初等变换与初等矩阵课件

§2.5初等变换与初等矩阵 本节主要介绍矩阵的初等变换和初等矩阵，它们在求矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵以及解线性方程组等方面起着重要作用.

2.5.1矩阵的初等变换 2.5.2初等矩阵 2.5.3*

分块矩阵的初等变换§2.5初等变换与初等矩阵 本节主要介绍矩阵的初等变换2.5.1矩阵的初等变换 定义2.5.1矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换： (1)互换矩阵A的第i行与第j行（或第i列与第j列）的位置，记为rirj(或cicj); (2)用常数k≠0去乘矩阵A的第i行(或第j列)，记为krj(或kcj);2.5.1矩阵的初等变换 定义2.5.1矩阵A的下列变换 (3)将矩阵A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到第i行(或第i列)的对应元素上去，记为ri+krj(或ci+kcj); 这三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换. 定义2.5.2如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵

B,则称

A与

B等价，记为

A≌B

，或AB. (3)将矩阵A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到 等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质: (1)自反性：A≌A；

(2)对称性：若A≌B,则

A≌B;

(3)传递性：若A≌B,B≌C,则A≌C. 利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化为简单的阶梯形矩阵，后者在以后将要介 在数学中把具有上述三个基本性质的关系称为等价关系. 等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质: (1)自反绍的利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，求矩阵的秩以及线性方程组的求解中都是非常有用的. 定义2.5.3如果矩阵A满足下列条件： (1)若有零行，则零行全在矩阵A的下方； (2)A的各非零行的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一个非零元素的列序数；

绍的利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，求矩阵的秩以及线性方程组则称A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵. 如果矩阵

A除满足上述条件(1)、(2)外，还满足条件： (3)各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称A为简化阶梯形矩阵.例如

则称A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵. 如果矩阵A除满足为阶梯形矩阵；为简化阶梯形矩阵.为阶梯形矩阵；为简化阶梯形矩阵.阶梯形矩阵的一般形式为（2.5.1）

上述矩阵中,bk(1kr)为非零常数，*号表示某一常数.阶梯形矩阵的一般形式为（2.5.1）上述矩阵中,bk(1 定理2.5.1任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形. 证设矩阵 应用行的互换和倍加变换就可以把它化为阶梯形.由于A为非零矩阵，那么它 定理2.5.1任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形至少有一列含有非零元素，不妨设j1列是它的第一个非零列，并且

，否则可通过交换矩阵中行的顺序即可达到目的.记依次减去第一行的

倍，则A可化为

.从矩阵的第二行起，至少有一列含有非零元素，不妨设j1列是它的第一个非零列，并且其中

A1为(m-1)×(n-j1)矩阵.再对矩阵

A1应用上述方法，继续进行下去，即可把

A化为形如（2.5.1）的阶梯形矩阵.证毕.

设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯形矩阵(2.5.1),我们再对它的第k行分别乘以

初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶梯形

，然后再对矩阵作第三种其中A1为(m-1)×(n-j1)矩阵.再对矩阵A1应用（2.5.2）

再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行变换，则可以把它化成如下更加简单的形式（2.5.2）再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行变（2.5.3）

矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，我们称（2.5.3）为矩阵A的标准形.

（2.5.3）矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，我 由以上讨论，我们可以得到如下结论 定理2.5.2任意非零矩阵A=(aij)m×n都与它的标准形等价,即存在矩阵

，使

其中Er为r阶单位矩阵,1rmin

{m,n}. 矩阵和它的标准形等价是一个重要结论，后面我们还要说明，对于一个矩阵来说，它的标准形是唯一的，它反映了矩阵在初等变换下的一种不变性. 由以上讨论，我们可以得到如下结论 定理2.5.2任意非 例2.5.1用初等行变换把矩阵化为阶梯形和简化阶梯形.解

例2.5.1用初等行变换把矩阵化为阶梯形和简化阶梯形.解r4+r1r4+r1初等变换与初等矩阵课件 这就是矩阵A的阶梯形.再对其进行初等行变换 这就是矩阵A的阶梯形.再对其进行初等行变换此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵.

