南京理工大学高等数学ii(a卷)及答案

精品文档精品文档精品文档精品文档所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一、填空题：(20分)xcost,ysint,z2t

t 1．曲线

在 4处的法平面方徎为 。2．点到平面x2y2z10的距离为 。3．设平面过点(2,2,2),.则平面方程为 。zarctany

2z 已知

x,则xy= 。y交换积分1dyy0 y

f(x,y)dx的积分次序为 。6．设x

y2z2a2．则z2dS= 。函数u=ln(x2+y2+z2),则div(grad。f

为周期，f

)=xx2(-

x)，f(x)Fourier2

(ann1

cosnxbn

sinnx)，则= 。b3bf(x)

aFourier级数为2

(a cosnxbn

sinnx)

，则级数

a = 。nnn0（

n1

an

n1

an

（

n1

an

n1

an

（若级数n1

an

n1

an

（4）

n1

an

n1

an

也收敛。上述正确的命题是 。二.（8分）f(xy)x2yy3y的极值，并指出是极大值，还是极小值。三.（8分）求级数n1y四.（8分）计算yxx2y2

nxn1的收敛域和它的和函数。dsLyx2上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。五.（8分）

2xzdydzyzdzdxz2dxdy,其中z

z

22x2y2的表面外侧。（10分）求下列方程的通解。1.xy''y'x2; 2. yyxex七（8分）两个物体、B的形状如图（一，体积相等，物体A是由抛物面（

x2y2）和平面（z1）B是柱体，它zyx2y1B的高。yLyLnO八.（5分）设(x,y)有二阶连续导数，n为光滑的简单闭曲线L的外法向量（如图二，D为L围成的区域，有人利用切向量和外法向量的夹角的关系，以及格林公式，证明了如下结论：

uds(2u

2u

。若你认为是正确的，请给出证明过程；若你认为是错误的，请推理出正确的结论。九.（5分）1ex2dx0

2L D(11)4e

y2答案：一、1.

2x 2y4z0. 2. 1。 3. x3y2z0.y2x24.

.

1x

f(x,y)dy

.

4a

2. 7. .(x2y2)2

0 x2

3 x

y2z228.3. 9.0. 10.(3)33f f33二、 2xy, x23y21,驻点为P(0, ),

(0,

),

,

.x y

1 3 2 3 3 4A2f 2y,B2f 2f 2x,C2f

6y.由极值存在的充分条件知：x2

x2P(0,1

3P3

(0, 为极大值点P3333

P4

(1,0)不取极值。三、R1收敛域为（-，

1 1x

xn0

.

1 x)2

n1

nxn1.所以，1

n1

nxn1

1(1x)2,1

x(1,1).5 55 51四、x 14x2dx0 12

4x2)2 。0 12 2 2五、由高斯公式知：Izdxdydz/4dd rcosr2sindr 2 20 0 0 21六、1.令yp,化简为一阶线性方程:px

px解得:px2C1

x,yx2Cx.11y x31Cx2C.13 2 1 2xyy y y 1 1也可直接得出：

1,即( )1，

xC,

yx2

Cx,

y x3

x2C.x2 x x 1

1 3 2 1 222101 1

2

i,所以齐次方程的通解为：yc1

cosxc21 1

sinx，设非齐次的特解形式为：y*(AxB)ex.代入解得：A ，B .所以通解为：y

cosxc

sinx( x )ex2 2 1 2 2 2七、V

dv2d1

dz,V

hdxdyh

dx1

dy4h.A由V VA

0 0 2 2 B D3，得h 8.

x2 3八、是不正确的（2分，正确结果应为

uds(2u

2u

x

（和曲线同向）方向和曲线的nL Dn的转角分别为。则总是有

2

2

,s0{cossinn0{cossin},（1分）2uds方向ucosusin)dsusinucos)dsn x y x yL L L dy dx公式=

(2u

2u)dxdy （2)dxdyx L

2

y2注：主要要清楚夹角和转角的区别，如果用和x轴的夹角可能会得

，从而得出错误结果，而在单位向量s0{cossin}这2种表示中的2分2分。(1ex2dx)21ex2dx1ey2dy ex2y2dx