向量复习课件

平面向量平面向量一、向量的基本概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量等.一、向量的基本概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量2、向量的表示AB1、字母表示：AB或a2、坐标表示：xyO(x,y)Axy2、向量的表示AB1、字母表示：AB或a2、坐标表示：向量复习课件向量复习课件作法（1）在平面内任取一点Oo·AB位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。还有没有其他的做法？作法（1）在平面内任取一点Oo·AB位移的合成可以看作向量加2、向量加法的平行四边形法则o·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型。作法（1）在平面内任取一点O同起点的对角线BOCA以同一点O为起点的两个已知向量为邻边作

OACB，则以Ｏ为起点的对角线OC就是的和．2、向量加法的平行四边形法则o·ABC力的合成可以看作向量加OAB差向量的做法：从一个点出发的两个向量的差向量就是从减向量的终点指向被减向量终点的向量。OAB差向量的做法：从一个点出发的两个向量的

ABCDEFMABCDEFM向量复习课件向量复习课件2,3

平面向量基本定理2,3平面向量基本定理

13

15二、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：1、作图（二）向量的减法2、坐标运算：1、作图平行四边形法则：abab+ab+二、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行（1）长度：（2）方向：

（三）数乘向量（1）长度：（2）方向：（三）数乘向量5、平面向量基本定理向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4、共线向量基本定理5、平面向量基本定理4、共线向量基本定理1、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABθB1(四)数量积4、运算律:3、数量积的坐标运算1、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABθB1向量复习课件五、向量垂直的判定六、向量平行的判定(共线向量的判定)七、向量的长度八、向量的夹角向量表示坐标表示向量表示坐标表示五、向量垂直的判定六、向量平行的判定(共线向量的判定)七、向向量复习课件向量复习课件向量复习课件C-3C-3向量复习课件向量复习课件解：∵

∴同理可得

∴θ=120°解：∵∴同理可得∴θ=120°28向量复习课件向量复习课件训练：

垂内等边三角形训练：垂内等边三角形31空间向量复习空间向量复习abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。3.1.1空间向量的运算abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律数乘分配律加法结合律数乘:ka,k为正数,负数,零平面向量概念加法运定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始（2）首尾相接ABCDA1B1C1D1GM

始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量ABCDA1B1C1D1GM始点相同的三个不共一、共线向量:零向量与任意向量共线.

1.共线向量:空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作

2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使3.1.2共线向量定理与共面向量定理一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:空推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量a叫做直线的方向向量.OABPa若P为A,B中点,则假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。可用于证明点共线推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使注：可用于证明三个向量共面2.共面向量定理:如果两个向量注：可用于证明三个向量推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使

或对空间任一点O,有

注意：证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据实数对推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,

求x,y的值。2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2

共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,1）两个向量的夹角OAB3.1.3空间向量的数量积向量a与b的夹角记作：<a,b>1）两个向量的夹角OAB3.1.3空间向量的数量积向量a与432）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。2）两个向量的数量积注意：3）射影BAA1B1注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。3）射影BAA1B1注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个4)空间向量的数量积性质注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：4)空间向量的数量积性质注意：对于非零向量，有：5)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律5)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律1、应用可证明两直线垂直，2、利用可求线段的长度。向量数量积的应用1、应用可证明两直线垂直，向3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：如果二、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用i,j,k表示。则空间中任意一个向量p可表示为

p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量p的坐标。二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的3.1.5向量的直角坐标运算3.1.5向量的直角坐标运算51二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此52在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间的距离公式终点坐标减起点坐标在空间直角坐标系中，已知、（2）空间两点间的距离2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。思考：当及时，的夹角在什么范围内？2.两个向量夹角公式注意：思考：当及立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1ala二、怎样求平面法向量？ala二、怎样求平面法向量？1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：（1）FC1//平面ADE（2）平面ADE//平面B1C1F证明：如图1所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、E（2，2，1）、F（0，0，1），所以设，分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则，，1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F证2、已知向量则上的单位向量为：

同理可求（1），又FC1平面ADE，平面ADE∴平面ADE//平面B1C1F（2）取y=1，则2、已知向量则设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β

的法向量分别为u,v,则线线平行：l∥ma∥ba=kb;线面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.线线垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.线面垂直：l⊥αa∥ua=ku;三、有关结论设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β线线平行：l∥异面直线所成角的范围：