r2+(-2)r3此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵.r2+(-2)r3 如果再对A的简化阶梯形作列的初等变换,可得矩阵A的标准形 如果再对A的简化阶梯形作列的初等变换,可得矩阵A的标准c4c5c4c52.5.2初等矩阵 定义2.5.4由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 由于矩阵的初等变换有三种，所以对应的初等矩阵有三类： (1)互换E的第i行（列）与第

j

行（列），记为

2.5.2初等矩阵 定义2.5.4由单位矩阵E经过一次i

行j行i行j行 (2)用数k≠0乘

E的第i行(列)，记为

i行 (2)用数k≠0乘E的第i行(列)，记为i行 (3)用数k乘

E的第j行(i列)加到第i行(j列)上，记为

i行j行 (3)用数k乘E的第j行(i列)加到第i行(j列)上，我们把

分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵.

(1)初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵的性质： (3)初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且 (2)初等矩阵都是可逆矩阵；我们把分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵. (1)初等矩 对于初等矩阵，我们有如下定理 定理2.5.3设A是一个

m×n矩阵,对A作一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n初等矩阵. 对于初等矩阵，我们有如下定理 定理2.5.3设A是一个 证仅就对行作第三种初等变换的情形给出证明. 设矩阵A=(aij)m×n，用m阶初等矩阵E(i,j(k))左乘以A，则

证仅就对行作第三种初等变换的情形给出证明. 设矩阵A=上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵

A的第j行乘以常数

k加到第

i行上).

证毕. 要注意,当进行列的第三种初等变换时,即将j列的

k倍加到

i列上去时，要右乘以

,请读者自行验证之.

由这个定理，矩阵的初等变换和矩阵乘法建立了联系.上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵A的第 利用定理2.5.3和矩阵等价的定义,立即可以得到如下定理 定理2.5.4mn矩阵A与B等价有m阶初等矩阵P1,P2,…,Ps与n阶初等矩阵

Q1,Q2,…,Qt

,使得

若记P=P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt，则P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，于是得到 利用定理2.5.3和矩阵等价的定义,立即可以得到如下定理 推论1mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵

Q,使得

结合定理2.5.2,我们有 推论2对于任意非零mn矩阵A，必存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得（2.5.4） 推论1mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可这里

是矩阵A的标准形.

推论3若A为n阶可逆矩阵，则A≌E

若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少含有一个零元素，对（2.5.4）两端取行列式，|PAQ|=0即|P||A||Q|=0这里是矩阵A的标准形. 推论3若A为n阶可逆矩阵，此与矩阵A,P,Q可逆，|A||P||Q|≠0矛盾.

若n阶矩阵A可逆，由推论3，存在

n阶初等矩阵

P1,P2,…,Pt,Pt+1,…,Ps，使

即可逆矩阵

A可以表示成有限个初等矩阵的乘积；反之，若A能表示成有限个初等矩阵的乘积，根据可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵的结论，一定是可逆的.

此与矩阵A,P,Q可逆，|A||P||Q|≠0矛盾. 若 因此，得到如下结论 推论4n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积. 应用这个结论，可以得到一个应用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.

设矩阵A可逆，则

A-1可表示成有限个初等矩阵的乘积，即

A-1=P1,P2,…,Pt.由

AA-1=E，有

（2.5.5） 因此，得到如下结论 推论4n阶矩阵A可逆的充分必要条件即(2.5.6) （2.5.5）式表明，可逆矩阵A经过有限次初等行变换可化为单位矩阵

E；(2.5.6)式则表明，这些初等行变换同时可以把单位矩阵

E化为A-1. 根据分块矩阵的乘法，（2.5.5），(2.5.6)两式可合并为即(2.5.6) （2.5.5）式表明，可逆矩阵A经过有或

例2.5.2设用初等行变换法求A-1

或例2.5.2设用初等行变换法求A-1解

解r3+r2

r3+r2r2+(-3)r3r2+(-3)r3所以所以2.5.3*

分块矩阵的初等变换 前面介绍了矩阵的初等变换，它在求可逆矩阵的逆矩阵等方面有着重要的应用，下面我们把它推广到分块矩阵的情形.这里仅以2×2分块矩阵为例进行讨论.

