二十世纪数学概观-课件

二十世纪数学概观

(第三次数学危机)二十世纪数学概观(第三次数学危机)1二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系。它的发展趋势或特点：（1）更高的抽象性（2）更强的统一性（3）更深入的基础探讨二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、几何、分析2是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。

希尔伯特(

D.Hilbert.David，1862～1943)，德国数学家。是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他3大卫·希尔伯特，1862年1月23日出生在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上学，1885年取得博士学位，1886年就任哥尼斯堡大学讲师。1888年因为解决了不变式理论中著名的“哥尔丹问题”开始在数学界崭露头角，1891年他升任副教授，1893年升任教授。1895年，他应克莱因之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥丁根大学的黄金时代。

大卫·希尔伯特，1862年1月23日出生在东4由于他的影响，哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四十年，希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。

希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。由于他的影响，哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四5一、新世纪的序幕1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。他的讲演是这样开始的：

“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的方法和成果？”一、新世纪的序幕1900年8月，德国数学家希尔6希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表了许多精辟的见解，而整个演说的主题，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题71976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。

1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数8下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：

下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它9

1．

连续统假设

1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。

1．连续统假设102．算术公理的相容性

欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。2．算术公理的相容性113．两个等底等高四面体的体积相等问题

问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。3．两个等底等高四面体的体积相等问题12

4．

两点间以直线为距离最短线问题

此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

4．两点间以直线为距离最短线问题13

5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的

。这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定14

6.物理学的公理化

希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。

6.物理学的公理化15

7.某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ

的超越性。

7.某些数的无理性与超越性16

8.素数问题

包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最终解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。

8.素数问题17

希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？现在100多年过去了，这个问题至今仍没答案。该猜想已被美国克雷数学研究所列为世界黄金问题之一，能证明或证伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金。

黎曼猜想：（Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上）

黎曼猜想：（Riemannζ函数的所有非平凡零点都位18孪生素数问题：

在自然数列中，若p是素数，而p+2也是素数，则谓之具此性质的两个素数组合在自然数列中的出现为孪生素数。哥德巴赫猜想：(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b)任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

孪生素数问题：

在自然数列中，若p是素数，而p199．在任意数域中证明最一般的互反律

该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。

10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

9．在任意数域中证明最一般的互反律10．丢番图方程的20

11．系数为任意代数数的二次型

H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。

12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去

这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。11．系数为任意代数数的二次型2113．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程

七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程22

14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

15．

舒伯特计数演算的严格基础

一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

14．证明某类完备函数系的有限性23

16．

代数曲线和代数曲线面的拓扑问题

这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。

16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题2417．半正定形式的平方和表示

一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。18．用全等多面体构造空间

由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。17．半正定形式的平方和表示2519．正则变分问题的解是否一定解析

对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。20．一般边值问题

这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。19．正则变分问题的解是否一定解析2621．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明

已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。22．由自守函数构成的解析函数的单值化

它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明27

这23问题1-6是数学基础问题，7-12是数论问题；13-18是代数和几何问题，19-23数学分析问题，涉及现代数学大部分重要领域，大大地推动了20世纪数学的发展。

23．变分法的进一步发展这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。这23问题1-6是数学基础问题，7-12是数论问题；1328但希尔伯特问题未能包括拓扑学、李代数、黎曼几何与张量分析、群表示论、微分方程等在20世纪成为前沿学科的领域中的数学问题。除数学物理外很少涉及应用数学。20世纪数学的发展，远远地超出了希尔伯特问题所预示的范围。有些问题的研究（如2，10）还促进了现代计算机理论的成长。重要的问题历来是推动科学前进的杠杆，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并如此持久地影响了一门科学的发展，这在科学史上是不常见的。但希尔伯特问题未能包括拓扑学、李代数、黎曼几何291、更高的抽象更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一。这种趋势，最初主要受到了两大因素的推动。即集合论观点和公理化方法的应用。（1）集合论观点19世纪以来由康托尔所创立的集合论，最初遭到许多数学家（包括克罗内克、克莱因、庞加莱等）的反对。但到20世纪初，这1、更高的抽象更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主30一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，可以是任意性质的元素集合，如函数的集合、曲线的集合等等。集合论引起了数学中基本概念（如积分、函数、空间等）的深刻变革。（2）公理化方法