结论：题型一：线线角3.2.3利用空间向量求空间角异面直线所成角的范围：结论：题型一：线线角3.2.3利用空题型二：线面角直线与平面所成角的范围：

题型二：线面角直线AB与平面α所成的角θ可看成是向量与平面α的法向量所成的锐角的余角，所以有题型二：线面角直线与平面所成角的范围：题型二：线面角直线A题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围BAaMNnab一、求异面直线的距离方法指导:①作直线a、b的

方向向量a、b，求a、b的法

向量n，即此异面直线a、b

的公垂线的方向向量；

②在直线a、b上各取一点

A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上的射影

d，则异面直线a、b间的距离为方法指导:①作直线a、b的

方向向量a、b，求a、b的法

向量n，即此异面直线a、b

的公垂线的方向向量；

②在直线a、b上各取一点

A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上的射影

d，则异面直线a、b间的距离为3.2.4BAaMNnab一、求异面直线的距离方法指导:①作直线a、b如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离nAPO二、求点到平面的距离如图点P为平面外一点，点A为平面内的任nAPO二、求点到例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz四、求平行平面与平面间距离例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N立体几何中的向量方法——坐标法问题1：已知：△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC,且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：

平面ADE⊥平面ACE.⑴怎样建立适当的空间直角坐标系？⑵怎样证明平面ADE⊥平面ACE？⑹如何求平面ADE、平面ACE的法向量？⑶一个平面的法向量有多少个？⑷能否设平面ADE的法向量为n=(1,y,z)?⑸这样做有什么好处？立体几何中的向量方法——坐标法问题1：已知：△ABC为正三角解：分别以CB，CE所在直线为y,z轴，C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,如右下图,设正三角形ABC边长为2则C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、设N为AC中点，则N连接BN，∵△ABC为正三角形，∴BN⊥AC，∵EC⊥平面ABC,∴BN⊥EC,又AC∩EC=C,∴BN⊥平面ACE.因此可取向量为平面ACE的法向量.那么设平面ADE的法向量为n=(1,y,z),则nn解：分别以CB，CE所在直线为y,z轴，C为原点建立空间直角∴n=∵n∴平面DEA⊥平面ACE.为了方便计算，能否取平面ACE的法向量为∴n=∵n∴平面DEA⊥平面ACE.为了方便计算，能否取平通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？步骤如下：1.建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；4写出几何意义下的结论.通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？步小结：1、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）。点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。小结：1、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：连结该点与平面1、虽然信念有时薄如蝉翼，但只要坚持，它会越来越厚的。

2、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。

3、人生那么多事可以做，鸡毛蒜皮并不足以成为你的全世界。3、在我们的一生中，没有人会为你等待，没有机遇会为你停留，成功也需要速度。4、生活不能游戏人生，否则就会一事无成；生活不能没有游戏，否则就会单调无聊。5、你要求的次数愈多，你就越容易得到你要的东西，而且连带地也会得到更多乐趣。6、把气愤的心境转化为柔和，把柔和的心境转化为爱，如此，这个世间将更加完美。1、虽然信念有时薄如蝉翼，但只要坚持，它会越来越厚的。

73平面向量平面向量一、向量的基本概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量等.一、向量的基本概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量2、向量的表示AB1、字母表示：AB或a2、坐标表示：xyO(x,y)Axy2、向量的表示AB1、字母表示：AB或a2、坐标表示：向量复习课件向量复习课件作法（1）在平面内任取一点Oo·AB位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。还有没有其他的做法？作法（1）在平面内任取一点Oo·AB位移的合成可以看作向量加2、向量加法的平行四边形法则o·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型。作法（1）在平面内任取一点O同起点的对角线BOCA以同一点O为起点的两个已知向量为邻边作

OACB，则以Ｏ为起点的对角线OC就是的和．2、向量加法的平行四边形法则o·ABC力的合成可以看作向量加OAB差向量的做法：从一个点出发的两个向量的差向量就是从减向量的终点指向被减向量终点的向量。OAB差向量的做法：从一个点出发的两个向量的

ABCDEFMABCDEFM向量复习课件向量复习课件2,3

平面向量基本定理2,3平面向量基本定理

86

88二、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：1、作图（二）向量的减法2、坐标运算：1、作图平行四边形法则：abab+ab+二、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行（1）长度：（2）方向：