将n阶单位矩阵进行如下分块

，其中k+s=n

2.5.3*分块矩阵的初等变换 前面介绍了矩阵的初等变对其分别进行两行(列)的互换，某一行(列)左乘（右乘）一个矩阵P(Q)，把某一行(列)的

M倍(N倍)(

M,N为矩阵）加到另一行(列)上的初等变换，可得如下三种分块初等矩阵：

(1)分块互换初等矩阵

对其分别进行两行(列)的互换，某一行(列)左乘（右乘）一个矩 (2)分块倍乘初等矩阵

这里P为k阶可逆矩阵,

Q为s阶可逆矩阵；

(3)分块倍加初等矩阵

这里M为k×s矩阵，N为

s×k矩阵. (2)分块倍乘初等矩阵这里P为k阶可逆矩阵,Q为s阶 同初等矩阵与初等变换的关系一样，对分块矩阵进行初等行变换或初等列变换，只需选择适当的分块初等矩阵去左乘或右乘该矩阵即可.

例如，对于分块矩阵（2.5.7） 为了求逆矩阵或矩阵的行列式，往往需要把它的子块B或C化为零矩阵.为此，只要对该矩阵作第三种初等变换即可.

同初等矩阵与初等变换的关系一样，对分块矩阵进行初等行变换或 对矩阵（2.5.7）左乘一个倍加分块初等矩阵，则 为了消去（2.5.7）中的子块C，可选择适当的

N，使NA+C=O

当A可逆时，只需取N=-CA-1，则

（2.5.8） 对矩阵（2.5.7）左乘一个倍加分块初等矩阵，则 为了消去 若要消去矩阵（2.5.7）中的子块B，可右乘一个倍加分块初等矩阵，同样，在上式中可适当选择M，使AM+B=O.当A可逆时，只需取M=-A-1B，则

(2.5.9)

若要消去矩阵（2.5.7）中的子块B，可右乘一个倍加分块初

下面我们举例说明分块初等矩阵的应用.

例2.5.3设其中A为k阶可逆矩阵，B为s阶可逆矩阵，求D-1

解由于

下面我们举例说明分块初等矩阵的应用.例2.5.3设所以所以 证由（2.5.9）

例2.5.4设A,B,C,D均为n阶方阵，矩阵A可逆，且AC=CA，证明上式两端取行列式 证由（2.5.9） 例2.5.4设A,B,C,D均即即 例2.5.5设A,B均为3阶方阵，且|B|≠0，试求

解先通过初等变换把行列式所对应的分块矩阵左上角的子块-B化为零矩阵，然后利用行列式的拉普拉斯定理即可. 例2.5.5设A,B均为3阶方阵，且|B|≠0，试求由于上式两端取行列式即由于上式两端取行列式即应用拉普拉斯定理 例2.5.6设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，证明

证构造分块矩阵应用拉普拉斯定理 例2.5.6设A为m×n矩阵，B为n由于对以上两式取行列式，并进行比较，可得

由于对以上两式取行列式，并进行比较，可得§2.5初等变换与初等矩阵 本节主要介绍矩阵的初等变换和初等矩阵，它们在求矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵以及解线性方程组等方面起着重要作用.