外尔曾说过：“20世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长，以前公理化方法仅仅用来阐明我们所建立的理论基础，而现在它却成为具体数学研究的工具。”一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，31现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特，虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的几何知识，但他的公理体系是不完备的。希尔伯特在1899年发表的《几何基础》中则提出第一个完备的公理系统。飞跃一：希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象。如：“点、线、面”已经纯粹是抽象的对象，没有特定的具体内容。现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特，虽然欧几32飞跃二：希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，即(1)相容性(3)完备性(2)独立性集合论观点与公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路。这方面的发展，导致了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛起。飞跃二：希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系332、数学的统一化20世纪的数学一方面越来越分化成许多分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不同学科相互渗透、结合的趋势。不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。2、数学的统一化20世纪的数学一方面越来越分化34如：微分拓扑与代数拓扑、整体微分几何、代数几何、多复变函数论、动力系统、偏微分方程与泛函分析、随机分析等等。如：微分拓扑与代数拓扑、整体微分几何、代数几何353、对基础的深入探讨19世纪末，由于严格的微积分理论的建立，第二次数学危机得以解决。但事实上，严格的微积分理论是以实数理论为基础的，而严格的实数论又以集合论为基础。集合论似乎给数学家们带来了一劳永逸地摆脱基础危机的希望，尽管集合论的相容性尚未解决。但许多人认为这只是时间问题。3、对基础的深入探讨19世纪末，由于严格的微积36在1900年巴黎举行的第二届国际数学家大会上，庞加莱高兴地指出：

“我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点，如果他们被蒙蔽了，我们是不是也象他们一样被蒙蔽了？……如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！”在1900年巴黎举行的第二届国际数学家大会上，37那时，绝大多数数学家具有和庞加莱相同的看法，他们对数学所达到的严密性而欢欣鼓舞。然而就在第二年，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论，而由此引发的争论称为第三次数学危机。对数学基础的更深入探讨，以及由此引出的数理逻辑的发展是20世纪纯粹数学的又一大重要发展趋势。那时，绝大多数数学家具有和庞加莱相同的看法，他383.1集合论悖论（理发师悖论）罗素的悖论是：以M表示是它们本身的成员的集合（如一切概念的集合仍然是一个集合）的集合，而以N表示不是它们本身成员的集合（如所有人的集合不是一个人）的集合。现在我们问：“集合N是否是它本身的成员？”

无论从哪种情况，我们都得到矛盾。3.1集合论悖论（理发师悖论）罗素的悖论是：39罗素悖论的出现不仅否定了庞加莱的“完全的严格性已经达到了”，而且直接动摇了把集合论作为分析基础的信心。法国著名逻辑学家兼数学家费雷格（Frege,1848-1925）在他刚刚完成的巨著《算术基础》第二卷时，他接到了罗素的一封信，信中把集合论悖论告诉了他，费雷格在第二卷的末尾说：罗素悖论的出现不仅否定了庞加莱的“完全的严格性40“一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了，即在一项工作完成的时候它的基础却在崩溃，当这部著作即将付印之际，罗素先生的一封信就使我处于这种境地。”集合论悖论对数学家们的震动是巨大的。它带来的威胁不只局限于集合论，而是遍及整个数学，甚至还包含逻辑。这就不得不使希尔伯特感叹道：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长久忍受下去的。试想，“一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了，即41在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至数学思想也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每一个人所学的、教的和42不久，策梅洛（zermelo,1871-1953）等人进一步指出分析中的一些基本概念（如一非空实数集的最小上界即上确界等）的定义也都是属于非直谓定义。因此不仅集合论，而且整个经典分析都包含着悖论。罗素本人认为这类悖论的产生是由于一个待定义对象是用了包含该对象在内的一类对象来定义，这种定义也叫“非直谓定义”。不久，策梅洛（zermelo,1871-1943第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的，后经弗兰克尔改进，通过对集合类型加以适当限制（满足一定的公理），形成了今天常用的策梅洛——弗兰克尔公理系统。这种公理化的集合论达到了避免罗素悖论的目的。而所加限制使康托尔集合论中对于开展全部经典分析所需要的主要内容得以保留。为了消除悖论，数学家们首先求助于将康托尔以相当随意的方式叙述的朴素集合论加以公理化。第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的44因此庞加莱形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但不知道圈内有没有狼。”但策梅洛——弗兰克尔公理系统本身是否保证不会出现新的矛盾呢？这也是任何公理系统必须解决的相容性问题。但此问题尚无证明。因此庞加莱形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用45但数学家们对这一前提陆续提出了不同的观点，并形成了关于数学基础的三大学派，它们是：以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。解决集合论悖论的进一步尝试，是从逻辑上去寻找问题的症结。集合论公理化运动是假定了数学运用的逻辑本身不成问题。3.2三大学派但数学家们对这一前提陆续提出了不同的观点，并形46逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表的《数学的原理》中已有大概的轮廓。罗素后来与怀特里得(Whitehead,1861-1947)合著的三大卷《数学原理》是逻辑主义的权威性论述。（一）逻辑主义（logicism）按照罗素的观点，“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来——数学概念可以借逻辑概念来定义，数学定理可以由逻辑公理按逻辑规则推出。逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表的《数学47即他们的规划是：至于逻辑的展开，则是依靠公理化方法进行，即从一些不定义的逻辑概念和不加证明的逻辑公理出发，通过符号演算的形式来建立整个逻辑体系。（1）从少数的逻辑概念出发去定义全部、或大部分数学概念。（2）从少数的逻辑法则出发去演绎全部、或大部分数学理论。即他们的规划是：至于逻辑的展开，则是依靠公理48罗素说：“我一直在寻找的数学的光辉的确定性在令人困惑的迷宫中丧失了。”逻辑主义的企图没有实现，也不可能实现。最重要的一点是，它隔离了数学和现实的关系。

