交会法和小三角测量课件

第九章交会法和小三角测量§9.1概述一、控制点的布设形式1．测角交会1）前方交会如图，A、B为已知点，P为待定点，在两个已知点上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。

12/19/2022

1第九章交会法和小三角测量§9.1概述12/16

2）侧方交会

如图，A、B为已知点，P为待定点，B点不能安置仪器，所以在已知点A及待定点P上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。

12/19/2022

22）侧方交会

如图，A、B为已知点，P3）后方交会

如图，A、B、C为已知点，P为待定点，在待定点P上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。12/19/2022

33）后方交会

如图，A、B、C为已知点，P为待定点，4）其它交会

旁点交会图形双点后方交会图形

12/19/2022

44）其它交会旁点交会图形双点2．测边交会

如图，A、B为已知点，P为待定点，测量两待定边的距离，求出P点坐标。由测角交会和测边交会知道：

确定一个点的平面位置，需要两个观测量。12/19/2022

52．测边交会

如图，A、B为已知点，P为待定点，测量两待定边3、小三角网的布设形式单三角锁中点多边形ABCEDAF大地四边形ABCD线型锁CDEFBCDEFBA12/19/2022

63、小三角网的布设形式单三角锁中点多边形ABCEDAF大地四二、作业步骤

1．外业选点（图上选点、实地勘察）、造标、埋石、观测（测角、测边）2．内业检查手簿、抄录起算数据（核对）、坐标反算、归心投影计算、求各点坐标、评定精度。

12/19/2022

7二、作业步骤

1．外业12/16/20227一.前方交会的计算一.计算公式（余切公式、戎格公式）

ABP

已知点：A(XA,YA)、B(XB,YB)待定点：P观测数据：、,(=180--)§9.2前方交会12/19/2022

8一.前方交会的计算一.计算公式（余切公式、戎格公式）前方交会计算公式直接计算待定点坐标的公式：ABP余切公式正切公式12/19/2022

9前方交会计算公式直接计算待定点坐标的公式：ABP余切公式1）计算公式是根据A、B、P为逆时针组成的图形导出的，实际计算时必须按这样的顺序编号；

2）为了检核计算，以求出的P点坐标和A点计算B点，与B点已知值相比较。这种检核只能检核计算是否正确，不能发现角度测错、用错，已知点坐标用错，也不能提高计算精度。

12/19/2022

101）计算公式是根据A、B、P为逆时针组成的图二、检核

1．两组前方交会

双点前方交会，不能发现观测错误及用错起算数据的错误。为了检核，通常是布设成两组前方交会，比较两组计算结果，其差异是否在允许范围之内。

2．限差规定12/19/2022

11二、检核

1．两组前方交会

双点前方交会，不三、图形要求1．交会角γ：在测角交会图形中，由未知点至相邻两起始点间方向的夹角。交会角太小或太大，相同的测角误差将使待定点的点位误差增大，如右图所示。2．要求：30°≤γ≤150°12/19/2022

12三、图形要求1．交会角γ：在测角交会图形中，由未知点至相邻两四、变形图形为了满足交会角的要求，有时需要改变前方交会的基本图形。

四点前方交会

折迭图形

基线边不通视的情况12/19/2022

13四、变形图形为了满足交会角的要求，有时需要改变前方交会基线边不通视的情况的计算可以把它转换成典型的两点前方交会，另外，也可以按下式计算：它省去了坐标反算的步骤。注意图形编号顺序，对地形控制点，坐标取至cm，三角函数要取6位小数。