2.5.1矩阵的初等变换 2.5.2初等矩阵 2.5.3*

分块矩阵的初等变换§2.5初等变换与初等矩阵 本节主要介绍矩阵的初等变换2.5.1矩阵的初等变换 定义2.5.1矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换： (1)互换矩阵A的第i行与第j行（或第i列与第j列）的位置，记为rirj(或cicj); (2)用常数k≠0去乘矩阵A的第i行(或第j列)，记为krj(或kcj);2.5.1矩阵的初等变换 定义2.5.1矩阵A的下列变换 (3)将矩阵A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到第i行(或第i列)的对应元素上去，记为ri+krj(或ci+kcj); 这三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换. 定义2.5.2如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵

B,则称

A与

B等价，记为

A≌B

，或AB. (3)将矩阵A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到 等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质: (1)自反性：A≌A；

(2)对称性：若A≌B,则

A≌B;

(3)传递性：若A≌B,B≌C,则A≌C. 利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化为简单的阶梯形矩阵，后者在以后将要介 在数学中把具有上述三个基本性质的关系称为等价关系. 等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质: (1)自反绍的利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，求矩阵的秩以及线性方程组的求解中都是非常有用的. 定义2.5.3如果矩阵A满足下列条件： (1)若有零行，则零行全在矩阵A的下方； (2)A的各非零行的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一个非零元素的列序数；

绍的利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，求矩阵的秩以及线性方程组则称A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵. 如果矩阵

A除满足上述条件(1)、(2)外，还满足条件： (3)各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称A为简化阶梯形矩阵.例如

则称A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵. 如果矩阵A除满足为阶梯形矩阵；为简化阶梯形矩阵.为阶梯形矩阵；为简化阶梯形矩阵.阶梯形矩阵的一般形式为（2.5.1）

上述矩阵中,bk(1kr)为非零常数，*号表示某一常数.阶梯形矩阵的一般形式为（2.5.1）上述矩阵中,bk(1 定理2.5.1任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形. 证设矩阵 应用行的互换和倍加变换就可以把它化为阶梯形.由于A为非零矩阵，那么它 定理2.5.1任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形至少有一列含有非零元素，不妨设j1列是它的第一个非零列，并且

，否则可通过交换矩阵中行的顺序即可达到目的.记依次减去第一行的

倍，则A可化为

.从矩阵的第二行起，至少有一列含有非零元素，不妨设j1列是它的第一个非零列，并且其中

A1为(m-1)×(n-j1)矩阵.再对矩阵

A1应用上述方法，继续进行下去，即可把

A化为形如（2.5.1）的阶梯形矩阵.证毕.

设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯形矩阵(2.5.1),我们再对它的第k行分别乘以

初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶梯形

，然后再对矩阵作第三种其中A1为(m-1)×(n-j1)矩阵.再对矩阵A1应用（2.5.2）

再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行变换，则可以把它化成如下更加简单的形式（2.5.2）再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行变（2.5.3）

矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，我们称（2.5.3）为矩阵A的标准形.

（2.5.3）矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，我 由以上讨论，我们可以得到如下结论 定理2.5.2任意非零矩阵A=(aij)m×n都与它的标准形等价,即存在矩阵

，使

其中Er为r阶单位矩阵,1rmin

{m,n}. 矩阵和它的标准形等价是一个重要结论，后面我们还要说明，对于一个矩阵来说，它的标准形是唯一的，它反映了矩阵在初等变换下的一种不变性. 由以上讨论，我们可以得到如下结论 定理2.5.2任意非 例2.5.1用初等行变换把矩阵化为阶梯形和简化阶梯形.解

例2.5.1用初等行变换把矩阵化为阶梯形和简化阶梯形.解r4+r1r4+r1初等变换与初等矩阵课件 这就是矩阵A的阶梯形.再对其进行初等行变换 这就是矩阵A的阶梯形.再对其进行初等行变换此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵.

r2+(-2)r3此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵.r2+(-2)r3 如果再对A的简化阶梯形作列的初等变换,可得矩阵A的标准形 如果再对A的简化阶梯形作列的初等变换,可得矩阵A的标准c4c5c4c52.5.2初等矩阵 定义2.5.4由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 由于矩阵的初等变换有三种，所以对应的初等矩阵有三类： (1)互换E的第i行（列）与第

j

行（列），记为

2.5.2初等矩阵 定义2.5.4由单位矩阵E经过一次i

行j行i行j行 (2)用数k≠0乘

E的第i行(列)，记为

i行 (2)用数k≠0乘E的第i行(列)，记为i行 (3)用数k乘

E的第j行(i列)加到第i行(j列)上，记为

i行j行 (3)用数k乘E的第j行(i列)加到第i行(j列)上，我们把

分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵.