逻辑主义的功绩：他们相当成功地把古典数学纳入了一个统一的公理系统，虽然这个系统不是纯逻辑的，但却是公理化方法在近代发展中的一个重要起点。他们还建立了完整的命题演算和谓词演算系统，完成了从传统逻辑到数理逻辑的过度和演变。罗素说：“我一直在寻找的数学的光辉的确定性在令49直觉主义认为，数学的出发点不是集合论，而是自然数。只有建立在这种原始直觉和可构造之上的数学才是可信的。直觉主义的先驱是克罗内克和庞加莱。但作为一个学派则是荷兰数学家布劳威尔（Brouwer,1881-1966）开创的。1907年在他的博士论文《论数学基础》中搭建了直觉主义数学的框架，1912年以后又大大地发展了这方面的理论。（二）直觉主义（intuitionism）直觉主义认为，数学的出发点不是集合论，而是自然50按照直觉主义者的观点，实数系和微积分理论中的许多定理是不能接受的。（1）坚持数学对象的“构造性”定义，是直觉主义哲学的精粹，按照这种观点，要证明任何数学对象的存在，必须同时证明它可以用有限的步骤构造出来。因此直觉主义不承认仅使用反证法的存在性证明。按照直觉主义者的观点，实数系和微积分理论中的许51把直线上的所有点看成一个整体，这种对无限的理解称为实无限（即所有的东西都是在一起的，实在的并且是完成的无限）；把无限看成一种增加的过程，就象用一个口袋装自然数，装完一个，还有许多，永远也装不完。这种对无限的理解称为潜无限（即推理的、发展的、未完成的无限）

。（2）在集合论中，直觉主义也只承认可构造的无穷集合（如自然数列），在无穷观的问题上彻底采用潜无限，而排斥实无限。把直线上的所有点看成一个整体，这种对无限的理解52损失古典数学中大批受数学家珍视的东西成为牺牲品：无理数的一般概念；康托尔的超限数；在无限多个正整数中存在一个最小数的定理……等等。这引起了很多数学家的不安甚至恼怒。（3）直觉主义关于有限的可构造性的主张导致了对古典数学中普遍接受的“排中律”（非真即假）的否定。对直觉主义者来说，排中律仅存在于有限集合中，对无限集合不能使用。损失古典数学中大批受数学家珍视的东西成53但他们提出的能行性问题具有十分重要的现实意义。他们还正确地指出，数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论得到的，是逻辑依赖于数学而不是数学依赖于逻辑。直觉主义因为把古典数学搞得支离破碎，而且重整数学的任务也非常艰巨，最后也失败了。但他们提出的能行性问题具有十分重要的现实意义。54（1）逻辑和数学中的基本概念和公理系统都是一行行毫无意义的符号，形式主义者指出，数学是关于形式系统的科学。形式主义数学观的核心有两条：（三）形式主义（formalism）（2）数学的真理性等价于数学系统的相容性，无矛盾性是对数学系统的唯一要求。（1）逻辑和数学中的基本概念和公理系统都是一行行毫无意义的符55在这里，语句只有逻辑结构而无实际内容，从公式到公式的演绎过程不涉及到公式的任何意义，这是形式主义与逻辑主义的重要区别。