12/19/2022

14基线边不通视的情况的计算可以把它转换成典型的两点前方交会，前方交会计算实例野外点位略图

已知数据

点号

x/m

y/m

D6116.942683.295D7522.909794.647D8781.305435.018观测数据

Ⅰ组α1=59°10′42″

β1=56°32′54″

Ⅱ组α2=53°48′45″

β2=57°33′33″

计算结果

(1)由I组计算得：

XP′=398.151mYP′=413.249m(2)由Ⅱ组计算得：XP″=398．127mYP″=413.215m

(3)两组坐标较差：

0.042m≤限差

(4)P点最后坐标为：XP=398.139mYP=413.232m12/19/2022

15前方交会计算实例野外点位略图已点号x/my/mD61§9.3侧方交会

一、适应条件一个已知点不能设站，而未知点上可以设站。二、计算公式把侧方交会转化为前方交会，β=180°-α–γ

12/19/2022

16§9.3侧方交会一、适应条件12/16/202

三、检核

在待定点观测另一个已知点C得检查角ε，计算出P点坐标后，反算PC、PB的方位角，其差值为ε计，两者的差异Δε应满足下式规定：

Δε允=

Spc不能太短，否则Δε允可以允许很大。四、图形要求：同前方交会

12/19/2022

17三、检核

在待定点观测另一个已知点C得检查角ε，计五、变形图形

A与B不通视，但可以观测到另一个已知点D，如何求出α角？12/19/2022

18五、变形图形

A与B不通视，但可以观测到§9.4后方交会一、适应条件适应已知点不能安置仪器或不易到达的情况。二、基本图形及计算公式1．余切公式

1）求12/19/2022

19§9.4后方交会一、适应条件12/16/202212）求N3）求坐标12/19/2022

202）求N3）求坐标12/16/2022202．仿权公式（安谢麦特公式）

：ABCPRaRbRc∠A、∠B、∠C为三个已知点构成的三角形的三个内角。即后方交会基本图形中的∠CAB、∠ABC、∠BCA。α、β、γ为后方交会基本图形中∠A、∠B、∠C所对的角。

12/19/2022

212．仿权公式（安谢麦特公式）：ABCPRaRbRc∠三、后方交会的危险圆1．定义：过三个已知点构成的外接圆称为危险圆。2．影响：当待定点位于危险圆上任一位置时，α、β角不变，无法求解。3．注意：待定点不要在危险圆附近，否则误差很大。

12/19/2022

22三、后方交会的危险圆1．定义：过三个已知点构成的外接圆称为危四、后方交会的检核1．观测检查角ε（同侧方交会）2．分两组计算

12/19/2022

23四、后方交会的检核1．观测检查角ε（同侧方交会）12/16/§9.5交会点的精度概述待定点坐标XP、YP是已知点坐标和观测角的函数。

XP=f（XA，YA，…，α，β，…）YP=φ（XA，YA，…，α，β，…）对上面两式求全微分，忽略已知点坐标的误差，应用误差传播定律，得，则交会点的点位中误差为：

下面只简要介绍前方交会的几个结论。

12/19/2022

24§9.5交会点的精度概述下面只简要介绍前方交会的几个一、两点前方交会

若s、m不变，则与α、β有关，即与交会点相对于A点位置有关。对上两式求极值，分析点位误差与交会点位置的关系。12/19/2022

25一、两点前方交会若s、m不变，则与α、β有关，即与交会点相1．交会点P位于A、B、P三点的圆周上

此时，交会角不变，即上两式的分母不变，变量只有α和β。令

上式对α、β求偏导，在α=β条件下对U求二阶导数，

可见：γ＜90°，U“＜0，U有极大值；

γ＝90°，U“＝0，U无极值；（中误差处处相等）

γ＞90°，U“＞0，U有极小值；

12/19/2022

261．交会点P位于A、B、P三点的圆周上

此时，交会角不变，即结论：

1）当交会角γ＞90°时，前方交会点宜选在与已知点构成等腰三角形的位置，最佳位置为γ=109°28′16″；

2）当交会角γ＜90°时，则以靠近已知点的位置为好。

12/19/2022

27结论：

1）当交会角γ＞90°时，前方交会点宜选在与已知点构§9.6单三角形一、特点及适应条件1．由两个已知点和一个待定点组成三角形，观测三角形的三个内角。2．适应于控制点少或不通视，而且已知点和待定点都能设站的情况。12/19/2022

28§9.6单三角形一、特点及适应条件12/16/2022二、计算

1．计算并分配三角形内角和闭合差。

2．用改正后的角度按前方交会公式计算点的坐标。

3．已知点坐标抄错或角度搞反，计算时发现不了，要特别注意。

12/19/2022

29二、计算

1．计算并分配三角形内角和闭合差。

2．用改正后的三、精度分析

1．点位中误差

式中，s以km为单位，m以秒为单位，mp以mm为单位。2．点位中误差与图形的关系1）因为有一个多余观测，对观测角进行了改正，所以精度比前方交会更高。2）当α=β=39°38′10.7″，γ=100°43′38.6″时精度最高。

