随机变量的独立性,条件分布

一、随机变量的相互独立性二、离散型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布随机变量的独立性,条件分布四、小结随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第1页!一、随机变量的相互独立性随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.两随机变量独立的定义是：随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第2页!

两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有

则称X,Y相互独立.1.定义2.6随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第3页!用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.

它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.由于随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第4页!证:因为X与Y独立,故X与Y独立证毕随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第5页!解例1随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第6页!特别有又(2)因为X与Y相互独立,所以有随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第7页!例3,证明X与Y相互独立的充要条件是:证由上节知随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第8页!二、离散型随机变量的条件分布

定义随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第9页!随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第10页!随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第11页!其中为X=x的条件下Y的条件分布密度.随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第12页!例2设（X,Y）在椭圆上服从均匀分布，求条件分布密度函数

.解由题设知随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第13页!例3解:由前面的例子得随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第14页!解例4当x≤0时当0<x<1时当x≥1时随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第15页!随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第16页!条件分布随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第17页!解例1备份题随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第18页!于是(X,Y)关于X的边缘概率密度为随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第19页!解求Y=1时X的条件分布.例2

已知分布律随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第20页!因此,在Y=1的条件下X的分布律为随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第21页!正确解法为随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第22页!例4

一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.

解随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第23页!解由于X与Y相互独立,例3随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第24页!因为X与Y相互独立,解所以于是求随机变量(X,Y)的分布律.例4设两个独立的随机变量X与Y的分布律为随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第25页!于是随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第26页!又知边缘概率密度为随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第27页!其中是X,Y的联合密度，成立，则X,Y相互独立.若对任意的x,y,有定理若(X,Y)是连续型r.v,则上述独立性的定义等价于：分别是X和Y的边缘密度.随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第28页!定理若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：则X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有证明略随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第29页!(1)由分布律的性质知随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第30页!

例2设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？

对一切x,y,均有：故X,Y独立解：随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第31页!显然有故X与Y相互独立.随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第32页!随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第33页!解由分布律的表格可得随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第34页!定义三、连续型随机变量的条件分布随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第35页!说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布边缘分布条件分布联合分布随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第36页!

其它其它上式说明在X=x的条件下,Y服从上的均匀分布.(其中|x|≤a)随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第37页!同理说明:二维正态分布的条件分布是一维正态分布.随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第38页!X服从(0,1)区间上的均匀分布随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第39页!四、小结1.若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为独立性随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第40页!随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第41页!随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第42页!随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第43页!随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第44页!解不存在.例3

随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第45页!于是随机变量的独立性,条件分布共51页，您现在浏览的是第46页!随机变量