对于形式主义者来说，数学本身就是形式系统，各自建立自己的概念、自己的公理、自己的推导定理的法则以及各自的逻辑；把这些演绎系统中每一个发展起来，这就是数学的任务。

在这里，语句只有逻辑结构而无实际内容，从公式到公式的56对于任何形式系统，确定其相容性是形式主义纲领的首要任务。希尔伯特提出了一整套直接证明形式系统相容性的设想，这套设想被称之为“证明论”或“元数学”，它是形式主义纲领的核心。在1928年的国际数学家大会上，希尔伯特非常自信地说：“利用这种新的数学基础，人们完全可以称它为证明论，我将可以解决世界上所有的基础性问题。”他尤其相信能够解决相容性问题和完备性问题。对于任何形式系统，确定其相容性是形式主义纲领的首要任57

希尔伯特纲领提出后不久，加有若干限制的自然数论的相容性即获证明。这使人们感到形式主义纲领为解决基础危机带来了希望。但是，1931年奥地利数学家哥德尔（Godel,1906-1978）证明的一条定理，却

希尔伯特的形式主义纲领是他早年关于几何基础公理化方法的发展与深化。他在《数理逻辑基础》（1928）和《数学基础》（1934-1939）中对形式主义纲领作出了系统的总结与全面的论述。希尔伯特纲领提出后不久，加有若干限制的自然数论的相容58出乎意料地揭示了形式主义方法的内在局限，明白无误地指出了形式系统的相容性在本系统内不能证明，从而使希尔伯特纲领受到了沉重的打击。这就是著名的“哥德尔不完全性定理”。出乎意料地揭示了形式主义方法的内在局限，明白无误地指出了形式59

哥德尔不完全性定理是数理逻辑中的一个定理，1931年年仅25岁的奥地利逻辑学家、数学家克尔特.哥德尔(KurtGodel，1906-1978)在《数学物理月刊》上发表了一篇题为《论数学原理和有关系统中的形式不可判定命题》的论文，论文发表初期并没有受到重视，但仅仅过了几年，这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。

3.3哥德尔不完全性定理哥德尔不完全性定理是数理逻辑中的一个定理，1931年60（1）它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念；哥德尔的论文指出了公理化过程的局限性，主要影响有四个方面：（2）它扑灭了希尔伯特曾设想的路线证明的内部相容性的全部希望；（3）它使得人们不得不必须重新评价普遍认可的数学哲学；（1）它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念61（4）它把一个新的、强有力且内容丰富的分析技术引到了基础研究之中。

Ⅰ）歌德尔第一定理

对于包含自然数系的任何相容（彼此矛盾的陈述不同时为公设集所包含）的形式体系F，存在F中的不可判定命题，即存在F中的命题S，使得S和非S都不是在F中可证明的。（4）它把一个新的、强有力且内容丰富的分析技术引到了基础研究62数论中有许多著名的猜想，到目前为止，既没有证明也没有推翻。例如，哥德巴赫猜想、孪生素数是无限的猜想等。这些猜想是不可判定的命题吧？如果是，那我们就永远不能证明。

由此得到，自然数系的任何公设集，如果相容的就不是完备的。换言之，不管我们能为自然数采用什么样的相容的公设集，总存在关于自然数的命题S，使得S和非S都不能从这些公设得到证明。数论中有许多著名的猜想，到目前为止，既没有证明也没有推63车敕定理

对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，不存在有效的方法决定F中的哪些问题在F中是可证的。

那么，有没有办法去确定一个命题是不是可判定的呢？也没有。1936年美国逻辑学家车敕(church)证明了下面的定理：车敕定理那么，有没有办法去确定一个64Ⅱ）哥德尔第二定理

