布密密度，，故称称Gx(f)为信信号x(t)的自自功率谱密密度函函数。。第三节节频频域域分析析方法法二、功功率谱谱分析析3.凝凝聚聚函数数(相相干函函数)——定义义为了判判断两两信号号在频频域的的相关关程度度，定定义了了凝聚函函数（相干干函数数），即：：(2-113)表示两两个信信号在在频率率fi下不相相干；；表示两两个信信号在在频率率fi下完全全相干干第三节节频频域域分析析方法法二、功功率谱谱分析析3.凝凝聚聚函数数(相相干函函数)—应应用相干函函数常常用于于判断断两信信号在在频域域的相相关程程度。。例如在在高压压油泵泵系统统中，，利用用油压压脉动动信号号与油油管振动信信号的的相干干分析析判断断油管管的振振动是是否是是由于于油压压的脉动动引起起的。。第三节节频频域域分析析方法法三、频频域中中系统统特性性的描描述对时域域中的的响应应计算算式y(t)=x(t)*h(t)两两端端进行行付氏氏变换换，可得：：它说明明两个个时间间函数数卷积积的频频谱等等于各各个时时间函函数频频谱的的乘积，，即在在时域域中两两信号号的卷卷积，，等效效于在在频域域中频频谱相相乘。。第三节节频频域域分析析方法法三、频频域中中系统统特性性的描描述（2-114））式中X(f)、Y(f)分别别为输输入、、输出出的频频谱。。H(f)是系系统单单位脉冲响响应函函数的的付氏氏变换换，定定义为为频率响响应函函数。式（（2-114））建立了了在频频域上上系统统特性性与输输入、、输出出间的的关系系。频响函函数H(f)的物物理意意义：H(f)的模表示输输出与与输入入对应应频率率分量量的幅值比比；H(f)的相位则表示示输出出与输输入对对应频频率分分量的的相位差差。时域、、频域域相互互变换换的关关系系统特特性的的描述述—小小结系统特特性与与其输输入、、输出出间的的关系系，除除了可可以在在时域、频域上加以以考虑虑外，，还可可以在在复域上进行行研究，它它们的的关系系如图图2-26所示示。第四节节时时间间序列列分析析方法法—引言言FFT谱分析析的固固有缺缺陷：（1））频率率分辨辨力受受到采采样长长度的的限制制；（2））数据据截取取加窗窗的影影响，，在频频率中中表现现为能能量的的“泄泄漏””。虽然，，选用用适当当的窗窗函数数，可可以减减小泄泄漏，，然而而又将将导致谱分分辨力力和幅幅值精精度的的下降降，特特别是是在短短数据据记录录的情况下下更为为突出出，这这是在在实际际情况况下经经常遇遇到的的问题题。（3））机械械冲击击响应应信号号、机机械故故障源源信号号等只只有很很短的的数据据可用于于分析析；另另一方方面，，当信信号具具有缓缓变的的时变变谱时时，也只有有在采采样序序列较较短时时，才才可视视其谱谱为时时不变变的。。在这些些情况况下，，基于于FFT的的传统统谱分分析方方法就就显得得不太太适用了了。第四节节时时间间序列列分析析方法法—引言言时间序序列的的参数数模型型分析析及其其谱估估计是是近年年来受受到重重视的的一项项新技技术。。为了改改善谱谱分析析的性性能，，扩大大信号号处理理应用用的范范围而而发展展了一一种适适于短短数据据序列列的分分析处处理方方法，，即时时序分分析方方法。。与FFT谱谱分析析相对对应，，时序序谱分分析方方法称称为现现代谱谱分析析方法法。一、时间间序列与与时间序序列分析析—概述所谓时间间序列，是指按按时间先先后顺序序排列的的一组数数据，在在“时序序分析””这一学学科的研研究范围围内，时时间序列列则是广广义地指指一切有有序的随随机数据据，包括括时间上上的先后后有序和和空间上上的前后后有序。。时间序列列分析简称时序序分析，，它把依依某一规规律变化化的信号号(数据据)看成成是依时时间变化化而变化化的先后后有序的的数据，，在一定定的假设设前提下下，依据据某一准准则建立立数学模模型，以以此对原原时间序序列或对对产生这这一时间间序列的的系统进进行分析析辨识的的方法。。一、时间间序列与与时间序序列分析析—概述时间序列列分析方方法从1927年产生生至今，，已在人人文科学学、天文文地理、、经济学学、社会会学、生生物医学学等诸多多工程技技术领域域获得了了极为广广泛的应应用，已已成为动态数据据处理的一种极极为重要要的数学学工具。。将时间间序列分分析用于于机械设设备的故故障诊断断则是近近二十多多年的事事情，通通过对有有关数学学模型的的分析，，可识别别机械设设备所处处的工况况，但其其更主要要的应用用则是对对机械设设备的剩余寿命命或其未来发展展趋势的的预测。一、时间序列列与时间间序列分分析—概述时间序列列分析是是数理统统计学科科的一个个重要分分支，是是分析随机过程程的一个个重要数数学工具具，当然然，它也也不是包包罗万象象的，而是有其其应用范范畴，能能够采用用时序方方法进行行分析处处理的动动态数据应该满满足各态历经经性假设设。但由于于严格意意义上的的各态历历经性随机过程程是不存存在的，，也是不不便检验验的，因因此，在在工程实实际中，往往往不对动动态数据据进行检检验，而而直接用用所得数数据建立立时序分析数学学模型，，只要经经检验残残差满