12/19/2022

30三、精度分析

1．点位中误差式中，s以km为单位，m以秒为§9.7其它交会方法这里在就只介绍双点后方交会的几种图形布设。适应于测区控制点较少的情况

待定点在已知点两侧待定点在已知点同侧

12/19/2022

31§9.7其它交会方法这里在就只介绍双点后方交会的几种图形检核图形12/19/2022

32检核图形12/16/202232§9.8测边交会一、图形布设

三边交会四边交会

12/19/2022

33§9.8测边交会一、图形布设三边交会二、计算公式

1．推导思路

求坐标不但要知道边长，还要知道方位角，要设法用边长来表示角度。如图，过P点作已知边的垂线，得辅助边h、l、g，用h、l、g表示ctgA、ctgB，然后通过前方交会的余切公式来计算。12/19/2022

34二、计算公式

1．推导思路

求坐标不但要知道2．计算公式

12/19/2022

352．计算公式12/16/202235三、限差

1．三边交会：ΔSC≤2×0.1M(mm)

2．四边交会：ΔS≤2×0.1M(mm)

四、精度分析

当测边精度相同时，交会角P=90°，待定点的精度最高。

作业：1412/19/2022

36三、限差

1．三边交会：ΔSC≤2×0.1M(mm)第九章交会法和小三角测量§9.1概述一、控制点的布设形式1．测角交会1）前方交会如图，A、B为已知点，P为待定点，在两个已知点上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。

12/19/2022

37第九章交会法和小三角测量§9.1概述12/16

2）侧方交会

如图，A、B为已知点，P为待定点，B点不能安置仪器，所以在已知点A及待定点P上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。

12/19/2022

382）侧方交会

如图，A、B为已知点，P3）后方交会

如图，A、B、C为已知点，P为待定点，在待定点P上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。12/19/2022

393）后方交会

如图，A、B、C为已知点，P为待定点，4）其它交会

旁点交会图形双点后方交会图形

12/19/2022

404）其它交会旁点交会图形双点2．测边交会

如图，A、B为已知点，P为待定点，测量两待定边的距离，求出P点坐标。由测角交会和测边交会知道：

确定一个点的平面位置，需要两个观测量。12/19/2022

412．测边交会

如图，A、B为已知点，P为待定点，测量两待定边3、小三角网的布设形式单三角锁中点多边形ABCEDAF大地四边形ABCD线型锁CDEFBCDEFBA12/19/2022

423、小三角网的布设形式单三角锁中点多边形ABCEDAF大地四二、作业步骤

1．外业选点（图上选点、实地勘察）、造标、埋石、观测（测角、测边）2．内业检查手簿、抄录起算数据（核对）、坐标反算、归心投影计算、求各点坐标、评定精度。

12/19/2022

43二、作业步骤

1．外业12/16/20227一.前方交会的计算一.计算公式（余切公式、戎格公式）

ABP

已知点：A(XA,YA)、B(XB,YB)待定点：P观测数据：、,(=180--)§9.2前方交会12/19/2022

44一.前方交会的计算一.计算公式（余切公式、戎格公式）前方交会计算公式直接计算待定点坐标的公式：ABP余切公式正切公式12/19/2022

45前方交会计算公式直接计算待定点坐标的公式：ABP余切公式1）计算公式是根据A、B、P为逆时针组成的图形导出的，实际计算时必须按这样的顺序编号；

2）为了检核计算，以求出的P点坐标和A点计算B点，与B点已知值相比较。这种检核只能检核计算是否正确，不能发现角度测错、用错，已知点坐标用错，也不能提高计算精度。

12/19/2022

461）计算公式是根据A、B、P为逆时针组成的图二、检核

1．两组前方交会

双点前方交会，不能发现观测错误及用错起算数据的错误。为了检核，通常是布设成两组前方交会，比较两组计算结果，其差异是否在允许范围之内。

2．限差规定12/19/2022

47二、检核

1．两组前方交会

双点前方交会，不三、图形要求1．交会角γ：在测角交会图形中，由未知点至相邻两起始点间方向的夹角。交会角太小或太大，相同的测角误差将使待定点的点位误差增大，如右图所示。2．要求：30°≤γ≤150°12/19/2022

48三、图形要求1．交会角γ：在测角交会图形中，由未知点至相邻两四、变形图形为了满足交会角的要求，有时需要改变前方交会的基本图形。

四点前方交会

折迭图形

基线边不通视的情况12/19/2022

49四、变形图形为了满足交会角的要求，有时需要改变前方交会基线边不通视的情况的计算可以把它转换成典型的两点前方交会，另外，也可以按下式计算：它省去了坐标反算的步骤。注意图形编号顺序，对地形控制点，坐标取至cm，三角函数要取6位小数。