对包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。希尔伯特一直想证明数学的内部相容性问题，但这也无望，因为哥德尔还证明了哥德尔的两条定理指出：任何一个数学分支都做不到完全的公式推演，而且没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾。Ⅱ）哥德尔第二定理希尔伯特一直想证明数学65哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中最重要的定理之一。人类对于数学的认识被迫作出了根本性的改变。数学不再是精确论证的顶峰，不再是真理的化身，数学有它自己的局限性。哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中最重要的定理之一66数学上总是存在着无法用理性证明的直觉，数学远非一大堆毫无生气可言的枯燥的逻辑堆砌，人类理性根本上也是不可能建立这种程式化的逻辑的。同时人类在处理包含思维的抽象体系时有极大的局限性，因为人的理性乃是根植于这个体系中的，人无法超越这个体系来理性地审视思维本身。歌德尔定理认识到了理性的局限性，人永远不能超越理性来认识理性。数学上总是存在着无法用理性证明的直觉，数学远非一大堆67二十世纪数学概观

(第三次数学危机)二十世纪数学概观(第三次数学危机)68二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系。它的发展趋势或特点：（1）更高的抽象性（2）更强的统一性（3）更深入的基础探讨二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、几何、分析69是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。

希尔伯特(

D.Hilbert.David，1862～1943)，德国数学家。是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他70大卫·希尔伯特，1862年1月23日出生在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上学，1885年取得博士学位，1886年就任哥尼斯堡大学讲师。1888年因为解决了不变式理论中著名的“哥尔丹问题”开始在数学界崭露头角，1891年他升任副教授，1893年升任教授。1895年，他应克莱因之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥丁根大学的黄金时代。

大卫·希尔伯特，1862年1月23日出生在东71由于他的影响，哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四十年，希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。

希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。由于他的影响，哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四72一、新世纪的序幕1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。他的讲演是这样开始的：

“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的方法和成果？”一、新世纪的序幕1900年8月，德国数学家希尔73希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表了许多精辟的见解，而整个演说的主题，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题741976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。

1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数75下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：

下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它76

1．

连续统假设

1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。

1．连续统假设772．算术公理的相容性

欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。2．算术公理的相容性783．两个等底等高四面体的体积相等问题

问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。3．两个等底等高四面体的体积相等问题79

4．

两点间以直线为距离最短线问题

此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

4．两点间以直线为距离最短线问题80

5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的

。这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定81

6.物理学的公理化

希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。

6.物理学的公理化82

7.某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ

的超越性。

7.某些数的无理性与超越性83

8.素数问题

包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最终解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。

8.素数问题84

希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？现在100多年过去了，这个问题至今仍没答案。该猜想已被美国克雷数学研究所列为世界黄金问题之一，能证明或证伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金。

黎曼猜想：（Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上）

黎曼猜想：（Riemannζ函数的所有非平凡零点都位85孪生素数问题：

在自然数列中，若p是素数，而p+2也是素数，则谓之具此性质的两个素数组合在自然数列中的出现为孪生素数。哥德巴赫猜想：(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b)任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

孪生素数问题：

在自然数列中，若p是素数，而p869．在任意数域中证明最一般的互反律

该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。

10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

9．在任意数域中证明最一般的互反律10．丢番图方程的87

11．系数为任意代数数的二次型

H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。

12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去

这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。11．系数为任意代数数的二次型8813．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程

七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程89

14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

15．

舒伯特计数演算的严格基础

一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

14．证明某类完备函数系的有限性90

16．

代数曲线和代数曲线面的拓扑问题

这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。

16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题9117．半正定形式的平方和表示

一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。18．用全等多面体构造空间

由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。17．半正定形式的平方和表示9219．正则变分问题的解是否一定解析

对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。20．一般边值问题

这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。19．正则变分问题的解是否一定解析9321．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明

已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。22．由自守函数构成的解析函数的单值化

它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明94

这23问题1-6是数学基础问题，7-12是数论问题；13-18是代数和几何问题，19-23数学分析问题，涉及现代数学大部分重要领域，大大地推动了20世纪数学的发展。

23．变分法的进一步发展这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。这23问题1-6是数学基础问题，7-12是数论问题；1395但希尔伯特问题未能包括拓扑学、李代数、黎曼几何与张量分析、群表示论、微分方程等在20世纪成为前沿学科的领域中的数学问题。除数学物理外很少涉及应用数学。20世纪数学的发展，远远地超出了希尔伯特问题所预示的范围。有些问题的研究（如2，10）还促进了现代计算机理论的成长。重要的问题历来是推动科学前进的杠杆，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并如此持久地影响了一门科学的发展，这在科学史上是不常见的。但希尔伯特问题未能包括拓扑学、李代数、黎曼几何961、更高的抽象更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一。这种趋势，最初主要受到了两大因素的推动。即集合论观点和公理化方法的应用。（1）集合论观点19世纪以来由康托尔所创立的集合论，最初遭到许多数学家（包括克罗内克、克莱因、庞加莱等）的反对。但到20世纪初，这1、更高的抽象更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主97一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，可以是任意性质的元素集合，如函数的集合、曲线的集合等等。集合论引起了数学中基本概念（如积分、函数、空间等）的深刻变革。（2）公理化方法