（三）数乘向量（1）长度：（2）方向：（三）数乘向量5、平面向量基本定理向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4、共线向量基本定理5、平面向量基本定理4、共线向量基本定理1、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABθB1(四)数量积4、运算律:3、数量积的坐标运算1、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABθB1向量复习课件五、向量垂直的判定六、向量平行的判定(共线向量的判定)七、向量的长度八、向量的夹角向量表示坐标表示向量表示坐标表示五、向量垂直的判定六、向量平行的判定(共线向量的判定)七、向向量复习课件向量复习课件向量复习课件C-3C-3向量复习课件向量复习课件解：∵

∴同理可得

∴θ=120°解：∵∴同理可得∴θ=120°101向量复习课件向量复习课件训练：

垂内等边三角形训练：垂内等边三角形104空间向量复习空间向量复习abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。3.1.1空间向量的运算abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律数乘分配律加法结合律数乘:ka,k为正数,负数,零平面向量概念加法运定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始（2）首尾相接ABCDA1B1C1D1GM

始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量ABCDA1B1C1D1GM始点相同的三个不共一、共线向量:零向量与任意向量共线.

1.共线向量:空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作

2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使3.1.2共线向量定理与共面向量定理一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:空推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量a叫做直线的方向向量.OABPa若P为A,B中点,则假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。可用于证明点共线推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使注：可用于证明三个向量共面2.共面向量定理:如果两个向量注：可用于证明三个向量推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使

或对空间任一点O,有

注意：证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据实数对推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,

求x,y的值。2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2

共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,1）两个向量的夹角OAB3.1.3空间向量的数量积向量a与b的夹角记作：<a,b>1）两个向量的夹角OAB3.1.3空间向量的数量积向量a与1162）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。2）两个向量的数量积注意：3）射影BAA1B1注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。3）射影BAA1B1注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个4)空间向量的数量积性质注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：4)空间向量的数量积性质注意：对于非零向量，有：5)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律5)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律1、应用可证明两直线垂直，2、利用可求线段的长度。向量数量积的应用1、应用可证明两直线垂直，向3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：如果二、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用i,j,k表示。则空间中任意一个向量p可表示为

p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量p的坐标。二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的3.1.5向量的直角坐标运算3.1.5向量的直角坐标运算124二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此125在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间的距离公式终点坐标减起点坐标在空间直角坐标系中，已知、（2）空间两点间的距离2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。思考：当及时，的夹角在什么范围内？2.两个向量夹角公式注意：思考：当及立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1ala二、怎样求平面法向量？ala二、怎样求平面法向量？1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：（1）FC1//平面ADE（2）平面ADE//平面B1C1F证明：如图1所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、E（2，2，1）、F（0，0，1），所以设，分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则，，1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F证2、已知向量则上的单位向量为：

同理可求（1），又FC1平面ADE，平面ADE∴平面ADE//平面B1C1F（2）取y=1，则2、已知向量则设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β

的法向量分别为u,v,则线线平行：l∥ma∥ba=kb;线面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.线线垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.线面垂直：l⊥αa∥ua=ku;三、有关结论设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β线线平行：l∥异面直线所成角的范围：

结论：题型一：线线角3.2.3利用空间向量求空间角异面直线所成角的范围：结论：题型一：线线角3.2.3利用空题型二：线面角直线与平面所成角的范围：

题型二：线面角直线AB与平面α所成的角θ可看成是向量与平面α的法向量所成的锐角的余角，所以有题型二：线面角直线与平面所成角的范围：题型二：线面角直线A题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围BAaMNnab一、求异面直线的距离方法指导:①作直线a、b的

方向向量a、b，求a、b的法

向量n，即此异面直线a、b

的公垂线的方向向量；

②在直线a、b上各取一点

A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上的射影

d，则异面直线a、b间的距离为方法指导:①作直线a、b的

方向向量a、b，求a、b的法

向量n，即此异面直线a、b

的公垂线的方向向量；

②在直线a、b上各取一点

A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上的射影

d，则异面直线a、b间的距离为3.2.4BAaMNnab一、求异面直线的距离方法指导:①作直线a、b如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离nAPO二、求点到平面的距离如图点P为平面外一点，点A为平面内的任nAPO二、求点到例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG