测控一-线代第四章

§3.4

向量空间向量空间的概念定义：设V

是n

维向量的集合，如果①集合V

非空，②集合V

对于向量的加法和数乘两种运算封闭，具体地说，就是：若a

∈

V，b

∈

V，则a+b

∈

V．（对加法封闭）若a

∈

V，l

∈

R，则l

a

∈

V．（对数乘封闭）那么就称集合V为向量空间．向量空间的基的概念定义：设有向量空间

V

，如果在V

中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足①a1,a2,…,ar线性无关；②V

中任意一个向量都能由a1,a2,…,ar线性表示；那么称向量组a1,a2,…,ar

是向量空间V

的一个基．r

称为向量空间V

的维数，并称V

为r

维向量空间

．

向量空间向量空间的基向量空间的维数高级向量组向量组的极大无关组向量组的秩

第四章

线性方程组§4.1线性方程组解的判定设有n

个未知数m

个方程的线性方程组问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则解集如何？

m、n

不一定相等！【定理1】

n

元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．证明：设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设B=(A,b)的行最简形矩阵为第一步：往证R(A)<R(A,b)无解．若R(A)<R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，则dr+1=1．于是第r+1行对应矛盾方程0=1，故原线性方程组无解．R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1前r

列后n-r

列前n

列前r

列第二步：往证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．后n-r

列则dr+1=0且r=n，对应的线性方程组为

从而bij

都不出现.前r

列n

列第二步：往证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．则dr+1=0且bij

都不出现.即r=n，前

r

行后

m－r

行后n-r

列n

行对应的线性方程组为后

m－n

行第三步：往证R(A)=R(A,b)<n无穷多解．若R(A)=R(A,b)<n，对应的线性方程组为前r

列且dr+1=0.后n-r

列即r<n，令xr+1,…,xn

作自由变量，则再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则线性方程组的通解n

元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．例1

判定下列线性方程组解的情况：解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原线性方程组有无穷多解．解：R(A)=2<R(A,b)=3，故原线性方程组无解．例2

判定非齐次线性方程组解的情况：例3

判定齐次线性方程组解的情况：解：R(A)=3<4，故原线性方程组有非零解．§4.2线性方程组解的结构一、齐次线性方程组齐次线性方程组解向量的性质例1

请找出齐次线性方程组

的一个基础解系．即解：故同解方程组为：令x3=c1，x4=c2，得通解：分析：方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2

的线性组合．x1,x2是原方程组的解，且线性无关．所以x1,x2是原方程组的基础解系．(4)写出通解

注：（考点）齐次线性方程组Ax=0的求解：(1)将系数矩阵A经过初等行变换化为行最简形B;(2)从同解方程组得到解；

(3)将自由未知量轮流取1，同时其余取0：

并求出相应的;其中ki为任意实数.

-------即基础解系

二、非齐次线性方程组非齐次线性方程组解的结构根据性质3和性质4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．设Ax=0

的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．则Ax=b

的通解为h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*例8求解非齐次线性方程组解：R(A)=R(A,b)=2<3，故原线性方程组有无穷多解．解（续）：对应齐次方程组为取自由变量又对应非齐次线性方程组解为取自由变量则齐次方程组Ax=0的基础解系为x1,x2，为Ax=b的一个特解，故Ax=b的通解为：例10

(考试题型)设有线性方程组问l

取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解．题型：含有未知参数的线性方程组