外尔曾说过：“20世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长，以前公理化方法仅仅用来阐明我们所建立的理论基础，而现在它却成为具体数学研究的工具。”一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，98现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特，虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的几何知识，但他的公理体系是不完备的。希尔伯特在1899年发表的《几何基础》中则提出第一个完备的公理系统。飞跃一：希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象。如：“点、线、面”已经纯粹是抽象的对象，没有特定的具体内容。现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特，虽然欧几99飞跃二：希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，即(1)相容性(3)完备性(2)独立性集合论观点与公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路。这方面的发展，导致了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛起。飞跃二：希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系1002、数学的统一化20世纪的数学一方面越来越分化成许多分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不同学科相互渗透、结合的趋势。不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。2、数学的统一化20世纪的数学一方面越来越分化101如：微分拓扑与代数拓扑、整体微分几何、代数几何、多复变函数论、动力系统、偏微分方程与泛函分析、随机分析等等。如：微分拓扑与代数拓扑、整体微分几何、代数几何1023、对基础的深入探讨19世纪末，由于严格的微积分理论的建立，第二次数学危机得以解决。但事实上，严格的微积分理论是以实数理论为基础的，而严格的实数论又以集合论为基础。集合论似乎给数学家们带来了一劳永逸地摆脱基础危机的希望，尽管集合论的相容性尚未解决。但许多人认为这只是时间问题。3、对基础的深入探讨19世纪末，由于严格的微积103在1900年巴黎举行的第二届国际数学家大会上，庞加莱高兴地指出：

“我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点，如果他们被蒙蔽了，我们是不是也象他们一样被蒙蔽了？……如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！”在1900年巴黎举行的第二届国际数学家大会上，104那时，绝大多数数学家具有和庞加莱相同的看法，他们对数学所达到的严密性而欢欣鼓舞。然而就在第二年，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论，而由此引发的争论称为第三次数学危机。对数学基础的更深入探讨，以及由此引出的数理逻辑的发展是20世纪纯粹数学的又一大重要发展趋势。那时，绝大多数数学家具有和庞加莱相同的看法，他1053.1集合论悖论（理发师悖论）罗素的悖论是：以M表示是它们本身的成员的集合（如一切概念的集合仍然是一个集合）的集合，而以N表示不是它们本身成员的集合（如所有人的集合不是一个人）的集合。现在我们问：“集合N是否是它本身的成员？”