12/19/2022

50基线边不通视的情况的计算可以把它转换成典型的两点前方交会，前方交会计算实例野外点位略图

已知数据

点号

x/m

y/m

D6116.942683.295D7522.909794.647D8781.305435.018观测数据

Ⅰ组α1=59°10′42″

β1=56°32′54″

Ⅱ组α2=53°48′45″

β2=57°33′33″

计算结果

(1)由I组计算得：

XP′=398.151mYP′=413.249m(2)由Ⅱ组计算得：XP″=398．127mYP″=413.215m

(3)两组坐标较差：

0.042m≤限差

(4)P点最后坐标为：XP=398.139mYP=413.232m12/19/2022

51前方交会计算实例野外点位略图已点号x/my/mD61§9.3侧方交会

一、适应条件一个已知点不能设站，而未知点上可以设站。二、计算公式把侧方交会转化为前方交会，β=180°-α–γ

12/19/2022

52§9.3侧方交会一、适应条件12/16/202

三、检核

在待定点观测另一个已知点C得检查角ε，计算出P点坐标后，反算PC、PB的方位角，其差值为ε计，两者的差异Δε应满足下式规定：

Δε允=

Spc不能太短，否则Δε允可以允许很大。四、图形要求：同前方交会

12/19/2022

53三、检核

在待定点观测另一个已知点C得检查角ε，计五、变形图形

A与B不通视，但可以观测到另一个已知点D，如何求出α角？12/19/2022

54五、变形图形

A与B不通视，但可以观测到§9.4后方交会一、适应条件适应已知点不能安置仪器或不易到达的情况。二、基本图形及计算公式1．余切公式

1）求12/19/2022

55§9.4后方交会一、适应条件12/16/202212）求N3）求坐标12/19/2022

562）求N3）求坐标12/16/2022202．仿权公式（安谢麦特公式）

：ABCPRaRbRc∠A、∠B、∠C为三个已知点构成的三角形的三个内角。即后方交会基本图形中的∠CAB、∠ABC、∠BCA。α、β、γ为后方交会基本图形中∠A、∠B、∠C所对的角。

12/19/2022

572．仿权公式（安谢麦特公式）：ABCPRaRbRc∠三、后方交会的危险圆1．定义：过三个已知点构成的外接圆称为危险圆。2．影响：当待定点位于危险圆上任一位置时，α、β角不变，无法求解。3．注意：待定点不要在危险圆附近，否则误差很大。

12/19/2022

58三、后方交会的危险圆1．定义：过三个已知点构成的外接圆称为危四、后方交会的检核1．观测检查角ε（同侧方交会）2．分两组计算

12/19/2022

59四、后方交会的检核1．观测检查角ε（同侧方交会）12/16/§9.5交会点的精度概述待定点坐标XP、YP是已知点坐标和观测角的函数。

XP=f（XA，YA，…，α，β，…）YP=φ（XA，YA，…，α，β，…）对上面两式求全微分，忽略已知点坐标的误差，应用误差传播定律，得，则交会点的点位中误差为：

下面只简要介绍前方交会的几个结论。

12/19/2022

60§9.5交会点的精度概述下面只简要介绍前方交会的几个一、两点前方交会

若s、m不变，则与α、β有关，即与交会点相对于A点位置有关。对上两式求极值，分析点位误差与交会点位置的关系。12/19/2022

61一、两点前方交会若s、m不变，则与α、β有关，即与交会点相1．交会点P位于A、B、P三点的圆周上

此时，交会角不变，即上两式的分母不变，变量只有α和β。令

上式对α、β求偏导，在α=β条件下对U求二阶导数，

可见：γ＜90°，U“＜0，U有极大值；

γ＝90°，U“＝0，U无极值；（中误差处处相等）

γ＞90°，U“＞0，U有极小值；

12/19/2022

621．交会点P位于A、B、P三点的圆周上

此时，交会角不变，即结论：

1）当交会角γ＞90°时，前方交会点宜选在与已知点构成等腰三角形的位置，最佳位置为γ=109°28′16″；

2）当交会角γ＜90°时，则以靠近已知点的位置为好。

12/19/2022

63结论：

1）当交会角γ＞90°时，前方交会点宜选在与已知点构§9.6单三角形一、特点及适应条件1．由两个已知点和一个待定点组成三角形，观测三角形的三个内角。2．适应于控制点少或不通视