(1)初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵的性质： (3)初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且 (2)初等矩阵都是可逆矩阵；我们把分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵. (1)初等矩 对于初等矩阵，我们有如下定理 定理2.5.3设A是一个

m×n矩阵,对A作一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n初等矩阵. 对于初等矩阵，我们有如下定理 定理2.5.3设A是一个 证仅就对行作第三种初等变换的情形给出证明. 设矩阵A=(aij)m×n，用m阶初等矩阵E(i,j(k))左乘以A，则

证仅就对行作第三种初等变换的情形给出证明. 设矩阵A=上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵

A的第j行乘以常数

k加到第

i行上).

证毕. 要注意,当进行列的第三种初等变换时,即将j列的

k倍加到

i列上去时，要右乘以

,请读者自行验证之.

由这个定理，矩阵的初等变换和矩阵乘法建立了联系.上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵A的第 利用定理2.5.3和矩阵等价的定义,立即可以得到如下定理 定理2.5.4mn矩阵A与B等价有m阶初等矩阵P1,P2,…,Ps与n阶初等矩阵

Q1,Q2,…,Qt

,使得

若记P=P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt，则P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，于是得到 利用定理2.5.3和矩阵等价的定义,立即可以得到如下定理 推论1mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵

Q,使得

结合定理2.5.2,我们有 推论2对于任意非零mn矩阵A，必存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得（2.5.4） 推论1mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可这里

是矩阵A的标准形.

推论3若A为n阶可逆矩阵，则A≌E

若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少含有一个零元素，对（2.5.4）两端取行列式，|PAQ|=0即|P||A||Q|=0这里是矩阵A的标准形. 推论3若A为n阶可逆矩阵，此与矩阵A,P,Q可逆，|A||P||Q|≠0矛盾.

若n阶矩阵A可逆，由推论3，存在

n阶初等矩阵

P1,P2,…,Pt,Pt+1,…,Ps，使

即可逆矩阵

A可以表示成有限个初等矩阵的乘积；反之，若A能表示成有限个初等矩阵的乘积，根据可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵的结论，一定是可逆的.

此与矩阵A,P,Q可逆，|A||P||Q|≠0矛盾. 若 因此，得到如下结论 推论4n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积. 应用这个结论，可以得到一个应用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.

设矩阵A可逆，则

A-1可表示成有限个初等矩阵的乘积，即

A-1=P1,P2,…,Pt.由

AA-1=E，有

（2.5.5） 因此，得到如下结论 推论4n阶矩阵A可逆的充分必要条件即(2.5.6) （2.5.5）式表明，可逆矩阵A经过有限次初等行变换可化为单位矩阵

E；(2.5.6)式则表明，这些初等行变换同时可以把单位矩阵

E化为A-1. 根据分块矩阵的乘法，（2.5.5），(2.5.6)两式可合并为即(2.5.6) （2.5.5）式表明，可逆矩阵A经过有或

例2.5.2设用初等行变换法求A-1

或例2.5.2设用初等行变换法求A-1解

解r3+r2

r3+r2r2+(-3)r3r2+(-3)r3所以所以2.5.3*

分块矩阵的初等变换 前面介绍了矩阵的初等变换，它在求可逆矩阵的逆矩阵等方面有着重要的应用，下面我们把它推广到分块矩阵的情形.这里仅以2×2分块矩阵为例进行讨论.

将n阶单位矩阵进行如下分块

，其中k+s=n

2.5.3*分块矩阵的初等变换 前面介绍了矩阵的初等变对其分别进行两行(列)的互换，某一行(列)左乘（右乘）一个矩阵P(Q)，把某一行(列)