导数的应用-函数的单调性课件

函数的单调性函数的单调性1函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)一、复习与引入:函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2二、新课:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:yxo11－1在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即>0时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内为增函数.在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即<0时,函数y=f(x)在区间(-∞,2)内为减函数.二、新课:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜3aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>04例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或时,f(x)是增函数.令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当时,f(x)是减函数.例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f5故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.利用导数讨论函数单调的步骤:(1):求导数(2)解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.答案:递增区间是和;递减区间是(-2,1).故f(x)在(-∞,1)和10331yx而我们可以从右边的6

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.

判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法结论：y′>0增函数y′<0减函数

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在7三、综合应用:例1:确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函数的定义域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:三、综合应用:例1:确定下列函数的单调区间:解:(1)函数的8∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.例2证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)例29点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.证法二：(用导数方法证)∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0.∴f′(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更10证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x例3当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e211∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)例5已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′=1－1·x－2

=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)12上是单调函数。例6(2000年全国高考题)设函数其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间分析：求,当x∈时,看变化范围。上是单调函数。例6(2000年全国高考题)设函数其中a>013例6（2000年全国高考题）设函数其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。即例6（2000年全国高考题）设函数其中a>0,求a的取值范14例7.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。例7.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定15用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（3）求解不等式f′(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间注：单调区间不以“并集”出现。2、导数的应用：判断单调性、求单调区间用导数法确定函数的单调性时的步骤是：注：单调区间不以“并集161、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)

2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为，则a的取值范围为()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a>1(D)0<a<13、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()单调递增函数单调递减函数(C)部份单调增，部分单调减(D)单调性不能确定课堂练习1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()2、若函17f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数。课堂小结f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜18函数的单调性函数的单调性19函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)一、复习与引入:函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x20二、新课:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:yxo11－1在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即>0时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内为增函数.在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即<0时,函数y=f(x)在区间(-∞,2)内为减函数.二、新课:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜21aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>022例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或时,f(x)是增函数.令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当时,f(x)是减函数.例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f23故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.利用导数讨论函数单调的步骤:(1):求导数(2)解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.答案:递增区间是和;递减区间是(-2,1).故f(x)在(-∞,1)和10331yx而我们可以从右边的24

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.

判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法结论：y′>0增函数y′<0减函数

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在25三、综合应用:例1:确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函数的定义域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:三、综合应用:例1:确定下列函数的单调区间:解:(1)函数的26∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.例2证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)例227点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.证法二：(用导数方法证)∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0.∴f′(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更28证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x例3当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e229∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)例5已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′=1－1·x－2

=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)30上是单调函数。例6(2000年全国高考题)设函数其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间分析：求,当x∈时,看变化范围。上是单调函数。例6(2000年全国高考题)设函数其中a>031例6（2000年全国高考题）设函数其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。即例6（2000年全国高考题）设函数其中a>0,求a的取值范32例7.设f(x)