无论从哪种情况，我们都得到矛盾。3.1集合论悖论（理发师悖论）罗素的悖论是：106罗素悖论的出现不仅否定了庞加莱的“完全的严格性已经达到了”，而且直接动摇了把集合论作为分析基础的信心。法国著名逻辑学家兼数学家费雷格（Frege,1848-1925）在他刚刚完成的巨著《算术基础》第二卷时，他接到了罗素的一封信，信中把集合论悖论告诉了他，费雷格在第二卷的末尾说：罗素悖论的出现不仅否定了庞加莱的“完全的严格性107“一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了，即在一项工作完成的时候它的基础却在崩溃，当这部著作即将付印之际，罗素先生的一封信就使我处于这种境地。”集合论悖论对数学家们的震动是巨大的。它带来的威胁不只局限于集合论，而是遍及整个数学，甚至还包含逻辑。这就不得不使希尔伯特感叹道：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长久忍受下去的。试想，“一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了，即108在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至数学思想也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每一个人所学的、教的和109不久，策梅洛（zermelo,1871-1953）等人进一步指出分析中的一些基本概念（如一非空实数集的最小上界即上确界等）的定义也都是属于非直谓定义。因此不仅集合论，而且整个经典分析都包含着悖论。罗素本人认为这类悖论的产生是由于一个待定义对象是用了包含该对象在内的一类对象来定义，这种定义也叫“非直谓定义”。不久，策梅洛（zermelo,1871-19110第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的，后经弗兰克尔改进，通过对集合类型加以适当限制（满足一定的公理），形成了今天常用的策梅洛——弗兰克尔公理系统。这种公理化的集合论达到了避免罗素悖论的目的。而所加限制使康托尔集合论中对于开展全部经典分析所需要的主要内容得以保留。为了消除悖论，数学家们首先求助于将康托尔以相当随意的方式叙述的朴素集合论加以公理化。第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的111因此庞加莱形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但不知道圈内有没有狼。”但策梅洛——弗兰克尔公理系统本身是否保证不会出现新的矛盾呢？这也是任何公理系统必须解决的相容性问题。但此问题尚无证明。因此庞加莱形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用112但数学家们对这一前提陆续提出了不同的观点，并形成了关于数学基础的三大学派，它们是：以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。解决集合论悖论的进一步尝试，是从逻辑上去寻找问题的症结。集合论公理化运动是假定了数学运用的逻辑本身不成问题。3.2三大学派但数学家们对这一前提陆续提出了不同的观点，并形113逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表的《数学的原理》中已有大概的轮廓。罗素后来与怀特里得(Whitehead,1861-1947)合著的三大卷《数学原理》是逻辑主义的权威性论述。（一）逻辑主义（logicism）按照罗素的观点，“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来——数学概念可以借逻辑概念来定义，数学定理可以由逻辑公理按逻辑规则推出。逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表的《数学114即他们的规划是：至于逻辑的展开，则是依靠公理化方法进行，即从一些不定义的逻辑概念和不加证明的逻辑公理出发，通过符号演算的形式来建立整个逻辑体系。（1）从少数的逻辑概念出发去定义全部、或大部分数学概念。（2）从少数的逻辑法则出发去演绎全部、或大部分数学理论。即他们的规划是：至于逻辑的展开，则是依靠公理115罗素说：“我一直在寻找的数学的光辉的确定性在令人困惑的迷宫中丧失了。”逻辑主义的企图没有实现，也不可能实现。最重要的一点是，它隔离了数学和现实的关系。

逻辑主义的功绩：他们相当成功地把古典数学纳入了一个统一的公理系统，虽然这个系统不是纯逻辑的，但却是公理化方法在近代发展中的一个重要起点。他们还建立了完整的命题演算和谓词演算系统，完成了从传统逻辑到数理逻辑的过度和演变。罗素说：“我一直在寻找的数学的光辉的确定性在令116直觉主义认为，数学的出发点不是集合论，而是自然数。只有建立在这种原始直觉和可构造之上的数学才是可信的。直觉主义的先驱是克罗内克和庞加莱。但作为一个学派则是荷兰数学家布劳威尔（Brouwer,1881-1966）开创的。1907年在他的博士论文《论数学基础》中搭建了直觉主义数学的框架，1912年以后又大大地发展了这方面的理论。（二）直觉主义（intuitionism）直觉主义认为，数学的出发点不是集合论，而是自然117按照直觉主义者的观点，实数系和微积分理论中的许多定理是不能接受的。（1）坚持数学对象的“构造性”定义，是直觉主义哲学的精粹，按照这种观点，要证明任何数学对象的存在，必须同时证明它可以用有限的步骤构造出来。因此直觉主义不承认仅使用反证法的存在性证明。按照直觉主义者的观点，实数系和微积分理论中的许118把直线上的所有点看成一个整体，这种对无限的理解称为实无限（即所有的东西都是在一起的，实在的并且是完成的无限）；把无限看成一种增加的过程，就象用一个口袋装自然数，装完一个，还有许多，永远也装不完。这种对无限的理解称为潜无限（即推理的、发展的、未完成的无限）

。（2）在集合论中，直觉主义也只承认可构造的无穷集合（如自然数列），在无穷观的问题上彻底采用潜无限，而排斥实无限。把直线上的所有点看成一个整体，这种对无限的理解119损失古典数学中大批受数学家珍视的东西成为牺牲品：无理数的一般概念；康托尔的超限数；在无限多个正整数中存在一个最小数的定理……等等。这引起了很多数学家的不安甚至恼怒。（3）直觉主义关于有限的可构造性的主张导致了对古典数学中普遍接受的“排中律”（非真即假）的否定。对直觉主义者来说，排中律仅存在于有限集合中，对无限集合不能使用。损失古典数学中大批受数学家珍视的东西成120但他们提出的能行性问题具有十分重要的现实意义。他们还正确地指出，数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论得到